二次型與標(biāo)準(zhǔn)型

關(guān)于二次型與標(biāo)準(zhǔn)型第1頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三引言：在解析幾何中，為了便于研究二次曲線把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形的幾何性質(zhì)，可以選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)旋轉(zhuǎn)變換第2頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三上式的左邊是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式。從代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，化標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程就是通過(guò)變量的線性變換化簡(jiǎn)一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，使它只含有平方項(xiàng)．這樣一個(gè)問(wèn)題，在許多理論問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題中常會(huì)遇到。現(xiàn)在我們把這類問(wèn)題一般化，討論n個(gè)變量的二次齊次多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)問(wèn)題．第3頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三定義1含有n個(gè)變量

稱為二次型。

的二次齊次函數(shù)例如二元及三元二次型（舉例）第4頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題是：尋求可逆的線性變換

使二次型只含平方項(xiàng)，也就是代入能使之成為這種只含平方項(xiàng)的二次型，稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(或法式)。第5頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三如果標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)只在1，-1,0三個(gè)數(shù)中取值，也就是代入能使之成為則稱上式為二次型的規(guī)范形。我們利用矩陣來(lái)解決這一問(wèn)題第6頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三一。二次型與可逆線性變換的矩陣表示例1.將下列二次型表示成矩陣乘積的形式：解：先寫成對(duì)稱形式第7頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三第8頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三利用內(nèi)積寫成：第9頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三令：則：第10頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三矩陣是對(duì)稱矩陣，它是由二次型的系數(shù)來(lái)決定的，我們稱該二次型的矩陣，而二次型稱該矩陣的二次型，他們之間是一一對(duì)應(yīng)的。矩陣A的秩稱對(duì)應(yīng)二次型的秩，寫出了二次型的矩，就容易將二次型表示成矩陣乘積的形式。第11頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三將矩陣與二次型的系數(shù)比較，不難發(fā)現(xiàn)：1）對(duì)角元對(duì)應(yīng)相應(yīng)平方項(xiàng)的系數(shù)，2）非對(duì)角元對(duì)應(yīng)相應(yīng)交叉項(xiàng)系數(shù)的一半（另一半為其對(duì)稱元素）我們將矩陣與未知數(shù)的系數(shù)列成下表：其中表中數(shù)字表對(duì)應(yīng)變量乘積之系數(shù)第12頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2.寫出下列二次型對(duì)應(yīng)的矩陣，并將二次型表示成矩陣乘積的形式：解:其矩陣分別為：第13頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三對(duì)應(yīng)二次型分別寫為：下面將可逆線性變換第14頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三利用將線性方程組表示成矩陣的方法（變量X與線性方程組中的常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)）可將可逆線性變換用矩陣表示如下：其中C為線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣，X,Y為變量對(duì)應(yīng)的向量表示用矩陣乘積表示第15頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三二。將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型：。定義5.7設(shè)n階矩陣A，若有可逆矩陣C使1.將可逆線性變換：代入二次型：得：則稱矩陣A與矩陣B合同第16頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三顯然，若A為對(duì)稱陣，則也為對(duì)稱陣，且R(A)=R(B)故B為對(duì)稱陣。又因也可逆，由矩陣秩的性質(zhì)即知。由此可知，經(jīng)可逆線性變換后，二次型f的矩陣由A變成與A合同的矩陣。且二次型的秩不變。事實(shí)上因C可逆，故第17頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三矩陣等價(jià)，相似，合同是矩陣的三大關(guān)系，總結(jié)一下，各自的背景，判定條件，之間的關(guān)系，應(yīng)用。矩陣合同關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，故滿足：自反，對(duì)稱，傳遞2.用lagrang配方法把二次型化標(biāo)準(zhǔn)型，第18頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三上一節(jié)我們講了用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這個(gè)問(wèn)題稱主軸問(wèn)題。由于正交變換有保持圖形不變的性質(zhì)，因此在研究幾何圖形中被廣泛應(yīng)用但在很多場(chǎng)合下我們只需要用一般可逆線性變換把二次型化標(biāo)準(zhǔn)形。下面我們介紹用Logrange配方法把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形。所用線性變換為可逆線性變換。第19頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三一、Logrange配方法的步驟起頭，首先集中所有含的項(xiàng)進(jìn)行配方，剩下部分再不含起頭，則再集中所有含，情形1，如果二次型中含有平方項(xiàng)。不妨設(shè)以不妨設(shè)以的項(xiàng)的項(xiàng)進(jìn)行配方。以此類推，直至全部配成平方為止第20頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三情形2，如果二次型中不含有平方項(xiàng)。不妨設(shè)含則變換后即含有平方項(xiàng)，再按情形1進(jìn)行配方即可。將以上每次新老變量的線性變換連乘，即得新變量組到終變量組間的可逆線性變量。的項(xiàng)，令注：通過(guò)以下例題可看到用Logrange配方法把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形。的步驟與過(guò)程，其一般性證明是類似的，留待讀者第21頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三例5.6.1用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，設(shè)解，故可先將含的各項(xiàng)集中并進(jìn)行配平方f中含有變量平方項(xiàng)，例如第22頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三

令可逆線性變換第23頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三即使得顯然如令上式又可化成規(guī)范型第24頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三例5.6.2用配方法把下面二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形解：因?yàn)閒中不含有變量平方項(xiàng)，所以先做一個(gè)簡(jiǎn)單的可逆線性變換使新二次型出現(xiàn)平方項(xiàng)。為此設(shè)即第25頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三代入原二次型得用例5.6.1配方步驟得第26頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三令可逆線性變換代入上式，得由上面①，②式，得可逆線性變換即

第27頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三一般非正交變換的可逆線性變換不再保持圖形形狀不變，但仍保持許多好的特性。首先保持秩不變，因此當(dāng)二次型用可逆線性變換化標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，其非零平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)或獨(dú)立變量個(gè)數(shù)）是不變的。不僅如此，還有如下結(jié)論定理5.9（慣性定理）設(shè)秩為r的的實(shí)二次型，經(jīng)可逆線性變換化標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)第28頁(yè)，講稿共30頁(yè)，2023年5月2日，星期三請(qǐng)總結(jié)一下，用Logrange配方法把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形的步驟，并比較用正交變換化標(biāo)準(zhǔn)型各有什么特征，及不同。我們學(xué)過(guò)矩陣的初等變換，能否通過(guò)矩陣的初等變換將對(duì)