偏微分方程求解

關(guān)于偏微分方程求解第1頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三基礎(chǔ)知識(shí)預(yù)習(xí)微分方程的ＭＡＴＬＡＢ求解包含１：常微分方程的ＭＡＴＬＡＢ求解（上 節(jié)課已經(jīng)講過）這里不再贅述。２：偏微分方程的ＭＡＴＬＡＢ求解（本 次教學(xué)內(nèi)容）第2頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三偏微分方程概念偏微分方程（PartialDifferentialEquation，簡(jiǎn)稱PDE）指含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程。描述自變量、未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。偏微分方程分為①線性偏微分方程式與②非線性偏微分方程式，常常有幾個(gè)解而且涉及額外的邊界條件。常微分方程：在微分方程中，若自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)的微分方程。偏微分方程：自變量的個(gè)數(shù)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程。第3頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三求解偏微分方程的方法求解偏微分方程的數(shù)值方法：1.有限元法（FiniteElementMethod,FEM）---hp-FEM2.有限體積法（FiniteVolumeMethod,FVM）3.有限差分法（FiniteDifferenceMethod,FDM）。其它：廣義有限元法（GeneralizedFiniteElementMethod,FFEM）、擴(kuò)展有限元法（eXtendedFiniteElementMethod,XFEM）、無網(wǎng)格有限元法（MeshfreeFiniteElementMethod）、離散迦遼金有限元法（DiscontinuousGalerkinFiniteElementMethod,DGFEM）等。第4頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三MATLAB解偏微分方程MATLAB提供了兩種方法解決PDE問題：①pdepe()函數(shù)，它可以求解一般的PDEs，具有較大的通用性，但只支持命令行形式調(diào)用。②PDE工具箱，可以求解特殊PDE問題，PDEtool有較大的局限性，比如只能求解二階PDE問題，并且不能解決偏微分方程組，但是它提供了GUI界面，從繁雜的編程中解脫出來了，同時(shí)還可以通過File->SaveAs直接生成M代碼使用pdeval()直接計(jì)算某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值？？？第5頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三一般偏微分方程組(PDEs)的MATLAB求解直接求解一般偏微分方程(組)，它的調(diào)用格式為sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t)問題描述函數(shù)初值條件邊界條件輸出參數(shù)自變量參數(shù)第6頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三【輸入?yún)?shù)】（1）@pdefun：是PDE的問題描述函數(shù)，它必須換成下面的標(biāo)準(zhǔn)形式PDE就可以編寫下面的入口函數(shù)[c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)m,x,t就是對(duì)應(yīng)于(式1)中相關(guān)參數(shù)和自變量，du是u的一階導(dǎo)數(shù)，由給定的輸入變量即可表示出出c,f,s這三個(gè)函數(shù)第7頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三【輸入?yún)?shù)】（2）@pdeic：是PDE的初值條件，必須化為下面的形式我們使用下面的簡(jiǎn)單的函數(shù)來描述為u0=pdeic(x)第8頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三【輸入?yún)?shù)】（3）@pdebc：是PDE的邊界條件描述函數(shù)，必須先化為下面的形式于是邊值條件可以編寫下面函數(shù)描述為[pa,qa,pb,qb]=pdebc(x,t,u,du)其中a表示下邊界，b表示下邊界第9頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三【輸入?yún)?shù)】（4）m：就是對(duì)應(yīng)于(式1)中相關(guān)參數(shù)x,t：就是對(duì)應(yīng)于(式1)中自變量第10頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三【輸出參數(shù)】sol：是一個(gè)三維數(shù)組，sol(:,:,i)表示ui的解，換句話說uk對(duì)應(yīng)x(i)和t(j)時(shí)的解為sol(i,j,k)第11頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三實(shí)例講解（題目）例：第12頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三初值條件邊界條件第13頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三實(shí)例講解（解法）【解】第一步根據(jù)（1）對(duì)照給出的偏微分方程，則原方程可以改寫為第14頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三輸入?yún)?shù)（1’）目標(biāo)PDE函數(shù)%%目標(biāo)PDE函數(shù)function[c,f,s]=pdefun(x,t,u,du)c=[1;1];f=[0.024*du(1);0.17*du(2)];temp=u(1)-u(2);s=[-1;1].*(exp(5.73*temp)-exp(-11.46*temp));第15頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三輸入?yún)?shù)（2’）初值條件初值條件改寫為%%初值條件函數(shù)functionu0=pdeic(x)u0=[1;0];第16頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三輸入?yún)?shù)（3’）邊界條件邊界條件改寫為%%邊界條件函數(shù)function[pa,qa,pb,qb]=pdebc(xa,ua,xb,ub,t)%a表示左邊界，b表示右邊界pa=[0;ua(2)];qa=[1;0];pb=[ub(1)-1;0];qb=[0;1];第17頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三（4'）主調(diào)函數(shù)clcx=0:0.05:1;t=0:0.05:2;m=0;sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t);figure('numbertitle','off','name','PDEDemo——byMatlabsky')%創(chuàng)建個(gè)窗口，窗口名字是name后邊的名字'NumberTitle','off'是關(guān)掉默認(rèn)顯示名字。subplot(211)surf(x,t,sol(:,:,1))%sol(:,:,i)表示ui的解title('TheSolutionofu_1')xlabel('X')ylabel('T')zlabel('U')subplot(212)surf(x,t,sol(:,:,2))%sol(:,:,i)表示ui的解title('TheSolutionofu_2')xlabel('X')ylabel('T')zlabel('U')第18頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三第19頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三PDEtool求解特殊PDE問題MATLAB的偏微分工具箱(PDEtoolbox)可以比較規(guī)范的求解各種常見的二階偏微分方程(特殊二階的PDE)第20頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三典型偏微分方程的描述

第21頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三

第22頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三

（3）雙曲線型偏微分方程的一般形式

第23頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三

（4）特征值型偏微分方程的一般形式，注意它是（1）的變形，不能算獨(dú)立的一類第24頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三MATLAB采用有限元的方法求解各種PDEMATLAB為我們提供一個(gè)pdetool(在commandwindow中鍵輸pdetool打開)的交互界面，可以求解二元偏微分u(x1,x2)(注意只能求解二元)。方程的參數(shù)由a、c、d和f確定，求解域由圖形確定，求解域確定好后，需要對(duì)求解域進(jìn)行柵格化(這個(gè)是自動(dòng))。第25頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三

第26頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三

第27頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三偏微分方程邊界條件的描述Dirichlet(狄利克萊)條件Neumann(紐曼)條件第28頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三

第29頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三

第30頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三求解實(shí)例

第31頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三【解】由給定的PDE，可以得出d=1,c=1,a=2,f=10第32頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三step1:點(diǎn)擊工具欄的【PDE】按鈕，如下輸入PDE的參數(shù)，注意選擇Hyperbolic

第33頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三step2:繪制求解域

對(duì)坐標(biāo)軸的操作可以在【Options】主菜單中操作，包括設(shè)置網(wǎng)格、坐標(biāo)系范圍等(1)【Options】->AxisLimits設(shè)置如下第34頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三

第35頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三

(2)點(diǎn)擊工具欄上的第三個(gè)按鈕【繪制橢圓】，任意繪制一個(gè)橢圓，雙擊橢圓，設(shè)置如下第36頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三重復(fù)上面的操作，參數(shù)如下

第37頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三得到

第38頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三

(3)在setformula中如下輸入，“+”表示求并集，“-”表示求差集，注意沒有直接求交接的操作符第39頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三step3:邊界條件和初值條件初值條件可以通過【Solve】->【Parameters…】設(shè)置邊值條件設(shè)置如下(1)點(diǎn)擊工具欄的第6個(gè)按鈕【區(qū)域邊界】，顯示如下第40頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三

(2)【Boundary】->【RemoveAllSubdomainBorders】移除所有子域的邊界，將得到所有子域合并成一個(gè)求解域(3)【Boundary】->【SecifyBoundaryConditons…】設(shè)置邊界如下，注意我們這里只有Dirichlet條件第41頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三step4:生成使用有限元方法求解方程所需的柵格點(diǎn)擊工具欄的第8/9個(gè)按鈕，對(duì)求解域生成柵格，多次點(diǎn)擊可以在原來基礎(chǔ)上繼續(xù)細(xì)化柵格，直到自己覺得滿意為止，當(dāng)然可以通過【Mesh】主菜單進(jìn)行精確控制第42頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三

step5:求解方程點(diǎn)解工具欄的第10個(gè)按鈕“=”【求解方程】

step6:求解結(jié)果繪圖

點(diǎn)擊第11個(gè)按鈕【繪制圖形】，里面的選項(xiàng)很豐富，可以繪制等高線等好多，甚至播放動(dòng)畫，具體大家可以自己慢慢摸索第43頁，講稿共46頁，2023年5月2日，星期三動(dòng)畫播放設(shè)置：(1)【Solve】->【Parameters】設(shè)置合適的時(shí)間向量Time(2)【Plot】->【Parameters】選中【Animation】，點(diǎn)擊后面的【Options】，設(shè)置播放速度和次數(shù)，比如6fps表示每秒6幀(3)【Plot】->