新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性課件242圓的一般方程

圓的一般方程1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圖形方程x2+y2+Dx+Ey+F=0變形為:

(1)當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí),方程表示圓,圓心為_(kāi)_________,半徑為_(kāi)____________.(2)當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),方程表示點(diǎn)_________.(3)當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí),方程不表示任何圖形.必備知識(shí)·素養(yǎng)奠基【思考】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0都表示圓嗎?提示:不一定,當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)才表示圓.2.圓的一般方程(1)方程:當(dāng)__________時(shí),方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程.(2)本質(zhì):圓的方程的另一種表示形式,更具有方程特征.D2+E2-4F>0【思考】(1)圓的一般方程有什么特征?提示:①x2和y2的系數(shù)相同且不為0;②沒(méi)有xy項(xiàng).(2)如果點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0內(nèi),那么應(yīng)滿足什么關(guān)系式?圓外呢?提示:若點(diǎn)P在圓內(nèi),則若點(diǎn)P在圓外,則【素養(yǎng)小測(cè)】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程可以互化. ()(2)方程2x2+2y2-3x=0不是圓的一般方程. ()(3)方程x2+y2-x+y+1=0表示圓. ()提示:(1)√.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程可以互化.(2)×.方程2x2+2y2-3x=0即x2+y2-x=0,是圓的一般方程.(3)×.因?yàn)?-1)2+12-4×1=-2<0,所以方程不表示任何圖形.2.圓:x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為 ()A.(-2,3),13 B.(-2,3),C.(2,-3), D.(2,-3),13【解析】選C.圓:x2+y2-4x+6y=0,即圓:(x-2)2+(y+3)2=13,故圓心坐標(biāo)和半徑分別為(2,-3),.3.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ()A.(-∞,1)B.(-∞,1]【解析】選A.由方程x2+y2-4x+2y+5k=0,可得(x-2)2+(y+1)2=5-5k,此方程表示圓,則5-5k>0,解得k<1,故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-∞,1).關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類(lèi)型一二元二次方程與圓的關(guān)系【典例】1.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的圖形是 ()A.一個(gè)點(diǎn) B.一個(gè)圓C.一條直線 D.不存在2.圓C:2x2+2y2+ax-4y-3=0的直徑為,則圓C的圓心坐標(biāo)可以是 ()

3.已知方程x2+y2+kx+(1-k)y+=0表示圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ()>3 B.k≤-2C.-2<k<3 >3或k<-2【思維·引】1.將方程配方,觀察方程表示什么圖形.2.將圓的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式,表示出直徑后求a的值.3.根據(jù)圓的一般方程中x,y的系數(shù)特征D2+E2-4F的符號(hào)求值.【解析】1.選A.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0,可化為x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+(y+2)2=0,所以方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示點(diǎn)(1,-2).2.選A.圓C:2x2+2y2+ax-4y-3=0,即+(y-1)2,圓心為,因?yàn)橹睆綖?得a=±6,故圓心為3.選D.因?yàn)榉匠蘹2+y2+kx+(1-k)y+=0表示圓,所以k2+(1-k)2-4×>0,即2k2-2k-12>0,k2-k-6>0,解得k>3或k<-2.【內(nèi)化·悟】由圓的一般方程,怎樣求圓的圓心、半徑?提示:將圓的一般方程配方,變形為標(biāo)準(zhǔn)形式后求圓心、半徑.【類(lèi)題·通】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的兩種判斷方法(1)配方法.對(duì)形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通過(guò)配方變形成“標(biāo)準(zhǔn)”形式后,觀察是否表示圓.(2)運(yùn)用圓的一般方程的判斷方法求解.即通過(guò)判斷D2+E2-4F是否為正,確定它是否表示圓.提醒:在利用D2+E2-4F>0來(lái)判斷二元二次方程是否表示圓時(shí),務(wù)必注意x2及y2的系數(shù).【習(xí)練·破】1.方程x2+y2-ax+2y+1=0不能表示圓,則實(shí)數(shù)a的值為 ()

【解析】選A.方程x2+y2-ax+2y+1=0轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)方程是由于該方程不能表示圓,故a=0.2.圓x2+y2-2x-2ay-1=0(a為常數(shù))的圓心是

;半徑是

.

【解析】化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得:(x-1)2+(y-a)2=a2+2.故圓心是(1,a),半徑是.答案:(1,a)【加練·固】若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓,求:(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2)圓心坐標(biāo)和半徑.【解析】(1)據(jù)題意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,故m的取值范圍為.(2)將方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+m)2+(y-1)2=1-5m,故圓心坐標(biāo)為(-m,1),半徑r=.類(lèi)型二待定系數(shù)法求圓的方程【典例】已知三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7),求△ABC外接圓的方程.【思維·引】設(shè)出圓的一般方程,列方程組求系數(shù).【解析】設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0),圓過(guò)三點(diǎn)A(1,3),B(4,2),C(1,-7),可得解方程可得即圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0.【內(nèi)化·悟】圓有標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程兩種形式,本例中設(shè)哪一種形式解題更為簡(jiǎn)便?提示:設(shè)一般方程解題更簡(jiǎn)便.【類(lèi)題·通】待定系數(shù)法求圓的一般方程的步驟(1)根據(jù)題意設(shè)所求的圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.(2)根據(jù)已知條件,建立關(guān)于D,E,F的方程組.(3)解此方程組,求出D,E,F的值.(4)將所得的值代回所設(shè)的圓的方程中,就得到所求的圓的一般方程.【習(xí)練·破】經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圓與y軸交于M,N兩點(diǎn),則|MN|=()A.2B.2【解析】選A.設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(1,2),故解得故圓的方程為x2+y2-2x-3=0,整理得(x-1)2+y2=4,令x=0,得y2=3,所以y=±,所以|MN|=2.【加練·固】已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求△ABC的外接圓的方程.【解題指南】先設(shè)出圓的一般方程,根據(jù)點(diǎn)在圓上列方程組,解方程組求出待定系數(shù),得外接圓方程.【解析】設(shè)△ABC外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意得解得即△ABC的外接圓方程為x2+y2-8x-2y+12=0.類(lèi)型三求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程角度1代入法求方程【典例】已知?jiǎng)狱c(diǎn)A在圓x2+y2=1上移動(dòng),點(diǎn)B(3,0),則AB的中點(diǎn)的軌跡方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.D.【思維·引】利用要求的中點(diǎn)坐標(biāo)表示點(diǎn)A的坐標(biāo),代入圓的方程.【解析】選C.設(shè)A(x0,y0),AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得即因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)A在圓x2+y2=1上移動(dòng),所以則(2x-3)2+(2y)2=1,整理得:(2x-3)2+4y2=1.即.【素養(yǎng)·探】利用代入法求軌跡時(shí),常常用到核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析,通過(guò)坐標(biāo)表示,代入化簡(jiǎn)、變形求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.將本例的條件改為“過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線,垂足為C,點(diǎn)P在線段AC上,且2|AP|=|PC|”,求點(diǎn)P的軌跡方程.【解析】設(shè)A(x0,y0),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)P在線段AC上,且2|AP|=|PC|,所以則因?yàn)辄c(diǎn)A在圓x2+y2=1上,所以x2+y2=1.角度2定義法求方程【典例】已知圓x2+y2=1,點(diǎn)A(1,0),△ABC內(nèi)接于圓,且∠BAC=60°,當(dāng)B,C在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),BC中點(diǎn)D的軌跡方程是 ()2+y2=2+y2=2+y2=2+y2=【思維·引】利用圓周角與圓心角的關(guān)系,求出BC中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,從而確定軌跡及方程.【解析】選D.如圖所示,因?yàn)椤螧AC=60°,又因?yàn)閳A周角等于圓心角的一半,所以∠BOC=120°,又D為BC中點(diǎn),OB=OC,所以∠BOD=60°,在直角三角形BOD中,有OD=OB=,故中點(diǎn)D的軌跡方程是:x2+y2=,如圖,由∠BAC的極限位置可得,x<.【類(lèi)題·通】求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的方法(1)直接法:直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法:根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)代入法:若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴圓上的某一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0)而運(yùn)動(dòng),找到兩點(diǎn)的關(guān)系,把x,y用x0,y0表示,再將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入到已知圓的方程中得P點(diǎn)的軌跡方程.提醒:注意“求軌跡”與“求軌跡方程”是不同的.【習(xí)練·破】長(zhǎng)度為6的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動(dòng),則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為

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【解析】設(shè)M(x,y),因?yàn)椤鰽OB是直角三角形,所以|OM|=|AB|=3為定值,故M的軌跡為以O(shè)為圓心,3為半徑的圓,故x2+y2=9即為所求.答案:x2+y2=9【加練·固】點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是 ()A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1【解析】選A.設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0,y0),PQ的中點(diǎn)為M(x,y),則解得因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓x2+y2=4上,所以,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.圓心為(1,0),半徑長(zhǎng)為1的圓的方程為 ()2-2x+y2=0

2+2x+y2=02+y22+y2-2y=0【解析】選A.圓心為(1,0),半徑長(zhǎng)為1的圓的方程為(x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2=0.2.在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為

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【解析】設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,又因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0),所以解得D=-2,E=0,F=0,所以圓的方程為x2+y2-2x=0.答案:x2+y2-2x=03.已知圓O:x2+y2=4及一點(diǎn)P(-1,0),Q在圓O上運(yùn)動(dòng)一周,PQ的中點(diǎn)M形成軌跡C,則軌跡C的方程為

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【解析】設(shè)M(x,y),則Q(2x+1,2y),因?yàn)镼在圓x2+y2=4上,所以(2x+1)2+4y2=4,即.所以軌跡C的方程是