北京市西城區(qū)北師大版2022學年高一數學下學期期末考試試題含答案

北京市西城區(qū)(北區(qū))2022—2022學年下學期高一期末考試

數學試卷

試卷滿分：150分考試時間：120分鐘

一、本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合要求的。

1.在數列｛a“｝中，a?+l=an+2,且q=l,則應等于()

(A)8(B)6(C)9(D)7

2.將一根長為3m的繩子在任意位置剪斷，則剪得兩段的長都不小于1m的概率是

()

(A)-(B)-(C)-(D)-

4323

3.在aABC中，若"+從〈c?,則AABC的形狀是()

(A)銳角三角形(B)直角三角形(C)鈍角三角形(D)不能確定

4.若。<人<0,則下列不等式中成立的是()

(A)O'>b3(B)\4<\t\(C)->-(D)-<-

1111abab

x-y+l>0,

5.若實數x,y滿足《x+”O(jiān),則z=2x+y的最小值是()

x<0,

(A)--(B)0(C)1(D)-1

2

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出s的值為()

(A)2

(C)3

(D)-

3

7.已知100件產品中有5件次品，從中任意取出3件產品，設A表示事件”3件產品全

不是次品”1表示事件“3件產品全是次品”，C表示事件“3件產品中至少有1件次品”，

則下列結論正確的是()

(A)B與C互斥(B)A與C互斥

(C)任意兩個事件均互斥(D)任意兩個事件均不互斥

8.口袋中裝有三個編號分別為1,2,3的小球，現(xiàn)從袋中隨機取球，每次取一個球，確

定編號后放回，連續(xù)取球兩次。則“兩次取球中有3號球”的概率為()

9.設0為坐標原點，點A(4,3),B是x正半軸上一點，則AOAB中絲的最大值為()

AB

4554

(A)-(B)-(C)-(D)-

3345

10.對于項數為m的數列｛4｝和也｝,記bk為q,4…4/=1,2,…，㈤中的最小值。

給出下列判斷：

①若數列｛〃,｝的前5項是5,5,3,3,1,則%=3;

②若數列｛d｝是遞減數列，則數列｛4｝也一定是遞減數列；

③數列也｝可能是先減后增數列；

④若仇+a吁*+1=。(左=1,2,...,/〃)，(：為常數，則q=4(i=l,2,...,〃?)。

其中，正確判斷的序號是()

(A)①③(B)②④(C)②③(D)②

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。

11.不等式2/一工＜0的解集為。

12.在△ABC中，/?=2,c=J^,A=15()°,貝Ua=。

13.某校高一年級三個班共有學生120名，這三個班的男、女生人數如下表。

已知在全年級學生中隨機抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2。則*=；現(xiàn)用分

層抽樣的方法在全年級抽取30名學生，則應在三班抽取的學生人數為

一班二班三班

女生人數20xy

男生人數2020z

14.甲、乙兩人各參加了5次測試，將他們在各次測試中的得分繪制成如圖所示的莖葉圖。

已知甲、乙二人得分的平均數相等，則＞11=乙得分的方差等于——O

____乙

8677m

4208223

15.設｛q｝是等差數列，S.為其前n項的和。若%=-3,53=-27,則q=；

當S“取得最小值時，n=。

16.當Xe[1,9]時,不等式—一3乂+/+322履恒成立,則k的取值范圍是一

三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題滿分13分）

在等比數列｛4｝中，4+4=6,4+“3=12。

（I）求數列｛《,｝的通項公式；

（II）設也｝是等差數列，且b2=a2,b產a”求數列也｝的公差，并計算

bt—b2+b3—b4+...—b[00的值。

18.（本小題滿分13分）

某市某年一個月中30天對空氣質量指數的監(jiān)測數據如下：

61767056819155917581

8867101103579177868183

82826479868575714945

（I）完成下面的頻率分布表；

（II）完成下面的頻率分布直方圖，并寫出頻率分布直方圖中a的值；

（III）在本月空氣質量指數大于等于91的這些天中隨機選取兩天，求這兩天中至少有

一天空氣質量指數在區(qū)間[101,111）內的概率。

分組頻數頻率

[41,51)22

30

[51,61)33

30

[61,71)44

30

[71,81)66

30

[81,91)

[91,101)

[101,111)22

30

19.(本小題滿分13分)

JT

在△ABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對的邊，已知c=3,C=—。

3

(I)若sinB=2sinA,求a,b的值;

(II)求的最大值。

20.(本小題滿分14分)

已知函數/(x)=(ax-l)(x+l)?

(I)當a=l時,求/(x)在區(qū)間［-1,2］上的值域；

(II)若函數/(%)在區(qū)間上是減函數，求a的取值范圍；

(III)解關于x的不等式/(x)<0。

21.(本小題滿分14分)

設數列｛q｝的前n項和為S”，且S“=2-(g)"T,n&N\

(I)求數列｛%｝的通項公式；

(II)設數列4=(2〃—15)4。

(i)求數列也｝的前n項和L；

(ii)求b”的最大值。

22.(本小題滿分13分)

對于數列A：a,,a2,a3(a，WN,i=l,2,3),定義“T變換”：T將數列A變換成數列

B：b”b2,b:1,其中e=g—4+J(i=l,2),且這種“T變換”記作B=T(A),

繼續(xù)對數列B進行“T變換”，得到數列C：c“C2,C3,依此類推，當得到的數列各項均為

0時變換結束。

(I)寫出數列A：2,6,4經過5次“T變換”后得到的數列；

(II)若a”a2,一不全相等,判斷數列A：a.,a2,a3經過不斷的“T變換”是否會結

束，并說明理由；

(III)設數列A：400,2,403經過k次“T變換”得到的數列各項之和最小，求k的

最小值。

【試題答案】

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。

1.D2.B3.C4.C5.A6.D7.B8.A9.B10.B

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分,

11.卜|0＜%＜：＞12.V15

13.249

14.6,8.415.-11,616.(—,13]

注：一題兩空的試題，第一空2分，第二空3分:

三、解答題：本大題共3小題，共36分，

17.解：(I)設等比數列｛4｝的公比為q,

2

由已知，a,+atq-6,atq+a1q=12........2分

兩式相除，得q=2。........4分

所以ai=2,........6分

所以數列｛4｝的通項公式⑸=2"。........7分

(II)設等差數列也｝的公差為d,

則4+d=4,4+3d=16............9分

解得乙=-2,1=6............11分

-b2+b3-b4+...—bl(m=(bl-b2')+(&3-/?4)+...+099—b100)............12分

=-504=—300........13分

18.解：(1)如下圖所示。..............4分

(II)如下圖所示。...........6分

由己知，空氣質量指數在區(qū)間[71,81)的頻率為自，所以a=0.02。……8分

30

分組頻數頻率

??????…

[81,91)1010

30

[91,101)33

30

?????????

(Ill)設A表示事件“在本月空氣質量指數大于等于91的這些天中隨機選取兩天，這

兩天中至少有一天空氣質量指數在區(qū)間［101,111)內”，

由己知，質量指數在區(qū)間［91,101)內的有3天，

記這三天分別為a,b,c,

質量指數在區(qū)間［101,111)內的有2天，

記這兩天分別為d,e,

則選取的所有可能結果為：

(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,

基本事件數為10。............10分

事件“至少有一天空氣質量指數在區(qū)間［101,111)內”的可能結果為：

(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)。

基本事件數為7,............12分

7

所以P(A)=—=0.7............13分

10

19.解：(I)因為sinB=2sinA,由正弦定理可得b=2a,.........3分

由余弦定理c、az+b'—2abcosC,............5分

得9=a'+4a"-2a',............7分

解得a?=3,............8分

所以a==2a=............9分

(II)由余弦定理c?=a2+b2-2abcosC,ab=a2+b2—9,............10分

又aZ+b'eZab,............11分

所以1+收18,當且僅當a=b時，等號成立。............12分

所以a'+b'的最大值為18。............13分

20.解：(I)當a=l時，/(x)=x2-l,

函數/(x)在區(qū)間(-oc,0］上單調遞減，在區(qū)間［0,+。。)上單調遞增

所以，/(x)在區(qū)間［—1,2］上的最小值為/(0)=-1...............2分

又/⑵>/(一1)。

所以/(x)在區(qū)間［一1,2］上的最大值為/(2)=3............................3分

/(x)在區(qū)間上的值域為..............4分

(II)當a=0時，=在區(qū)間［—1,+8)上是減函數，符合題意……5分

當時，若函數/(x)在區(qū)間［一1,+8)上是減函數，

則a<0,且...............7分

a

所以一l〈a〈0,................................9分

所以a的取值范圍是［—1,0］

(III)由己知，解不等式(依—1)(%+1)<0。

當a=0時，x〉一1。................10分

當a〉0時，(九一!)(1+1)<0,解得-l<x<1.........................11分

aa

當水0時、(x——)(x+1)>0，

a

若』=一1,即。=一1時，XH-1;........................12分

a

若l>一1,即。<-1時，x<-l或x>—........................13分

aa

若2_<一1,即一1<。<0時，x〈,或x>—1........................14分

aa

綜上，當a>0時，不等式的解集為｛劃-1<》<：｝;

當a=0時,不等式的解集為｛x|x>-l｝；

當一"a<0時，不等式的解集為或%>一1｝;

當a=-l時，不等式的解集為

當水一1時，不等式的解集為｛x|x<-l或

21.解：(I)由已知，當n=l時，q=￡=1。............1分

當〃22時，%=S,「S,T2分

=2-(if-1-[2-(I)-2]=(1)n-'...........3分

綜上，a“=(')"T,〃wN*...........4分

(ID(i)d=(2“—15)(gyi.

所以7；=—13+(—11)，+(—9)dy+…+(2〃-15)(-)n-'..........5分

222

；北=(一13)；+(-11)(；)2+...+(2〃-17)(；尸+(2〃-15)(夕……6分

兩式相減，得,7；=-13+2x'+2xd)2+...+2X(L)"T—(2〃-15)4)"...8分

22222

=一13+2已+(：)2+...+(3"|]-(2/?-15)(^-),,

2222

1,11

=—13+2—(—)"2_(2〃-15)(-)n=(ll-2n)(-)"-ll

222

所以7；=(1]_2")(；)"T_22...........10分

M

(ii)因為bn+i-bn=(2〃-13)(1)-(2n-l5)(3)”“=(17—2〃)(g)”……11分

17

令〃川一勿＞0,得”＜豆............12分

所以白＜打＜...＜4，且〃…，即%最大，............13分

又力9=3%=3x(―)8=-^7°

2ZJO

3

所以，友的最大值為，............14分

256

22.解：(I)依題意，5次變換后得到的數列依次為

4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2........3分

所以，數列A：2,6,4經過5次“T變換”后得到的