一元二次方程根的分布(講課)

一元二次方程根的分布的應用

一元二次方程根的分布(講課)

對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點。方程f(x)=0有實數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)y=f(x)有零點函數(shù)零點的定義：等價關(guān)系一、復習一元二次方程根的分布(講課)結(jié)論xy0ab..零點存在定理(1)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線：(2)f(a)·f(b)<0函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點；一元二次方程根的分布(講課)知識系統(tǒng)一元二次方程根的分布(講課)例1：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍（1）兩個正根一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)兩根均為正根（負根）yx1x2ox一元二次方程根的分布(講課)例：x2+（m-3)x+m=0求m的范圍

（2）有兩個負根一元二次方程根的分布(講課)2.一元二次方程ax2+bx+c=0一根為正,另一根為負x1x2yoxx1x2yox或af（0）

一元二次方程根的分布(講課)問題的引入：1、若關(guān)于x的方程的兩個根都大于1，則實數(shù)的取值范圍是

.

2、關(guān)于x的方程的兩個根均大于-2小于4，求實數(shù)的取值范圍.一元二次方程根的分布(講課)問題的解決：例1、若關(guān)于x的方程的兩個根都大于1，則實數(shù)的取值范圍是

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分析（1）方程有根，與有關(guān).僅僅靠韋達定理是不夠的.(2)方程有什么樣的根，可以結(jié)合對應的二次函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合解決.此時與有有關(guān)，及有關(guān).判別式端點的函數(shù)值對稱軸

如圖，函數(shù)的圖象決定著：（1）最小值的正負，與判別式有關(guān);（2）對稱軸；（3）函數(shù)值的正負.一元二次方程根的分布(講課)問題的解決：例1、若關(guān)于x的方程的兩個根都大于1，則實數(shù)的取值范圍是

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解：令，則

一元二次方程根的分布(講課)問題的解決：

例2、關(guān)于x的方程的兩個根均大于-2小于4，求實數(shù)m

的取值范圍.

解：令，則

所以,實數(shù)m的取值范圍是.一元二次方程根的分布(講課)問題的解決：其實,有那么復雜嗎?

例2、關(guān)于x的方程的兩個根均大于-2小于4，求實數(shù)m

的取值范圍.

另解:原方程的兩個根分別為而，

所以，由此可得.

所以,實數(shù)m的取值范圍是.一元二次方程根的分布(講課)問題的啟示：學會具體問題具體分析.

對于這道題而言,后一種辦法比較簡單,但是要會前一種通法.

例如,關(guān)于x的方程在區(qū)間上有兩個不同的解,求實數(shù)的取值范圍.

用后一種方法解答比較困難.

兩種方法都要會,我們提倡具體問題具體分析,哪一種解法簡單就用哪一種.

一元二次方程根的分布(講課)問題的根源：方程根的分布問題，與對應的二次函數(shù)圖象有關(guān).（1）

函數(shù)的性質(zhì)決定函數(shù)的圖象,函數(shù)的圖象反映函數(shù)的性質(zhì).（2）方程有根，與判別式有關(guān).對應的二次函數(shù)圖象與軸有交點.（3）方程有什么樣的根，與端點的函數(shù)值有關(guān)，與二次函數(shù)圖象的對稱軸有關(guān).僅僅靠韋達定理是不夠的.

注:拋物線就象一根電線,函數(shù)值（包括最小值）就象鉚釘一樣,決定著它的走向.

一元二次方程根的分布(講課)結(jié)論：我們從上面的例子總結(jié)一下解決這類問 題的步驟：1.根據(jù)題意大致畫出對應的二次函數(shù)的圖象。2.列出不等式組(一般重點考慮下面四個方面)①判別式△②對稱軸③端點④開口方向3.解不等式組，得出結(jié)論。思路說明一元二次方程根的分布(講課)一元二次方程根的分布(講課)考慮：a>0的一元二次方程，當二次項系數(shù)小于0時，先化為正。強調(diào)：把一元二次方程化為標準形式：

ax2+bx+c=0(a>0)一元二次方程根的分布(講課)一、若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩個根都小于m，求a,b,c滿足的條件。1類型一：一元二次方程根的分布(講課)二、若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)的一個根大于m,另一個根小m,求a,b,c滿足的條件。類型二：一元二次方程根的分布(講課)例3、若關(guān)于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的兩根一個小于1，另一根大于1，試求實數(shù)k

的取值范圍。1一元二次方程根的分布(講課)例1、若關(guān)于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的兩根一個小于1，另一根大于1，試求實數(shù)k

的取值范圍。1一元二次方程根的分布(講課)三、若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)的一個根在(m,n)，另一根在(p,q)，求a,b,c滿足的條件。1類型三：一元二次方程根的分布(講課)例4、若關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3，試求實數(shù)a

的取值范圍。1一元二次方程根的分布(講課)四、若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)有且僅有一個根在(m,n)，求a,b,c滿足的條件。類型四：一元二次方程根的分布(講課)五、若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)的兩個根都在(m，n)內(nèi),求a,b,c滿足的條件。1類型五：一元二次方程根的分布(講課)例4、已知關(guān)于x的方程4x2-4x+m=0在[-1，1]上有兩個根，求m的取值范圍。1一元二次方程根的分布(講課)一元二次方程根的分布（一）與0比較（1）有兩正根（2）有兩負根（3）一正一負（二）與k比較（1）有兩個大于k的根（2）有兩個小于k的根（3）一個大于k，一個小于k（4）有一個根在區(qū)間(k1,k2)內(nèi)（5）區(qū)間(k1,k2)內(nèi)有兩個根一元二次方程根的分布(講課)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的分布兩個正根兩個負根一正根一負根一根為零一正一負，且負的絕對值大

C＝0

考慮：①判別式?、②兩根之和、③兩根之積一元二次方程根的分布(講課)一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布兩個根都小于k兩個根都大于k一個根小于k,一個根大于k

yxkoyxkoyxkof(k)<0考慮：①判別式?、②開口方向、③對稱軸、④端點值的正負一元二次方程根的分布(講課)一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根的分布兩個根都在（k1,k2)內(nèi)兩個根有且僅有一個在(k1,k2)內(nèi)x1<k1<

k2<x2

yxk2ok1yxk2ok1yxk2ok1考慮：①判別式?、②開口方向、③對稱軸、④端點值的正負一元二次方程根的分布(講課)1一元二次方程根的分布(講課)一元二次方程根的分布(講課)一元二次方程根的分布(講課)練習：x2+（