線性代數(shù)的應(yīng)用論文

論文:線性代數(shù)的應(yīng)用與心得體會班級：姓名：學(xué)號:指導(dǎo)老師:完成時間：2014年10月20日錄TOC\o"1-2"\h\u907【摘要】 23306【關(guān)鍵詞】 218870一、線性代數(shù)被廣泛運用的原因 221126二、線性代數(shù)在實際中的應(yīng)用 2237261.用二階行列式求平行四邊形面積，用三階行列式求平行六面面體 2271022.希爾密碼 2130603.在人們平常日常生活的應(yīng)用——減肥配方的實現(xiàn) 3272354、在城市人們出行的應(yīng)用——交通流的分析 474235、馬爾可夫鏈 519066、在人口遷移的應(yīng)用人口遷徙模型 523542三、心得與體會 7【摘要】我們對線性代數(shù)的了解大概是，線性代數(shù)理論有著悠久的歷史和豐富的內(nèi)容，還有其主要知識：矩陣、方程組和向量；我們也應(yīng)該了解其在眾多的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域和實際生活中的應(yīng)用都十分廣泛。下面就是看一些具體實例應(yīng)用，和一些心得體會?！娟P(guān)鍵詞】線性代數(shù)；實際生活；應(yīng)用實例；心得體會；。一、線性代數(shù)被廣泛運用的原因為什么線性代數(shù)得到廣泛運用，也就是說，為什么在實際的科學(xué)研究中解線性方程組是經(jīng)常的事，而并非解非線性方程組是經(jīng)常的事呢？原因之一，大自然的許多現(xiàn)象恰好是線性變化的，研究的是單個變量之間的關(guān)系。例如我們高中學(xué)過的物理學(xué)科中，物理可以分為機械運動、電運動、還有量子力學(xué)的運動。而比較重要的機械運動的基本方程是牛頓第二定律，即物體的加速度同它所受到的力成正比，其實這又恰恰符合基本的線性微分方程。再如電運動的基本方程是麥克思韋方程組，這個方程組表明電場強度與磁場的變化率成正比，而磁場的強度又與電場強度的變化率成正比，因此麥克思韋方程組也正好是線性方程組。原因之二，之后隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個變量之間的關(guān)系，還要進一步研究多個變量之間的關(guān)系，因為各種實際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而且由于計算機的發(fā)展，線性化了的問題又可以計算出來，所以，線性代數(shù)因這方面的成為了解決這些問題的有力工具而被廣泛應(yīng)用。原因之三，在數(shù)學(xué)中線性代數(shù)與幾何和代數(shù)有著不可分割的聯(lián)系。線性代數(shù)所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念變?yōu)槌橄蟪鰜淼墓砘椒ǎ瑢τ趶娀藗兊臄?shù)學(xué)訓(xùn)練，增強科學(xué)性是非常有用的。二、線性代數(shù)在實際中的應(yīng)用用二階行列式求平行四邊形面積，用三階行列式求平行六面面體希爾密碼希爾密碼（HillPassword）是運用基本矩陣論原理的替換密碼，由LesterS.Hill在1929年發(fā)明。每個字母當(dāng)作26進制數(shù)字：A=0,B=1,C=2...一串字母當(dāng)成n維向量，跟一個n×n的矩陣相乘，再將得出的結(jié)果模26。注意用作加密的矩陣（即密匙）在\mathbb_^n必須是可逆的，否則就不可能譯碼。只有矩陣的行列式和26互質(zhì)，才是可逆的。例題、設(shè)明文為HPFRPAHTNECL,密鑰矩陣為：3.在人們平常日常生活的應(yīng)用——減肥配方的實現(xiàn)大學(xué)生在飲食方面存在很多問題，多數(shù)大學(xué)生不重視吃早餐，日常飲食也沒有規(guī)律，為了身體的健康就需要注意日常飲食中的營養(yǎng)。大學(xué)生每天的配餐中需要攝入一定的蛋白質(zhì)、脂肪和碳水化合物，下表給出了這三種食物提供的營養(yǎng)以及大學(xué)生的正常所需營養(yǎng)（它們的質(zhì)量以適當(dāng)?shù)膯挝挥嬃浚?。設(shè)三種食物每100克中蛋白質(zhì)、碳水化合物和脂肪的含量如下表，表中還給出了80年代美國流行的劍橋大學(xué)醫(yī)學(xué)院的簡捷營養(yǎng)處方?，F(xiàn)在的問題是：如果用這三種食物作為每天的主要食物，那么它們的用量應(yīng)各取多少？才能全面準確地實現(xiàn)這個營養(yǎng)要求。營養(yǎng)每100g食物所含營養(yǎng)(g)減肥所要求的每日營養(yǎng)量脫脂牛奶大豆面粉乳清蛋白質(zhì)36511333碳水化合物52347445脂肪071.13設(shè)脫脂牛奶的用量為x1個單位（100g），大豆面粉的用量為x2個單位（100g），乳清的用量為x3個單位（100g），表中的三個營養(yǎng)成分列向量為：則它們的組合所具有的營養(yǎng)為使這個合成的營養(yǎng)與劍橋配方的要求相等，就可以得到以下的矩陣方程： 用MATLAB解這個問題非常方便，列出程序ag763如下： A=[36,51,13;52,34,74;0,7,1.1] b=[33;45;3] x=A\b 程序執(zhí)行的結(jié)果為： 即脫脂牛奶的用量為27.7g，大豆面粉的用量為39.2g，乳清的用量為23.3g，就能保證所需的綜合營養(yǎng)量。4、在城市人們出行的應(yīng)用——交通流的分析某城市有兩組單行道，構(gòu)成了一個包含四個節(jié)點A,B,C,D的十字路口如圖6.5.2所示。在交通繁忙時段的汽車從外部進出此十字路口的流量（每小時的車流數(shù)）標(biāo)于圖上?，F(xiàn)要求計算每兩個節(jié)點之間路段上的交通流量x1,x2,x3,x4。解：在每個節(jié)點上，進入和離開的車數(shù)應(yīng)該相等，這就決定了四個流通的方程：節(jié)點A:x1+450＝x2+610節(jié)點B:x2+520＝x3+480節(jié)點C:x3+390＝x4+600節(jié)點D:x4+640＝x2+310將這組方程進行整理，寫成矩陣形式： 圖3 單行線交通流圖其系數(shù)增廣矩陣為：圖3 單行線交通流圖用消元法求其行階梯形式，或者直接調(diào)用U0=rref([A,b]),可以得出其精簡行階梯形式為注意這個系數(shù)矩陣所代表的意義，它的左邊四列從左至右依次為變量x1,x2,x3,x4的系數(shù)，第五列則是在等式右邊的常數(shù)項。把第四列移到等式右邊，可以按行列寫恢復(fù)為方程，其結(jié)果為： x1=x4+330,x2=x4+170,x3=x4+2100＝0由于最后一行變?yōu)槿?，這個精簡行階梯形式只有三行有效，也就是說四個方程中有一個是相依的，實際上只有三個有效方程。方程數(shù)比未知數(shù)的數(shù)目少，即沒有給出足夠的信息來唯一地確定x1,x2,x3,和x4。其原因也不難從物理上想象，題目給出的只是進入和離開這個十字路區(qū)的流量，如果有些車沿著這四方的單行道繞圈，那是不會影響總的輸入輸出流量的，但可以全面增加四條路上的流量。所以x4被稱為自由變量，實際上它的取值也不能完全自由，因為規(guī)定了這些路段都是單行道，x1,x2,x3,和x4。都不能取負值。所以要準確了解這里的交通流情況，還應(yīng)該在x1,x2,x3,和x4中，再檢測一個變量。5、馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈（MarkovChain），描述了一種狀態(tài)序列，其每個狀態(tài)值取決于前面有限個狀態(tài)。馬爾可夫鏈是具有馬爾可夫性質(zhì)的隨機變量的一個數(shù)列。這些變量的范圍，即它們所有可能取值的集合，被稱為“狀態(tài)空間”，而的值則是在時間n的狀態(tài)。如果對于過去狀態(tài)的條件概率分布僅是的一個函數(shù)，則這里x為過程中的某個狀態(tài)。上面這個恒等式可以被看作是馬爾可夫性質(zhì)。例題、6、在人口遷移的應(yīng)用人口遷徙模型設(shè)在一個大城市中的總?cè)丝谑枪潭ǖ?。人口的分布則因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變化。每年有6%的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住，而有2%的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。假如開始時有30%的居民住在市區(qū)，70%的居民住在郊區(qū)，問十年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？這個問題可以用矩陣乘法來描述。把人口變量用市區(qū)和郊區(qū)兩個分量表示，即其中xc為市區(qū)人口所占比例，xs為郊區(qū)人口所占比例，k表示年份的次序。在k=0的初始狀態(tài)：。一年以后，市區(qū)人口為xc1=(1-0.02)xc0+0.06xs0，郊區(qū)人口xs1=0.02xc0+(1-0.06)xs0，用矩陣乘法來描述，可寫成：此關(guān)系可以從初始時間到k年,擴展為,用下列MATLAB程序進行計算：A=[0.94,0.02;0.06,0.98]x0=[0.3;0.7]x1=A*x0,x10=A^10*x0x30=A^30*x0x50=A^50*x0程序運行的結(jié)果為：無限增加時間k，市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向一組常數(shù)0.25/0.75。為了弄清為什么這個過程趨向于一個穩(wěn)態(tài)值，我們改變一下坐標(biāo)系統(tǒng)。在這個坐標(biāo)系統(tǒng)中可以更清楚地看到乘以矩陣A的效果。選u1為穩(wěn)態(tài)向量[0.25,0.75]T的任意一個倍數(shù)，令u1=[1,3]T和u2=[-1,1]T。可以看到，用A乘以這兩個向量的結(jié)果不過是改變向量的長度，不影響其相角（方向）： 初始向量x0可以寫成這兩個基向量u1和u2的線性組合； 因此 式中的第二項會隨著k的增大趨向于零。如果只取小數(shù)點后兩位，則只要k>27，這第二項就可以忽略不計而得到適當(dāng)選擇基向量可以使矩陣乘法結(jié)果等價于一個簡單的實數(shù)乘子，避免相角項出現(xiàn)，使得問題簡單化。這也是方陣求特征值的基本思想。這個應(yīng)用問題實際上是所謂馬爾可夫過程的一個類型。所得到的向量序列x1,x2,...,xk稱為馬爾可夫鏈。馬爾可夫過程的特點是k時刻的系統(tǒng)狀態(tài)xk完全可由其前一個時刻的狀態(tài)xk-1所決定，與k-1時刻之前的系統(tǒng)狀態(tài)無關(guān)。心得與體會沒上線性代數(shù)的時候，心中還有點忐忑，怕自己學(xué)不好。但是當(dāng)真的學(xué)時，用心聽老師講的每節(jié)課，還是感覺很輕松的。然后每章結(jié)束后的習(xí)題，自己認真完成，不會的再翻翻以前學(xué)過的知識點和筆記，自己就會豁然開朗，而且死死地記住題型，考試的時候不會緊張而且游刃有余?？梢钥偨Y(jié)一下，線性代數(shù)主要研究三種對象：矩陣、方程組和向量。這三種對象的理論是密切相關(guān)的，大部分問題在這三種理論中都有等價說法。因此，熟練地從一種理論的敘述轉(zhuǎn)移到另一種中去，是學(xué)習(xí)線性代數(shù)時應(yīng)養(yǎng)成的一種重要習(xí)慣和素質(zhì)。如果說與實際計算結(jié)合最多的是矩陣的觀點，那么向量的觀點則著眼于從整體性和結(jié)構(gòu)性考慮問題，因而可以更深刻、更透徹地揭示線性代數(shù)中各種問題的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)屬性。由此可見，只要掌握矩陣、方程組和向量的內(nèi)在聯(lián)系，遇到問題就能左右逢源，舉一反三，化難為易。線性代數(shù)作為數(shù)學(xué)的一門，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思想。數(shù)學(xué)上的方法是相通的。比如，考慮特殊情況這種思路。線性代數(shù)中行列式按行或列展開公式的證明就是從更簡單的特殊情況開始證起；解線性方程組時先解對應(yīng)的齊次方程組，這些都是先考慮特殊情況。高數(shù)上解二階常系數(shù)線性微分方程時先解其對應(yīng)的齊次方程，這用的也是這種思路。通過思想方法上的聯(lián)系和內(nèi)容上的關(guān)系，線性代數(shù)中的內(nèi)容以及線性代數(shù)與高等數(shù)學(xué)甚至其它學(xué)科可以聯(lián)系起來。只要建立了這種聯(lián)系，線代就不會像原來那樣瑣碎了。在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中，注重知識點的銜接與轉(zhuǎn)換，努力提高綜合分析能力。線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，學(xué)習(xí)時應(yīng)當(dāng)常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)