2023學(xué)年完整公開課版因數(shù)和倍數(shù)

因數(shù)與倍數(shù)義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)利通二小吳金萍地位數(shù)論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是研究整數(shù)性質(zhì)的一門學(xué)問，以嚴(yán)格、簡潔、抽象著稱。數(shù)學(xué)是“科學(xué)的皇后”，而“數(shù)論”則是“數(shù)學(xué)的皇后”，由此可見數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位。性質(zhì)數(shù)的整除性理論是數(shù)論最基本的理論，對(duì)于任意整數(shù)a、b，都存在整數(shù)n、r，使b=na+r(其中r﹤a),當(dāng)r=0時(shí),我們就說b能被a整除（或a能整除b），此時(shí)b=na。本單元所有概念都是建立在數(shù)的整除性的基礎(chǔ)之上的。作用本單元涉及到的因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)及第四單元中的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)均屬于初等數(shù)論的基本內(nèi)容。通過學(xué)習(xí)，可進(jìn)一步豐富學(xué)生有關(guān)整數(shù)的知識(shí)，有助于發(fā)展學(xué)生的抽象思維。

以往教材把約數(shù)（因數(shù)），倍數(shù)，能被2、5、3整除的數(shù)的特征，質(zhì)數(shù)，合數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)，最大公約數(shù)（最大公因數(shù)），最小公倍數(shù)等內(nèi)容集中編排在一個(gè)單元，主要是為了突顯上述概念的緊密邏輯關(guān)系，但也易形成同一單元概念多且集中，抽象程度高的現(xiàn)象，造成學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)概念混淆、理解困難的問題。歷來是小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)難點(diǎn)之一。除法除不盡除盡整除約數(shù)倍數(shù)能被2、5、3整除的數(shù)的特征公約數(shù)公倍數(shù)最大公約數(shù)最小公倍數(shù)1質(zhì)數(shù)合數(shù)質(zhì)因數(shù)分解質(zhì)因數(shù)非0自然數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)互質(zhì)數(shù)是互質(zhì)數(shù)的五種特殊情形短除法（分解質(zhì)因數(shù)法）縮數(shù)法輾轉(zhuǎn)相除法特殊數(shù)的最大公約數(shù)特殊數(shù)的最小公倍數(shù)短除法（分解質(zhì)因數(shù)法）擴(kuò)數(shù)法偶數(shù)奇數(shù)能被4、25整除的數(shù)的特征能被8、125整除的數(shù)的特征能被9整除的數(shù)的特征非零自然數(shù)的分類非零自然數(shù)的分類九義教材數(shù)的整除內(nèi)容結(jié)構(gòu)安排因數(shù)與倍數(shù)因數(shù)與倍數(shù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)2、5、3的倍數(shù)的特征

因數(shù)和倍數(shù)的概念（p12頁主題圖）一個(gè)數(shù)的因數(shù)的求法（例1）一個(gè)數(shù)的因數(shù)的特點(diǎn)（p13頁做一做）一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的求法（例2）一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的特點(diǎn)（p14頁做一做2題）2的倍數(shù)的特征（p17頁及做一做）5的倍數(shù)的特征（p18頁及做一做）3的倍數(shù)的特征（p19頁及做一做）P15~16頁練習(xí)二1~6題奇數(shù)偶數(shù)P20~22頁練習(xí)三1~10題質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念（p23頁及做一做）找100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)P25~26頁練習(xí)四1~5題人教版實(shí)驗(yàn)教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)安排和九義教材相比，實(shí)驗(yàn)教材按《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求做了如下調(diào)整1.不再出現(xiàn)“整除”概念，直接從乘法算式引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。2.不再正式教學(xué)“分解質(zhì)因數(shù)”，只作為閱讀性材料進(jìn)行介紹。3.公因數(shù)、最大公因數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)移至“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”單元，作為約分和通分的知識(shí)基礎(chǔ)，更突出其應(yīng)用性。通過四年多的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了大量的整數(shù)知識(shí)（包括整數(shù)的認(rèn)識(shí)，整數(shù)四則運(yùn)算）。本單元在已有知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)一步探索整數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)目標(biāo)1．使學(xué)生掌握因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，知道有關(guān)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。2．使學(xué)生通過自主探索，掌握2、5、3的倍數(shù)的特征。3．逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。過去：用b÷a＝n表示b能被a整除，b÷n＝a表示b能被n整除?，F(xiàn)在：用na=b直接引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。（1）用2×6＝12給出因數(shù)和倍數(shù)的概念。（2）用3×4＝12進(jìn)一步鞏固上述概念。（3）讓學(xué)生利用因數(shù)和倍數(shù)的概念自主發(fā)現(xiàn)12的其他因數(shù)。（4）可引導(dǎo)學(xué)生利用一般的乘法算式a×b=c歸納出因數(shù)和倍數(shù)的概念。（5）說明本單元的研究范圍。注意以下幾點(diǎn)：（1）雖然不出現(xiàn)“整除”一詞，但本質(zhì)上仍是以整除為基礎(chǔ)，因此，乘法算式中的乘數(shù)和積都必須是整數(shù)。（2）因數(shù)和倍數(shù)是一對(duì)相互依存的概念，不能單獨(dú)存在。（3）注意區(qū)分乘法算式各部分名稱中的“因數(shù)”和本單元中的“因數(shù)”的聯(lián)系和區(qū)別。（4）注意區(qū)分“倍數(shù)”與前面學(xué)過的“倍”的聯(lián)系與區(qū)別。（1）可用不同的方法求出18的因數(shù)（列出積是18的乘法算式或列出被除數(shù)是18的除法算式），但應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生有序思考。（2）用集合圈表示因數(shù)，為后面求兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)作鋪墊。一個(gè)數(shù)的因數(shù)的特點(diǎn)：（1）最大因數(shù)是其自身，最小因數(shù)是1。（2）因數(shù)個(gè)數(shù)有限。（3）此結(jié)論通過例1和“做一做”中的特例通過不完全歸納法得出，體現(xiàn)了從具體到一般的思路。一個(gè)數(shù)的因數(shù)的求法

一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的求法

（1）求法：用該數(shù)乘任意非0自然數(shù)所得的積都是該數(shù)的倍數(shù)。（2）用集合圈表示倍數(shù)，為后面求兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)作鋪墊。做一做:與例2結(jié)合起來，提供了2、5、3的倍數(shù)，為后面探討2、5、3倍數(shù)的特征做準(zhǔn)備。一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的特點(diǎn)：（1）最小倍數(shù)是其自身，沒有最大的倍數(shù)。（2）倍數(shù)個(gè)數(shù)無限。（3）此結(jié)論通過例2和“做一做”中的特例通過不完全歸納法得出，體現(xiàn)了從具體到一般的思路。因?yàn)?、5的倍數(shù)的特征在個(gè)位數(shù)上就體現(xiàn)出來了，而3的倍數(shù)涉及到各數(shù)位上的數(shù)字之和，較為復(fù)雜，因此后安排3的倍數(shù)的特征。本部分內(nèi)容對(duì)于熟練掌握約分、通分、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算有很重要的作用。（1）從生活情境“雙號(hào)”引入。（2）觀察2的倍數(shù)的個(gè)位數(shù)，總結(jié)出2的倍數(shù)的特征。（3）介紹奇數(shù)和偶數(shù)的概念。（4）可讓學(xué)生隨意找一些數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，但不要求嚴(yán)格的證明。（1）編排方式與2的倍數(shù)的特征類似。（2）可進(jìn)一步總結(jié)既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的特征，即10的倍數(shù)的特征。（1）強(qiáng)調(diào)自主探索，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察――猜想――推翻猜想――再觀察――再猜想――驗(yàn)證的過程。（2）可任意選擇一個(gè)數(shù)，用正面、反面的例子對(duì)結(jié)論進(jìn)一步驗(yàn)證。（3）也可對(duì)任意3的倍數(shù)的各位數(shù)調(diào)換位置，更深刻地理解3的倍數(shù)的特征。質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念

找100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)

（1）根據(jù)20以內(nèi)各數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)把數(shù)分成三類：1、質(zhì)數(shù)、合數(shù)。（2）可任出一個(gè)數(shù)，讓學(xué)生根據(jù)概念判斷其為質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。（1）方法多樣?？梢愿鶕?jù)質(zhì)數(shù)的概念逐個(gè)判斷，也可用埃拉托斯特尼篩法。（2）把握教學(xué)要求：知道100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，熟悉20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)。教學(xué)建議1.加強(qiáng)對(duì)概念間相互關(guān)系的梳理，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上理解概念，避免死記硬背。理解了因數(shù)和倍數(shù)的含義，一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的、倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的等結(jié)論自然掌握，后續(xù)的公因數(shù)、公倍數(shù)等概念的理解也是水到渠成。不能機(jī)械記憶一堆支離破碎、毫無關(guān)聯(lián)的概念和結(jié)論。2.要注意培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。如讓學(xué)生通過幾個(gè)特殊的例子，自行總結(jié)出任何一個(gè)數(shù)的倍數(shù)個(gè)數(shù)都是無限的，逐步形成從特殊到一般的歸納推理能力。（1）本單元是有關(guān)數(shù)論的內(nèi)容，主要研究整數(shù)的性質(zhì)。就數(shù)論這門學(xué)科而言，研究的數(shù)的范圍是整數(shù)（0是整數(shù)），而且其主要概念都是在整除（見與本冊(cè)教材相配套的教師教學(xué)用書的說明）的基礎(chǔ)上定義的，具體的某個(gè)概念又會(huì)限定在特定的數(shù)的范圍內(nèi)（如0×5＝0，可以說5是0的因數(shù)，0是5的倍數(shù)；但不能說0是0的因數(shù)，在數(shù)論里討論的因數(shù)與一般乘法算式中的因數(shù)的概念是不同的，數(shù)論里的因數(shù)不能為0）。（2）雖然本單元的內(nèi)容應(yīng)該在整數(shù)范圍內(nèi)研究，但是，由于0是任何非0自然數(shù)的倍數(shù)，任何非0自然數(shù)是0的因數(shù)；這種由于0的特殊性導(dǎo)致在研究具體問題時(shí)經(jīng)常要注意說明0是否包含在內(nèi)，給研究問題帶來很多麻煩。（如雖然0是任何非0自然數(shù)的倍數(shù)，但最小公倍數(shù)指的是一切公倍數(shù)中的最小正數(shù)）。因此，限于小學(xué)生的認(rèn)知水平，在小學(xué)階段進(jìn)行特殊約定，一般只在非0的自然數(shù)范圍內(nèi)加以研究，教材對(duì)此在第12頁進(jìn)行了說明。（3）奇數(shù)、偶數(shù)的概念是在整除的基礎(chǔ)上定義的，研究的范圍是整數(shù)，因?yàn)?能被2整除(或者說0是2的倍數(shù)),因此,0也是偶數(shù)。為此，教材對(duì)“0也是偶數(shù)”進(jìn)行了補(bǔ)充說明，概念是科學(xué)的定義，這與前面對(duì)本單元數(shù)的范圍的特殊約定并不矛盾。（4）與因數(shù)和倍數(shù)不同，質(zhì)數(shù)和合數(shù)在正整數(shù)范圍內(nèi)研究，因此討論質(zhì)數(shù)與合數(shù)時(shí)不包括0。相應(yīng)地，如果把正整數(shù)分類，應(yīng)分為：1、質(zhì)數(shù)和合數(shù)。疑難解析1：關(guān)于“0”疑難解析2：短除法——教，還是不教？

以前用短除法求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)，教師更多的精力集中在計(jì)算的方法上，學(xué)生并不是十分清楚為什么要用短除法，短除法背后的道理是什么。針對(duì)這種情況，教材根據(jù)課標(biāo)“能找出兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)”這一理念，對(duì)最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的求法進(jìn)行了調(diào)整，以理解概念為基礎(chǔ)呈現(xiàn)了兩種直觀、明了、易懂的“找”最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的方法，加深了學(xué)生對(duì)概念的理解，降低了學(xué)習(xí)的難度，體現(xiàn)了算法多樣化的思想，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)具體情況調(diào)整自己策略的能力。正是因?yàn)檫@種改變，質(zhì)因數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)等內(nèi)