初中數(shù)學(xué)函數(shù)模塊3-4二次函數(shù)講義（含答案解析）

二次函數(shù)題型練

題型一：二次函數(shù)的定義

1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c,是常數(shù)，。。0）的函數(shù)，叫

做二次函數(shù).

這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)。。0,而6,c可以為零，二次函數(shù)的

定義域是全體實(shí)數(shù).

2.二次函數(shù)y=ax2+6x+c的結(jié)構(gòu)特征：

（1）等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2

（2）a,b,c是常數(shù)，。是二次項(xiàng)系數(shù)，6是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).

①二次函數(shù)的識(shí)別

例1.1下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）

88

A.=6x2+15.歹=6x+1c.y--D.y=——r+1

xx

【詳解】

解：A.是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

B.是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.是反比例函數(shù)，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.等式的右邊是分式，不是整式，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

變式1.1

1.下列各式中，v是x的二次函數(shù)的是（）

A.y=3x-lB.y=\C.y=3x2+x-1P.y=2x2+-

XX

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：形如嚴(yán)"2+加+。（a、b、c是常數(shù)，中0）的函數(shù)，

叫做二次函數(shù)求解可得.

【詳解】解：A、y=3x-i是一次函數(shù)，不符合題意；

B、了=二中右邊不是整式，不是二次函數(shù)，不符合題意；

x~

C、y=3x2+x-\是二次函數(shù)，符合題意；

D、y=2/+上中右邊不是整式，不是二次函數(shù)，不符合題意；

X

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握形如>=以2+云+,（a、b、

。是常數(shù)，。和）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

②根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)

例L2如果函數(shù)y=（m-2）x""2+2x—7是二次函數(shù)，則加的取值范圍是（）

A.m=±2B.m=2C.m=-2D他為全體實(shí)數(shù)

【詳解】

解：由題意得：m-2^0,加2一2=2，

解得：m=—2,

故選：C.

變式1.2

2.已知函數(shù)了=（2-左）N+^+i是二次函數(shù)，則上滿足

【答案】原2

【解析】

【分析】利用二次函數(shù)定義可得2-后0,再解不等式即可.

【詳解】解：由題意得：2-片0,

解得：原2,

故答案為：原2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

題型二：二次函數(shù)表達(dá)式的圖像和性質(zhì)

①y=a?方的圖像和性質(zhì)

。的符開(kāi)口頂點(diǎn)坐對(duì)稱

性質(zhì)

號(hào)方向標(biāo)軸

x〉0時(shí)，y隨著X的增大而增大；x<0時(shí)，y隨著X

a〉0向上(0,0)N軸

的增大而減??；x=0時(shí)，y有最小值0

x〉0時(shí)，y隨著x的增大而減小；x<0時(shí)，y隨著x

Q<0向下(0,0)N軸

的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值0

例2.1拋物線y=-2x2的對(duì)稱軸是（）

4直線x=—8.直線x=-1C.直線x=0D直線夕=0

22

【詳解】

解：對(duì)稱軸為y軸，

即直線x=0.

故選C.

變式2.1

3.拋物線y=2x2,y=-2x2,y=：x?的共同性質(zhì)是（）

A.開(kāi)口向上B.對(duì)稱軸是y軸C.都有最高點(diǎn)D.y隨x的增大而增

大

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題.

【詳解】拋物線y=2x2,y=；x2開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是對(duì)稱軸是y軸，有最低點(diǎn)，

在y軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，y=-2x2,開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是對(duì)稱軸是y

軸，有最高點(diǎn)，在y軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，

故拋物線y=2x2,y=-2x2,y=：x2的共同性質(zhì)是對(duì)稱軸是y軸，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是

解題關(guān)鍵.

②y=，+c方的圖像和性質(zhì)

。的符開(kāi)口頂點(diǎn)坐對(duì)稱性質(zhì)

號(hào)方向標(biāo)軸

x〉0時(shí)，y隨著x的增大而增大；x<0時(shí)，y隨著x

a>Q向上(O,c)V軸

的增大而減小；x=0時(shí)，y有最小值。

x>0時(shí)，y隨著x的增大而減??；x<0時(shí)?，y隨著x

a<0向下（O,。）y軸

的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值。

例2.2

4.將拋物線y=x2+3向右平移2個(gè)單位后，所得拋物線頂點(diǎn)是.

【答案】（2,3）

【解析】

【分析】根據(jù)題目給出的二次函數(shù)頂點(diǎn)式，以及“左加右減”的平移原則寫(xiě)出平移

后的頂點(diǎn)式，再寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：根據(jù)“左加右減”的平移原則，向右平移兩個(gè)單位，平移后解析式應(yīng)

該是尸（I）?+3,

...頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,3）.

故答案是：（2,3）.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的平移，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)平移的方法.

【詳解】

解:根據(jù)“左加右減”的平移原則，向右平移兩個(gè)單位，平移后解析式應(yīng)該是y=（x-2）2+3,

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,3）.

故答案是：（2,3）.

變式2.2

$在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出下列二次函數(shù)的圖象：

1212c12c

y=—x,y=—x+2y=—x-2.

2292

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

【分析】利用描點(diǎn)法可畫(huà)出這三個(gè)函數(shù)的圖象.

【詳解】解:列表：

X-202

v=—1Xx2202

2

1,

廣產(chǎn)+2424

v=—X2-20_、0

)2

描點(diǎn)：見(jiàn)表中的數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn);

連線：用平滑的線連接，如圖所示:

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的畫(huà)法，掌握基本的描點(diǎn)法作函數(shù)圖象是解題

的關(guān)鍵.

③頂點(diǎn)式_y=a(x-/?)2+k的性質(zhì)

a的符開(kāi)口頂點(diǎn)坐

對(duì)稱軸性質(zhì)

號(hào)方向標(biāo)

直線X〉〃時(shí)，y隨著x的增大而增大；X<〃時(shí)，y隨

a>0向上仇后)

x=h著尢的增大而減??；x=〃時(shí)，y有最小值〃

a<0向F(人㈤直線x〉/z時(shí)，y隨著龍的增大而減?。弧?lt;人時(shí)，卜隨

x=h著x的增大而增大；x=〃時(shí)，y有最大值k

例2.3若二次函數(shù)y=(x—m)2—1.當(dāng)x43時(shí)，V隨x的增大而減小，則加的取值范圍

是()

A.m=3B.m>3C.m>3D.m<3

【詳解】

解：由題知二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=加，開(kāi)口向上，

根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)：只需滿足x43W〃?即可滿足題意,

故選C.

變式2.3

6.已知點(diǎn)P(m,n)在拋物線y=a(x-5)2+9(a/))上，當(dāng)3<mV4時(shí)，總有

n>l,當(dāng)7Vm<8時(shí)，總有n<l,則a的值為()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】P

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的解析式可以確定拋物線的頂點(diǎn)和增減性，再根據(jù)已知條件確

定。的符號(hào)和關(guān)于a的不等式，從而得到a的值.

【詳解】解：?.?拋物線y=a(x-5)2+9(a/0),

.?.拋物線的頂點(diǎn)為(5,9),

?.,當(dāng)7VmV8時(shí)，總有nVl,

，a不可能大于0,

則a<0,

，xV5時(shí)，y隨x的增大而增大，x>5時(shí)，y隨x的增大而減小，

?當(dāng)3VmV4時(shí)，總有n>l,當(dāng)7VmV8時(shí)，總有nV1,且x=3與x=7對(duì)稱，

.，.m=3時(shí),n2l,m=7時(shí)，nWl,

.j4a+921

，，［4?+9<1，

...4a+9=l,

Aa=-2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性

及其與圖象的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

④一般式y(tǒng)-ax2+bx+c

開(kāi)

?的符口

頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

號(hào)方

向

X〉--2時(shí)，y隨著X的增大而增大；

向(b4ac-b2y直線

a〉0bx<---時(shí)，y隨著X的增大而減??；

上、2。’4a)x=---

2a

X=--時(shí)，y有最小值4"c-/>_

2a4〃

X〉-2時(shí)，y隨著X的增大而增大：

2a

向'b4ac-b?'匕線

a<0bx<0時(shí),y隨著x的增大而增大；

下k2a4。,x=---

2ax=--2時(shí)，y有最小值4"‘二"

2a4a

例2.4若4（一3.5,必）、。（1,8）為二次函數(shù)少=一》2-4》+5的圖象上三點(diǎn),

則凹，為，外的大小關(guān)系是...（用〉連接）

【詳解】

b-4

對(duì)稱軸為直線x=h==2,

2a2x(-1)

V(7=—1<0,

...當(dāng)x<—2時(shí)，y隨X的增大而增大，當(dāng)x>—2時(shí)、y隨X的增大而減小，

V-2-(-3.5)=-2+3.5=1.5,-1-(-2)=-1+2=1,1-(-2)=1+2=3,

二%>%>8?

故答案為：%〉乂〉％.

變式2.4

7.某同學(xué)利用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)丫=2*2+6*+(:(a#))的圖象時(shí)，列出的部分?jǐn)?shù)據(jù)如

下表：

序號(hào)①②③④⑤

X01234

y30-203

經(jīng)檢查，發(fā)現(xiàn)表格中恰好有一組數(shù)據(jù)計(jì)算錯(cuò)誤，請(qǐng)你找出錯(cuò)誤的那組數(shù)據(jù).(只

填序號(hào))

【答案】③.

【解析】

【分析】由圖表的信息知：第一、二、四、五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都關(guān)于x=2對(duì)稱，所以錯(cuò)

誤的一組數(shù)據(jù)應(yīng)該是(2,-2)；可選取其他四組數(shù)據(jù)中的任意三組，用待定系數(shù)法

求出拋物線的解析式.

【詳解】解：選取(0，3)、(1,0)、(3,0)；

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)(x-3),則有：

a(0-1)(0-3)=3,a=l；

.*.y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.

當(dāng)x=2時(shí)，y=22-4x2+3=-1#-2,

所以③數(shù)據(jù)計(jì)算錯(cuò)誤.

故答案為：③.

【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，能夠正確的判斷出錯(cuò)誤的

一組數(shù)據(jù)是解答此題的關(guān)鍵.

⑤一般式與頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)換

將一般式進(jìn)行配方變形得到

可以根據(jù)上述公式，實(shí)現(xiàn)二次函數(shù)的一般式與頂點(diǎn)式之間的轉(zhuǎn)換.

例2.5對(duì)于拋物線y=￡—4x+3.

(1)將拋物線的一般式化為頂點(diǎn)式.

(2)在坐標(biāo)系中利用五點(diǎn)法畫(huà)出此拋物線.

(3)結(jié)合圖象，當(dāng)0<x<3時(shí)，求出N的取值范圍.

【詳解】

(1)y=x2-4x+3=^x2-4x+4)-4+3=(x-2)2

:?拋物線的頂點(diǎn)式為歹=(》-2)2-1.

(2)

X???01234???

???…

y30-103

函數(shù)圖象如圖所示:

(3)根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)0<x<3時(shí)，y的取值范圍是一14〉<3.

變式2.5

8.將拋物線歹=/一2刀-3變成頂點(diǎn)式為.

【答案】y=(x-l)2-4

【解析】

【分析】由于二次項(xiàng)系數(shù)是1,所以直接加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來(lái)湊完全平

方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式.

【詳解】解：y=^-2x-3

=儲(chǔ)一2x+l-4

=(X-1)2-4.

故答案為：y=(x-l)~-4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，正確配方是解題的關(guān)鍵.

⑥二次函數(shù)圖象的平移

例2.6將拋物線y=/向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后，它的解析式為()

A.y=(x+1)2+38.y=(x-iy+3C.j?=(x+l)2—3D.y-(x—I)2-3

【詳解】

解：將拋物線圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，所得圖象解析式為

y=(x-l)2+3

故選擇：B.

變式2.6

Q.把拋物線y=-2x2向上平移1個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到的拋物線是()

A.y=-2(x+l)2+lB.y=-2(x-l)2+l

C.y=-2(x-l)2-lD.y=-2(x+l)2-l

【答案】8

【解析】

【分析】按“左加右減括號(hào)內(nèi)，上加下減括號(hào)外”的規(guī)律平移即可得出所求函數(shù)的解

析式.

【詳解】拋物線丁=-2》2向上平移1個(gè)單位，可得^=一2/+1,再向右平移1個(gè)單

位得到的拋物線是y=-2(x-1)?+1.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，其規(guī)律是：將二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂

點(diǎn)式y(tǒng)=a(x/)2+左(a,b,c為常數(shù)，的2),確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)(兒k),在原有函數(shù)的基

礎(chǔ)上“〃值正右移，負(fù)左移；左值正上移，負(fù)下移

題型三：各項(xiàng)系數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系

a決定二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向，

a,b決定對(duì)稱軸的位置，（左同右異，即a與6同號(hào)，則對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，反之在y軸右

側(cè)）

c決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.

例3已知二次函數(shù)歹=ax2+bx+c（q，0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①b<0,c>0；

②a+b+c<0；③方程的兩根之和大于0；@a-b+c<0,其中正確的個(gè)數(shù)是（）

44個(gè)8.3個(gè)C.2個(gè)D1個(gè)

【詳解】

試題分析：；拋物線開(kāi)口向下，,a<0,?.?拋物線對(duì)稱軸x>0,且拋物線與y軸交于正半

軸，.?.6>0,c>0,故①錯(cuò)誤；

由圖象知，當(dāng)x=l時(shí)，y<0,即a+b+c<0,故②正確，令方程a/+bx+c=0的兩

根為須、x2,由對(duì)稱軸x〉0,可知*>°，即玉+丫2〉0,故③正確；

由可知拋物線與x軸的左側(cè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為：.?.當(dāng)x=-l時(shí)，

y=a-b+c<0,故④正確.

故選艮

變式3

1（9.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是x=-1.有以下結(jié)論：①abc>0,

②4ac〈b2,③2a+b=0,@a—b+c>2,其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（)

【答案】C

【解析】

【詳解】①?.?拋物線開(kāi)口向下，."<0,?.?拋物線的對(duì)稱軸為直線—二一1,...6=24

2a

<0,?..拋物線與歹軸的交點(diǎn)在x軸上方，二?！怠?，...仍c>0,所以①正確；

②???拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，...△=爐-4℃>0,.MacvZA所以②正確；

③?”=2a,..?2a-Q0,所以③錯(cuò)誤；

④時(shí)，>>>0,.,.a-b+c>2,所以④正確.

故選C.

(■(視頻))

題型四：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

一般用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，再求解過(guò)程中需要注意其使用的形式，

1.已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)，一般用一般式求解析式

2已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最值，一般用頂點(diǎn)式進(jìn)行求解，

3.已知拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，一般用交點(diǎn)式進(jìn)行求解，

4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，一般用頂點(diǎn)式進(jìn)行求解.

例4已知二次函數(shù)》=-》2+版+。的圖象經(jīng)過(guò)(-1,0),(0,5)兩點(diǎn)，則這個(gè)二次函數(shù)的解析

式為?

【詳解】

解：把(1,0)、(0,5)代入^=7？+加￡：+。,

一l-6+c=0

得〈

c=5

4=4

解得

c=5

所以二次函數(shù)的解析式為y=—V+4x+5.

故答案為：y=—X2+4x+5.

變式4

11.若二次函數(shù)的圖象過(guò)(-3,0)、(1,0)、(0,-3)三點(diǎn)，則這個(gè)二次函數(shù)的

解析式為_(kāi)_____________

【答案】歹=/+28-3.

【解析】

【分析】設(shè)出二次函數(shù)的解析式為y="2+bx+c,將三點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析

式求出。，6,c的值，即可確定出解析式.

【詳解】設(shè)二次函數(shù)的解析式為ynaf+bx+c,

將(-3,0)、(1,0)、(0,-3)三點(diǎn)代入解析式得:

9a-3h+c=0a=1

<〃+6+c=0,解得：<b=2.

c=-3c=-3

則二次函數(shù)解析式為y=犬+2x-3.

故答案為：y=x2+2x-3.

【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題

的關(guān)鍵.

題型五：二次函數(shù)與一元二次方程

1.一元二次方程雙2+以+C=0,是二次函數(shù)歹=o?+bx+c當(dāng)N=0,即與x軸相交的特

殊情況

2.二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

當(dāng)△>()是，拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)△=()是，拋物線與X軸有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)/<0是，拋物線與X軸沒(méi)有交點(diǎn)；

①拋物線與X軸F軸的交點(diǎn)問(wèn)題

例5.1拋物線歹=1+3與歹軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(3,0)B.(0,3)C.(0,V3)D.(73,0)

【詳解】

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,

則拋物線y=f+3與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3)，

故選8.

變式5.1

12.拋物線y=2/-2x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為—.

【答案】(0,0),(1,0).

【解析】

【分析】解方程2%2-2X=0,即可求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】當(dāng)y=0時(shí)，2X2-2X=0,

解得Xl=0,X2=l>

所以拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),(1,0).

故答案為(0,0),(1,0).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)與一元二次方程解的關(guān)系，二次

函數(shù)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是ax2+bx+c=0時(shí)方程的解，縱坐標(biāo)是尸0.

②根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況

例5.2已知函數(shù)y=以2+bx+c的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程依2+玩+°-4=0的根

的情況是()

OV\x

4有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根8.有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D沒(méi)有實(shí)數(shù)根

【詳解】

???函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,

二直線歹=4與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，

二方程如2+云+°-4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

故選/.

變式5.2

13.如圖，拋物線歹="2與直線歹=反+。的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為/(-2,4),5(1,1),

則關(guān)于X的方程ax2-bx-c=0的解為.

【答案】％=-2,x2=\

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題得到方程組',的解

y-bx-vc

x}=-2fx9=1

為，，「于是易得關(guān)于x的方程ax2-bx?c=0的解.

［凹=4舊=1

【詳解】解：???拋物線歹=辦2與直線夕=6x+c的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為/(-2,4),

5(1,1),

2

方程咪y=…axc的解為([x=i=4-2%2=1

即關(guān)于X的方程如2_反-。=0的解為X1=-2,超=1.

故答案為Xl=-2,X2=l.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a/））的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

24"_J,對(duì)稱軸直線x=-3.也考查了二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交

2a4a2a

點(diǎn)問(wèn)題.

③用圖象求一元二次方程的近似根

例5.3如表是一組二次函數(shù)少=X2一%一3的自變量和函數(shù)值的關(guān)系，那么方程

一_》一3=0的一個(gè)近似根是（）

X1234

y-3-139

A.1.2B.2.3C.3.4D4.5

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的圖象特征解答.

【詳解】

解：觀察表格得：方程F一X-3=0的一個(gè)近似根在2和3之間，

故選：B.

變式5.3.1

24.如圖，以直線x=l為對(duì)稱軸的二次函數(shù)歹="2+以+。的圖象與x軸負(fù)半軸交

于A點(diǎn)，則一元二次方程4/+版+0=0的正數(shù)解的范圍是（).

A.2<x<3B.3<x<4C.4<x<5D.5<x<6

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)圖象得出對(duì)稱軸左側(cè)圖象與工軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍，再利用對(duì)

稱軸x=l,可以算出右側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.

【詳解】?.?二次函數(shù)_y="2+bx+c的對(duì)稱軸為x=l,

而對(duì)稱軸左側(cè)圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是-3<x<-2,

右側(cè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是4<x<5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖象法求一元二次方程的近似根，解答本題首先需要觀察

得出對(duì)稱軸左側(cè)圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍，再根據(jù)對(duì)稱性算出右側(cè)交點(diǎn)橫

坐標(biāo)的取值范圍.

變式5.3.2

工5.若儂、八（八<144）是關(guān)于X的一元二次方程工-（x-n）（X-h）的兩個(gè)

根，且卜<4,則H4,八，b,a.的大小關(guān)系是（）

A.m<a<b<nB.a<m<n<bC.b<n<m<aD.n<b<a<m

【答案】P

【解析】

【詳解】試題分析：如圖拋物線（x-“）（x-力與x軸交于點(diǎn)（a,。），（匕,

。），拋物線與直線的交點(diǎn)為（八，1）,（m,1）,由圖象可知，入故

選P.

考點(diǎn)：拋物線與X軸的交點(diǎn).

③利用圖象求不等式的取值范圍

例5.3如圖是拋物線^=依2+云+。（。/0）圖象的一部分.當(dāng)歹<0時(shí)，自變量X的范圍

是一

【詳解】

解：?.?由函數(shù)圖象可知，函數(shù)圖象與X軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）,對(duì)稱軸為直線x=2,

...拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（5,0）,

.,.當(dāng)"0時(shí),-l<x<5.

故答案為：—l<x<5.

變式5.3

16.二次函數(shù)少=-/+云+。的部分圖象如圖所示，由圖象可知，方程

-x2+hx+c=0的解為:不等式-X?++c<0的解集為

【答案】①.七=一1,%=5②.或x〉5

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸和拋物線與x軸一個(gè)交點(diǎn)求出另一個(gè)交點(diǎn)，再通過(guò)二

次函數(shù)與方程的兩根，二次函數(shù)與不等式解集的關(guān)系求得答案.

【詳解】???拋物線的對(duì)稱軸為x=2,拋物線與x軸一個(gè)交點(diǎn)為（5,0）

.?.拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為（-1,0）

方程-x?+bx+c=0的解為：％=-1,x2=5

由圖像可知，不等式-/+區(qū)+0<0的解集為：x<-l或x>5.

故答案為：苞=-1,々=5;》<一1或》>5.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程的兩根，二次函數(shù)

與不等式的解集關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

④求x軸與拋物線的截線長(zhǎng)

例5.4已知二次函數(shù)丁=/一41+”的圖象與x軸交于4、8兩點(diǎn)，且點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,0）,

則線段N8的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

【詳解】

將點(diǎn)/（1,0）代入y=x2-4x+m,

得到加=3,

所以y=y-4x+3，與x軸交于兩點(diǎn)，

設(shè)2（石,必）,6（3,力）

，/_4x+3=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

/.Xj+x2=4,Xj-x2=3,

2

?*-AB=|xt-x2|=^（x,+x2）+4X,X2=2；

故選B.

變式5.4

17.已知方程2%2-3x-5=0兩根為g,-1,則拋物線歹=2x2-3x-5與x軸兩個(gè)交

點(diǎn)間距離為.

【答案】4

2

【解析】

【詳解】試題分析：根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系可知拋物線與x軸兩交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)，再根據(jù)距離公式即可得出答案.

解：’?,方程2%2-3x-5=0兩根為：，-1,

2

拋物線產(chǎn)2%2-3x-5與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為g,-1,

57

...兩個(gè)交點(diǎn)間距離為

故答案為二7.

題型六：實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)

①圖形問(wèn)題

例6.1如圖，有長(zhǎng)為24m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度。為10m）,圍成中間

隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃（由兩個(gè)小矩形花圃組成）.設(shè)花圃的一邊N8為xm,面積為

Sm2■

（1）求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式（寫(xiě)出自變量的取值范圍）.

（2）如果要圍成面積為45m2的花圃，那么Z8的長(zhǎng)是多少米?

（3）能圍成面積比45m2更大的花圃嗎？如果能，請(qǐng)求出最大面積，并說(shuō)明圍法；如果不

能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【詳解】

解：⑴V0<24-3x<10.

胃<8

/.S=x（24-3x）=-3x2+24x［曰<x<8）.

（2）當(dāng)S=45時(shí)，有—3/+24X=45.

解得XI=3,/=5.

14

V—<x<8,

3

..x=5,

即的長(zhǎng)為5m.

（3）能圍成面積比45m2更大的花圃.

?；S=-3x2+24x=-3（x-4）2+48,其函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x=4,當(dāng)x>4

時(shí)，夕隨x的增大而減小，

1414140

在丁Kx<8的范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)，S取得最大值，S最大值=q.

140

即最大面積為匕n?,

3

14

此時(shí)/B=—m,8C=10m.

3

變式6.1設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為x（x>0）,面積為夕，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是（）

A.y=-x2B.y=-x2C.y^—x2D.y^—x1

24,24

【詳解】

解：作出8C邊上的高NO.

???△Z8C是等邊三角形，邊長(zhǎng)為x,

CD=—x,

2

；?高為力~^-x，

2

?_1,_V3

??y=—xxh=—2x.

-24

故選：D.

A

②圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

例6.2如圖，矩形Z8CZ）中，/8=6cm,8C=3cm,動(dòng)點(diǎn)尸從4點(diǎn)出發(fā)以1cm/秒向終

點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)從4點(diǎn)出發(fā)以2cm/秒按工—。一?！?的方向在邊/。,。。,。3

上運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為X（秒），那么A/。。的面積》（di?）隨著時(shí)間X（秒）變化的函數(shù)

根據(jù)題意可知：

AP=x,AQ=2xf

①當(dāng)點(diǎn)。在4。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

y=-AP-AQ=^x-2x-x2,

為開(kāi)口向上的二次函數(shù)；

②當(dāng)點(diǎn)0在。。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

113

y=—AP-DA=—x'x3=—x,

222

為一次函數(shù)；

③當(dāng)點(diǎn)。在8C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

y=-APBQ=^-x-(\l-2x)=-x2+,

為開(kāi)口向下的二次函數(shù).

結(jié)合圖象可知/選項(xiàng)函數(shù)關(guān)系圖正確.

故選：A.

變式6.2

工8.如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=\2cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB

邊向點(diǎn)B以Icm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的

速度移動(dòng)，分別到達(dá)B,C兩點(diǎn)就停止運(yùn)動(dòng)，則APOB的面積最大時(shí)，所用時(shí)間為

()

0C

4'------p---------B

A.2sB.3sC.4sD.5s

【答案】8

【解析】

【分析】表示出PB,BQ的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，然后配方求

解即可.

【詳解】解:由題意得:AP=tcm,則PB=(6-t)cm,BQ=2tcm,

故S&QB=；?(6Z)?2Z-t2+6t=-(t-3)2+9,

.?.當(dāng)t=3s時(shí)，APQB的面積最大，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意表示出三角形的兩直角邊長(zhǎng)是根

本，得出面積并配方找最大值是關(guān)鍵.

③拱橋問(wèn)題

例6.3如圖是把一個(gè)拋物線形橋拱，量得兩個(gè)數(shù)據(jù)，畫(huà)在紙上的情形.小明說(shuō)只要建立適

當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就能求出此拋物線的表達(dá)式.你認(rèn)為他的說(shuō)法正確嗎？如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理

由；如果正確，請(qǐng)你幫小明求出該拋物線的表達(dá)式.

拋物線依坐標(biāo)系所建不同而各異，如下圖.（僅舉兩例）

①如圖1建立坐標(biāo)系，

?.,頂點(diǎn)在原點(diǎn)，

...設(shè)函數(shù)解析式為丁="2,

?.?圖像過(guò)（20,6）,

6=<2x2()2,

3

解得：a=

200

3，

拋物線的表達(dá)式為N=--X2.

②如圖2建立坐標(biāo)系,

?.?圖像相當(dāng)于圖1的圖像向上平移6,

33

故正確，拋物線表達(dá)式為丁=-1b%?或J=+6.

變式6.3

19.如圖，一座拋物線型拱橋，橋下水面寬度是4m時(shí)，拱高為2m,一艘木船寬

2m.要能順利從橋下通過(guò)，船頂點(diǎn)與橋拱之間的間隔應(yīng)不少于0.3m,那么木船的高

不得超過(guò)m.

【答案】1.2

【解析】

【詳解】以水面所在水平線為x軸，過(guò)拱橋頂點(diǎn)作水平線的垂線，作為y軸，建立

坐標(biāo)系，

設(shè)水平面與拱橋的交點(diǎn)為A(-2,0),B(2,0),C(0,2),

利用待定系數(shù)法設(shè)函數(shù)的解析式為y=a(x+2)(x-2)代入點(diǎn)C坐標(biāo)，

求得a=-；,

即拋物線的解析式為y=-；(x+2)(x-2),

令x=l,解得y=1.5,

船頂與橋拱之間的間隔應(yīng)不少于0.3,則木船的最高高度為1.5-0.3=1.2米.

故答案為：12

④銷售問(wèn)題

例6.4我國(guó)中東部地區(qū)霧霾天氣趨于嚴(yán)重，環(huán)境治理已刻不容緩.某市某電器商場(chǎng)根據(jù)民

眾健康需要，代理銷售某種空氣凈化器，其進(jìn)價(jià)時(shí)200元/臺(tái).經(jīng)過(guò)市場(chǎng)銷售后發(fā)現(xiàn)：在一

個(gè)月內(nèi)，當(dāng)售價(jià)是400元/臺(tái)時(shí)，可售出200臺(tái)，且售價(jià)每降低5元，就可多售出50臺(tái).若

供貨商規(guī)定這種空氣凈化器售價(jià)不能低于300元/臺(tái)，代理銷售商每月要完成不低于450臺(tái)

的銷售任務(wù).

（1）求出月銷售量y（單位：臺(tái)）與售價(jià)X（單位：元/臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自

變量X的取值范圍；

（2）當(dāng)售價(jià)X定為多少時(shí)，商場(chǎng)每月銷售這種空氣凈化器所獲得的利潤(rùn)卬（單位：元）最

大？最大利潤(rùn)是多少？

【詳解】

解：（1）根據(jù)題中條件銷售價(jià)每降低5元，月銷售量就可多售出50臺(tái)，

當(dāng)售價(jià)為X時(shí)，降了（400-X）,所以月銷售多了10（400-X）臺(tái)，

則月銷售量y（臺(tái)）與售價(jià)x（元/臺(tái)）之間的函數(shù)關(guān)系式；

y=10（400-x）+200=—1Ox+4200

?.?空氣凈化器售價(jià)不能低于300元/臺(tái)，代理銷售商每月要完成不低于450臺(tái)

x>300

解得300WxW375

-10x+4200>450

（2）由題意有：w=（x-200）y

=（x-200）（-10%+4200）

=-1Ox2+6200%-840000

=-10（X-310）2+121000

，當(dāng)售價(jià)x定為310元時(shí)，w有最大值，為121000

變式6.4

2。某市場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可銷售20件，每件贏利40元.為了擴(kuò)大

銷售，增加贏利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果

每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件.求：

（1）若商場(chǎng)平均每天要贏利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？

（2）要使商場(chǎng)平均每天贏利最多，請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)方案.

【答案】（1）20元；（2）每件襯衫應(yīng)降價(jià)15元，商場(chǎng)盈利最多，共1250元.

【解析】

【分析】（1）總利潤(rùn)=每件利潤(rùn)x銷售量，根據(jù)題意可得利潤(rùn)表達(dá)式，再求當(dāng)卬=1200

時(shí)x的值；

（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

【詳解】解：設(shè)每天利潤(rùn)為w元，每件襯衫降價(jià)x元，

根據(jù)題意得故=（40—x）（20+2x）=-2X2+60X+800=-2（x-l5）2+1250

（1）當(dāng)w=1200時(shí),-2x2+60x+800=1200，

解之得玉=10,々=20.

根據(jù)題意要盡快減少庫(kù)存，所以應(yīng)降價(jià)20元.

答：每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元.

（2）解：商場(chǎng)每天盈利w=（40-x）（20+2x）=-2（x-15）2+1250.

V-2<0

.?.拋物線開(kāi)口向下

.?.當(dāng)x=15時(shí)，w有最大值，w的最大值為1250,

所以當(dāng)每件襯衫應(yīng)降價(jià)15元時(shí)，商場(chǎng)盈利最多，共1250元.

答：每件襯衫降價(jià)15元時(shí)，商場(chǎng)平均每天盈利最多.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)應(yīng)用的銷售問(wèn)題的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

⑤投球問(wèn)題

例6.5如圖，排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從。點(diǎn)正上方2m的1處發(fā)出，把球

看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度_y（m）與運(yùn)行的水平距離x（m）滿足關(guān)系式y(tǒng)=a（x-%）2+/z.已知

球與。點(diǎn)的水平距離為6m時(shí)，達(dá)到最高2.6m,球網(wǎng)與。點(diǎn)的水平距離為9m.高度為

2.43m,球場(chǎng)的邊界距。點(diǎn)的水平距離為18m,則下列判斷正確的是

(

)

B.球會(huì)過(guò)球網(wǎng)但不會(huì)出界

C球會(huì)過(guò)球網(wǎng)并會(huì)出界

D.無(wú)法確定

【詳解】

分析：(1)將點(diǎn)力(0,2)代入y=a(x—6)2+2.6求出。的值；分別求出x=9和x=18時(shí)

的函數(shù)值，再分別與2.43、0比較大小可得.

詳解：根據(jù)題意，將點(diǎn)4(0,2)代入y=a(x—6>+2.6,

解得：a=--9

60

1

???歹與x的關(guān)系式為y=-—(x-6)2?+2.6；

60

1

當(dāng)x=9時(shí)，y=-—(9-6)92+2.6=2.45>2.43,

60

二球能過(guò)球網(wǎng)，

1

當(dāng)x=18時(shí)，y=——(18—6)27+2.6=0.2〉。，

60

???球會(huì)出界.

故選C.

變式6.5

21.小明在某次投籃中，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線歹=-;一+3.5的一部分，如圖所

示，若命中籃圈中心，則他與籃底的距離L是（）

A.4.6mB.4.5mC.4mD.3.5m

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意將籃圈高度尸3.05代入函數(shù)夕=-1/+35解得x,再加上3即可

求得乙

【詳解】如圖，把y=3.05代入函數(shù)丁=—（一+3.5,

解得：x=1.5或》=-1.5（舍），

則￡=3+1.5=4.5m.

故選B.

⑥噴水問(wèn)題

例6.6如圖，花壇水池中央有一噴泉，水管OP=3m,水從噴頭P噴出后呈拋物線狀先向

上至最高點(diǎn)后落下，若最高點(diǎn)距水面4m，尸距拋物線對(duì)稱軸1m,則為使水不落到池外，

水池半徑最小為

)

A.1

B.1.5

C.2

【詳解】

如圖建立坐標(biāo)系:

拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,4),

設(shè)拋物線的解析式是y=a(x—l)2+4,

把(0,3)代入解析式得：a+4=3,

解得：。二一1,

則拋物線的解析式是：y=-(x-l)2+4,

當(dāng)y=0時(shí)，一(x—1丫+4=0,

解得：x,=3,X2=-1(舍去)，

則水池的最小半徑是3米.

故選：D.

變式6.6

22.如圖，斜坡長(zhǎng)10米，按圖中的直角坐標(biāo)系可用y=-也x+5表示，點(diǎn)A、

3

8分別在X軸和丁軸上，在坡上的A處有噴灌設(shè)備，噴出的水柱呈拋物線形落到8處,

拋物線可用了=-；/+/+。表示.

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求水柱離坡崗的最大高度.

【答案】（1）y=-—X2+x+5;（2）與

334

【解析】

【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解

可得；

（2）水柱離坡面的距離d=-gx2+￥》+5—1-曰x+5〕，整理成一般式，再配方成

\/

頂點(diǎn)式即可得.

【詳解】解：⑴VAB=10>ZOAB=30°,

.*.OB=-AB=5>OA=ABcosZOAB=1Ox—=573，

22

則A（573.0）、B（0,5）,

將A、B坐標(biāo)代入丁=-；/+bx+c,

,」x75+5/+c=0

得3,

c=5

b——

解得：3

c=5

拋物線的解析式為y=+殍》+5；

（2）水柱離坡面的距離d=-1^2+*?工+5-1-9'+5

.?.當(dāng)x=%8時(shí)，水柱離坡面的距離最大，最大距離為g.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)

解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度不大.

⑦增長(zhǎng)率問(wèn)題

例6.7共享單車為市民出行帶來(lái)了方便，某單車公司第一個(gè)月投放。輛單車，計(jì)劃第三個(gè)

月投放單車F輛，設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為x,那么y與x

的函數(shù)關(guān)系是

)

A/.y=x2+。

B.y=a(l+x\

C.y=(1-4+a

D.y=a(\-x)~

【詳解】

解：設(shè)該公司第二、三兩個(gè)月投放單車數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為x,

依題意得第三個(gè)月第三個(gè)月投放單車4(1+X)2輛，

則y=a(l+x)2.

故選：B.

變式6.7

23.某工廠前年的生產(chǎn)總值為10萬(wàn)元，去年比前年的年增長(zhǎng)率為x,預(yù)計(jì)今年比去

年的年增長(zhǎng)率仍為x,今年的總產(chǎn)值為y萬(wàn)元.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

(2)當(dāng)x=20%時(shí)，今年的總產(chǎn)值為多少？

(3)在(2)的條件下，前年、去年和今年三年的總產(chǎn)值為多少萬(wàn)元？

【答案】(1)y=10(l+x＞；(2)14.4萬(wàn)元；(3)36.4萬(wàn)元.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意列式為產(chǎn)10,(1+*/(1+*)=10(1+*)2；(2)把*的值代入(1)

求解即可；(3)代入求解即可.

【詳解】((根據(jù)題意列式為y=10x(l+x)x(i+x)=10(l+x)2；

(2)當(dāng)x=20%時(shí)，今年的總產(chǎn)值=10(1+20%尸=14.4萬(wàn)元；

(3)依題意，得前年，去年和今年三年的總產(chǎn)值為：10+10(1+20%)+10(l+x)2=36.4(萬(wàn)

元).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求

解.

⑧其他問(wèn)題

例6.8小明和小麗先后從力地出發(fā)同一直道去5地，設(shè)小麗出發(fā)第xmin時(shí)，小麗、小明

離8地的距離分別為必加、y2m,必與x之間的數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=T80x+2250,為與》之

2

間的函數(shù)表達(dá)式是y2=-10x-}00x+2000.

(1)小麗出發(fā)時(shí)，小明離/地的距離為加.

(2)小麗發(fā)至小明到達(dá)8地這段時(shí)間內(nèi)，兩人何時(shí)相距最近？最近距離是多少？

【詳解】

解(1)當(dāng)x=0時(shí)，乂=2250,%=2000

/.yt-y2=2250-2000=250(tn)

故答案為：250

(2)設(shè)小麗出發(fā)第xmin時(shí)，兩人相距Sm,

貝ijS=-180x+2250—(―10/一100x+2000)

即S=10f-80x+250

其中OWxWlO

因止匕，當(dāng)x=-2=妁-=4時(shí)

2a2x10

。右縣?府4ac-b24x10x250—(—80)2

S有最小值，-------=--------------———=9A0A

4a4x10

也就是說(shuō)，當(dāng)小麗出發(fā)第4min時(shí)，兩人相距最近，最近距離是90m

變式6.8

24.如圖，有一個(gè)橫截面邊緣為拋物線的隧道入口，隧道入口處的底面寬度為8加,

兩側(cè)距底面4加高處