函數(shù)的定義域值域及其性質(zhì)

關(guān)于函數(shù)的定義域值域及其性質(zhì)第1頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三一.函數(shù)的定義域和值域二.函數(shù)的一些主要性質(zhì)

第2頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三函數(shù)的定義域和值域作用：定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)，在討論函數(shù)的性質(zhì)、作圖、解方程和不等式、構(gòu)造復(fù)合函數(shù)等問(wèn)題中都起著重要的作用。定義：函數(shù)的定義域就是使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合，而函數(shù)的值域就是在函數(shù)中，與自變量x的值對(duì)應(yīng)的y值的集合。定義域第3頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三確定定義域的原則（1）當(dāng)函數(shù)用表格給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指表格中表示自變量的實(shí)數(shù)的集合；（2）當(dāng)函數(shù)用圖像給出時(shí)，函數(shù)定義與食指圖像在x軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)集合；（3）當(dāng)函數(shù)用解析式給出時(shí)，函數(shù)定義域是指使解析式有意義的實(shí)數(shù)x的集合；（4）當(dāng)函數(shù)有實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，函數(shù)定義域是由實(shí)際問(wèn)題的一一確定。第4頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三確定初等函數(shù)定義域的依據(jù)（1）若f（x）是整式，則定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；（2）若f（x）是分式，則定義域?yàn)槭狗帜覆粸榱愕娜w實(shí)數(shù)；（3）若f（x）是偶次根式，則定義域?yàn)槭贡婚_(kāi)方式為非負(fù)的全體實(shí)數(shù)；（4）函數(shù)的定義域是（-∞，0）∪（0，﹢∞）。某些復(fù)合函數(shù)的定義域的確定原則第5頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三值域定義：在函數(shù)y=f（x）中，與自變量x的值對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。確定函數(shù)值域的原則：（1）當(dāng)函數(shù)y=f（x）用表格給出時(shí)，函數(shù)的值域是指表格中實(shí)數(shù)y的集合；（2）當(dāng)函數(shù)y=f（x）用圖像給出時(shí)，函數(shù)的值域是指圖像在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合；（3）當(dāng)函數(shù)y=f（x）用解析式給出時(shí)，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定；（4）當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問(wèn)題的實(shí)際意義確定。第6頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三求函數(shù)值域的常用方法①圖像法②配方法③反函數(shù)法④判別式法⑤換元法⑧求導(dǎo)法⑨數(shù)形結(jié)合法⑦單調(diào)性法⑥不等式法第7頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三①圖像法：通過(guò)畫(huà)出函數(shù)的圖像從而得出函數(shù)的值域。例1.

求函數(shù)的值域。第8頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2：求函數(shù)的值域。②配方法：是求“二次型函數(shù)”值域的基本方法，形如的函數(shù)值域問(wèn)題，均可用配方法。第9頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三③反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過(guò)求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。形如的函數(shù)的值域，均可使用反函數(shù)法。此外，這種類(lèi)型的函數(shù)值域也可使用“分離常數(shù)法”求解。例3：求函數(shù)的值域。第10頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三④判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程F（x，y）=0，通過(guò)方程有實(shí)根，判別式△≥0，從而求得原函數(shù)的值域。形如的函數(shù)值域常用此方法求解。前提條件：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，（2）分子分母沒(méi)有公因式。第11頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三例4：求函數(shù)的值域。第12頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三

⑤換元法：運(yùn)用代數(shù)或者三角代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求的原函數(shù)的值域，形如的函數(shù)常用此法求解。例5：求下列函數(shù)的值域。第13頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三第14頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三⑥不等式法：利用基本不等式：求函數(shù)的值域。用此法時(shí)要注意均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等”。例6:求函數(shù)的值域。第15頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三⑦單調(diào)性法：根據(jù)函數(shù)在定義域（或定義域的某個(gè)子集）上的單調(diào)性求出函數(shù)值域。例7：求函數(shù)的值域。第16頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三⑧求導(dǎo)法：當(dāng)一個(gè)函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時(shí)，可據(jù)其導(dǎo)數(shù)求最值。例8：函數(shù)在閉區(qū)間[-3,0]上的最大值和最小值分別（）。A1，-1B1，-17C3，-17D9，-19第17頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三⑨數(shù)形結(jié)合法：當(dāng)一個(gè)函數(shù)圖象可做時(shí)，通過(guò)圖像可求其值域和最值；或利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法求出函數(shù)的值域。例9：求函數(shù)的值域。第18頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三第19頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三函數(shù)的一些主要性質(zhì)①單調(diào)性②最大（?。┲耽燮媾夹寓苤芷谛缘?0頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三

單調(diào)性：給定區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若對(duì)于任意的則f（x）為區(qū)間D上的增函數(shù)。對(duì)于任意的則f（x）為區(qū)間D上的減函數(shù)。證明單調(diào)性的步驟：證明函數(shù)的單調(diào)性一般從定義入手，也可以用導(dǎo)數(shù)證明。（1）利用定義：①任?、谧霾畈⑦m當(dāng)變形③依據(jù)差式的符號(hào)確定其增減性。（2）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。如果，則f（x）為增函數(shù)，如果，則f（x）為減函數(shù)。第21頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論：1.若f（x），g（x）均為增（減）函數(shù)，則f（x）+g（x）為增（減）函數(shù)。2.若f（x）為增（減）函數(shù)，則-f（x）為減（增）函數(shù)。3.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性。4.y=f[g（x）]是定義在M上的函數(shù)，若f（x）與g（x）的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù)f[g（x）]為增函數(shù)；若f（x）與g（x）的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)f[g（x）]為減函數(shù)。5.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反。第22頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量值的大小。（2）求某些函數(shù)的值域或最值。（3）解證不等式。（4）作函數(shù)圖象第23頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三例1：討論函數(shù)的單調(diào)性。第24頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三2.當(dāng)f(x)的表達(dá)式為多項(xiàng)式，分式，根式，對(duì)數(shù)式…時(shí)，適合作差比較，作差后多項(xiàng)式合并同次項(xiàng)，分式同分，根式有理化，對(duì)數(shù)式運(yùn)用運(yùn)算法則等；f(x)是指數(shù)式，積式等有時(shí)作商比較。注意：第25頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三最大（?。┲狄话愕?，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：①對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≤M(或f(x)≥M);②存在∈I,使得f()=M。那么，我們稱(chēng)M是函數(shù)y=f(x)的最大（或?。┲怠Ｇ蠓ǎ海?）配方法（2）判別式法（3）基本不等式法（4）換元法（5）數(shù)形結(jié)合法（6）單調(diào)性法第26頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三奇偶性一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)）,那么函數(shù)f(x)叫做奇(偶)函數(shù)。注意：①奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。如果f(x)是定義域D上的奇函數(shù)，那么任意x∈D,f(-x)=-f(x)恒成立，如果f(x)是定義域D上的偶函數(shù)，那么任意x∈D，f(-x)=f(x)恒成立。其中定義域D一定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的。③分類(lèi)：奇函數(shù)，偶函數(shù)，既奇又偶，非奇非偶④常見(jiàn)結(jié)論：Ⅰ.兩個(gè)奇（偶）函數(shù)的代數(shù)和仍是奇（偶）函數(shù)；Ⅱ.兩個(gè)奇（偶）函數(shù)的積是偶函數(shù)，一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)；第27頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三Ⅲ.如果奇函數(shù)的反函數(shù)存在，且定義在對(duì)稱(chēng)與原點(diǎn)的數(shù)集上，那么這個(gè)反函數(shù)也是奇函數(shù)；Ⅳ.奇（偶）函數(shù)的倒數(shù)函數(shù)（分母不為零）仍為奇（偶）函數(shù)；Ⅴ.設(shè)函數(shù)y=f[g（x）]是函數(shù)y=f（u）和u=g（x）的復(fù)合函數(shù)，定義在對(duì)稱(chēng)與原點(diǎn)的數(shù)集S上，㈠若g（x）是奇函數(shù)，則當(dāng)f（u）是奇（偶）函數(shù)時(shí)，復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]是奇（偶）函數(shù)；㈡若g（x）是偶函數(shù)，則不論f（u）是奇或偶函數(shù)，復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]是偶函數(shù)。第28頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2.已知函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，y=g（x）是偶函數(shù)，且對(duì)于定義域內(nèi)的任一x都有f（x）-g（x）=，求f（x）與g（x）的解析式。解：用-x代替x得，f（-x）-g（-x）=因?yàn)閥=f（x）是奇函數(shù)，y=g（x）是偶函數(shù)，所以f（x）+g（x）=它與f（x）-g（x）=聯(lián)立得，f（x）=-2x，g（x）=解析：方程的思想—運(yùn)用方程觀點(diǎn)看問(wèn)題，就是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)解決，或者通過(guò)構(gòu)造方程來(lái)達(dá)到解題的目的。第29頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三周期性：對(duì)于函數(shù)f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x+T)=f(x),那么f(x)就叫做周期函數(shù)。T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。kT（k∈Z,k≠0）也是f(x)的周期，即有f(x+kT)=f(x)。例3.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+2）=-f（x）求f（2008）。分析：由f（-x）=-f（x）及f（x+2）=-f（x）可得周期。第30頁(yè)，講稿共32頁(yè)，2023年5月2日，星期三