高數(shù)振動波動

第四章振動與波動機械振動:物體在一定的位置附近作來回往復的運動。振動：任何一個物理量在某個確定的數(shù)值附近作周期性的變化。波動：振動狀態(tài)在空間的傳播。任何復雜的振動都可以看作是由若干個簡單而又基本振動的合成。這種簡單而又基本的振動形式稱為簡諧運動。xo二簡諧運動的基本特征x根據(jù)胡可定律：（k為勁度系數(shù)）1.動力學特征F----簡諧振動的動力學特征在彈性限度內，彈性力F

和位移x

成正比。彈性力F

和位移x

恒反向，始終指向平衡位置?；貜土Γ?/p>

始終指向平衡位置的作用力由牛頓第二定律：得:令a

=

-w

2

x結論：作簡諧運動的質點，其加速度與位移恒成正比，而方向相反。2d

2

xdt

2+w

x

=

02.運動學特征x

=

Acos

wt

+j

)簡諧運動表達式：)簡諧運動的三項基本特征：簡諧運動：其中A、φ

為積分常數(shù)。物體的運動遵從余弦（或正弦）規(guī)律。彈簧振子的頻率:=

1

k2p

2p

mν

=

w彈簧振子的周期:mkwT

=

2p

=

2pF

=

-kx2dt

2d2

x=

-w

xx

=

Acos

wt

+j

)簡諧運動的基本特征：令mkw

=dt簡諧運動的速度：a

=

dvx

=

Acos

wt+j

)v

=

dx

=

-w

A

sin(w

t

+

j

)p=

vm

cos(w

t

+j

+

2

)m=

Aw

)(式中v2dt

=

-w

Acos(w

t

+j

)=

am

cos(w

t

+j

–

p

)m=

Aw

2

)(式中a稱為速度幅稱為加速度幅V比x

領先p/2簡諧運動的加速度：加速度也是簡諧振動與x反相x

-t

圖a

-t圖-

AwAw

2-

Aw

2xvatttA-AAwoooTv

-t

圖TTx

=

A

cos(wt

+j

)取j

=0T

=

2πw2=

Aw

cos(wt

+j

+π

)v

=

-

Aw

sin(w

t

+

j

)=

Aw

2

cos(w

t

+j

+π

)a

=

-Aw

2

cos(wt

+j

)解題方法由初始條件求解振幅和初相位：設t=0時，振動位移：x=x0振動速度：v

=v0初始條件x

=

A

cos(ω

t

+j

)t

=0

時x

0

=

A

cosjA=xvω0

+2202Aω

sinjv

0

=Aωsin(ω

t

+j)v

=解得：v

0ω

x

0j

=

arc

tg

()[

例

1]

一彈簧振子

k

=

8N/m,

m=

2kg,

x0

=3

m,

v0

=8

m/s求：ω，A，j

及振動方程解：ω

=m2k

=8

=

2

(rad/s)vω02)+

(20=232

+(

8

)2=

5

(

m

)8==43v

0ω

x

0

2×3A

=

xtg

j

=)53.3

0則有若取j2

=126.870x

0

=

Acos

j

2

＜

053.13

0

j

=126.8702j

=1x

=

5

cos(2

t=

5cos(

2t0.296π

)8==42×3

3v

0ω

x

0tg

j

=∴不合題意,舍去∵

x0

=3

m>053.13

0j

=1取簡諧運動的旋轉矢量表示法旋轉矢量A在x軸上的投影點M

的運動規(guī)律：x

=

A

cos(w

t

+j

)結論：投影點M的運動為簡諧振動。yxw

t

+joAPMjowyxwPAw

t

+joM旋轉矢量A旋轉一周，M點完成一次全振動。旋轉矢量的模A：振幅旋轉矢量A的角速度w

：t

=

0

時，

A與x

軸的夾角j

：初相位。角頻率旋轉矢量A與

x

軸的夾角(w

t+

j

)：相位2pT

=w周期：xA

A1.020t一諧振動的振動曲線如圖所示。以及振動方程。[例5]求：ω

、jAπ2xt

=0時0=

At

=1時x

1

=

0πxA31Φ

=π2π3j

=2＞

00xv1＜

0v=dxdtxA1.0

A20t6x=

Acos(

5

π

t3π

)πAt

=1x2π3At

=0w=

Dq1DTp

+

p=

2

35p

6=例6.

質點沿x

軸作簡諧振動，A=12cm，T=2s。當t

=0時,x0=6

cm，且向x

軸正方向運動。求:1、振動方程。2、t

=0.5

s時，質點的速度和加速度。3、如果在某時刻質點位于x=-6cm，且向x軸負方向運動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。解：1、設簡諧振動表達式為Tw

=

2p

=

p

s-1初始條件：t

=0

時，x0

=0.06

m,v0

>

0x

=

A

cos

(w

t

+

j

)已知：A

=12

cm

,

T

=

2

s

，x

=

0.12

cos(w

t

+j

)0.06=0.12cos

j321p=cosj

fi

j

=

–v0

=

-w

Asinj

>

0fi

sinj

<

03j

=

-

p振動方程：3x

=

0.12

cos(p

t

-

p

)yxp33-

pww3=

-0.189m

s-1t

=0.5t

=0.5t

=0.5dt=

dx=

-0.12p

sin(p

t

-

p

)v3=

-0.103m

s-2t

=0.5t

=0.5t

=0.5dta=

-0.12p

2

cos(p

t

-

p

)=

dv2、t

=0.5

s時，質點的速度和加速度3x

=

0.12

cos(p

t

-

p

)-

0.06

=

0.12

cos

(p

t1

-p

3

)21cos

(p

t

-p

3

)

=

-

13、如果在某時刻質點位于x=-6cm，且向x軸負方向運動，求從該位置回到平衡位置所需要的最短時間。設在t1時，x

=-0.06

m3代入振動方程：x

=0.12

cos(p

t

-p

)（舍去）34pp

t

-p

=2p

或1

3

33

311fi

t

=

1

sp

t

-

p

=

2pyx2p

34p

33

2

622=

11

sp

t

-

p

=

3p

fi

t6

62

1D

t

=

t

-

t

=

11

-1

=

5

s一、描述波動的物理量波長l：振動在一個周期內傳播的距離；同一波線上兩個相鄰的振動狀態(tài)相同的質點之間的距離；或者說相位差為2π的質點之間的距離。周期T

：波前進一個波長的距離所需的時間。頻率n

：單位時間內波動前進距離中完整波長的個數(shù)。Tn

=

1u=lnl

lln個llTu

=

l

=nl波的周期和頻率等于波源振動的周期和頻率，即波的周期和頻率由波源決定，與媒質性質無關。波速：振動狀態(tài)（或相位）在空間的傳播速度。波速取決于媒質性質，媒質不同，波速也就不同。又因為頻率或周期與媒質性質無關，所以波長與

媒質性質有關。y

=

y

(

x

,

t

)各質點相對平衡位置的位移波線上各質點平衡位置平面簡諧波的波函數(shù)簡諧波：在均勻的、無吸收的介質中，波源作簡諧運動時，在介質中所形成的波.平面簡諧波：波面為平面的簡諧波.波動表達式：介質中任一質點（坐標為x）相對其平衡位置的位移（坐標為y）隨時間的變化關系，即稱為波函數(shù).y(x,

t)平面簡諧波的波動表達式平面簡諧波的波動表達式1.一維平面簡諧波表達式的建立O點的振動方程：y0

(t

)

=

A

cos(w

t

+

j

0

)P點的振動狀態(tài)在時間上落后于O點：uDt

=

xp

0uy

(t

)

=

y

(t

-

Dt

)

=

Acos[w

(t

-

x

)

+

j

]0uOxyPx點O

的振動狀態(tài)yO

=

A

coswt點Pt

時刻點P

的運動t-x/u時刻點O

的運動以速度u

沿x

軸正向傳播的平面簡諧波.令原點O

的初相為零，其振動方程點P

振動方程時間推遲方法0

ux

w

(t

-

)

+

jy(x,

t)

=

A

cos平面簡諧波的波動表達式：因為y(

x,

t)

=

Acos[2p(t

/

T

-

x

/

l)

+j0

]y(

x,

t)

=

Acos[2p(nt

-

x

/

l)

+j0

]0ly(

x,

t)

=

Acos[(wt

-

2px

)

+j

]當)結論：波長l標志著波在空間上的周期性。結論：隨著x值的增大，即在傳播方向上，各質點的相位依次落后。這是波動的一個基本特征。坐標為

x的質元振動相位比原點O處質元的振動相位落后了

。0

ux

w

(t

-

)

+

jy(x,

t)

=

A

cos平面簡諧波的波動表達式：uT

=

lw

=

2p

T因為0ly(

x,

t

)

=

Acos(w

t

-

2p

x

+j

)T0ly(

x,

t

)

=

Acos[2p(

t

-

x

)

+

j

]一維平面簡諧波表達式的物理意義：（1）當x

=x

0

（常數(shù)）時質元的振動表達式：0

ux

w

(t

-

0

)

+jy(t

)

=

Acos0

ux

w

(t

-

)

+

jy(x,

t)

=

A

cosyto（2）當t

=t

0

（常數(shù)）時：各質元的位移分布函數(shù)：uy(

x

)

=

A

cos[w

(t

-

x

)

+

j

]0

00

ux

w

(t

-

)

+

jy(x,

t)

=

A

cos(表示在t

0時刻的波形)yxoxyt2t1y

=

A

cosw

(t

-

x

)

A

cos(t

+

Dt

-

x

+

uDt

)u

u左邊：t

時刻，x

處質點的振動位移。右邊：t

+Dt

時刻，x+uDt

處質點的振動位移。結論：t時刻，x處質點的振動狀態(tài)經(jīng)Dt時間傳到了x+uDt處。uy(

x,

t

)

=

A

cos[w

(t

+

x

)

+

j

]00ly(

x,

t

)

=

Acos(w

t

+

2p

x

+j

)0

l

t x

p

+

+

jy(x,

t

)=

A

cos2

T簡諧波沿Ox

軸的負方向傳播(將波速u前加負號）uy(

x,

t

)

=

Acos[w

(t

-

x

)

+

j

]0若已知的振動點不在原點，而是在x0點，則只要將各波動表達式中的x換為（x-x0）即可。OxyPxux0QuQ點的振動方程：00)

+j

]ux

-

xw

(t

-y

=

Acos[Py

(t

)

=

Acos(wt

+

j

)Q

0P點的振動方程：例1.已知t

=0時的波形曲線為Ⅰ，波沿ox

傳播，經(jīng)t=1/2s后波形變?yōu)榍€Ⅱ。已知波的周期T>1s，試根據(jù)圖中給出的條件求出波的表達式，并求A點的振動方程。解：A

=

0.01ml

=

0.04

m1

2=

0.01

=

0.02

m s-1t波速：u

=x1

-xou

0.02T

=

l

=

0.04

=

2s

w

=

2p

=

p

s-1Tx(cm)Ⅱ

Ⅰ1

2

3

4

5

61cm

y(cm)A0原點振動方程：0

=

A

cosjyo

=

Acos(w

t

+j

)初始條件：v

=

-w

A

sinj

<

02fi

j

=

–

p2sinj

>

0

fi

j

=

p2y

=

0.01cos(p

t

+

p

)oy(cm)x(cm)A

Ⅱ

Ⅰ1

2

3

4

5

61cm02y

=

0.01cos(p

t

+

p

)o0.02

2)

+

p

]xy

=

0.01cos[p

(

t

-波動方程：0.02

2A點振動方程：

y

=

0.01cos[p

(

t

-

0.01)

+

p

]AyA

=

0.01cosp

ty(cm)x(cm)25

6Ⅰ4Ⅱ3A11cm0A點振動表達式：yA

=

Acos(w

t

+j

)A

=

A

cosj初始條件：fi

j

=

0yA

=

Acosw

t

=

0.01cosp

t0.02y

=

0.01cos(p

t

-

x

-

0.01)波動表達式：0.02

2)

+

p

]xy

=

0.01cos[p

(

t

-y(cm)x(cm)A

Ⅱ

Ⅰ1

2

3

4

5

61cm0法二：例2.有一列平面簡諧波簡沿x

軸正方向傳播，它在t

=0時刻的波形如圖所示，試求其波長。x(m)y(m)12.o2AAPu2πl(wèi)=π4(π)212v

<

02yO

=

AyP

=

0v>

0t

=0

時刻π2jP

=πjO

=

4l

=

32mx

(m)y(m)oA2

A.P12u解：介質中各質點在各自平衡位置附近振動動能介質中質點間相互作用產(chǎn)生彈性形變勢能二波的能量波動的過程是能量傳播的過程1.波動能量的傳播討論1）在波動傳播的媒質中，任一體積元的動能、勢能、總機械能均隨x,t作周期性變化，且變化是同相位的.體積元在平衡位置時，動能、勢能和總機械能均最大.

體積元的位移最大時，三者均為零.2）

任一體積元都在不斷地接收和放出能量，即不斷地傳播能量.任一體積元的機械能不守恒.波動是能量傳遞的一種方式.三 駐波和半波損失于穩(wěn)定的振動狀態(tài)。處動的各個質點l駐波的波形特點(演示實驗)：1.

沒有波形的推進，也沒有能量的傳波播幅，參與波2.各振動質點的振幅各不相同，但卻保持不變，有些點振幅始終最大，有些點振幅始終為零。駐波：由振幅、頻率和傳播速度相同的兩列相干波在同一直線上沿相反方向傳播時疊加而成的一種特殊的干涉現(xiàn)象。駐波產(chǎn)生的條件：兩列振幅相同的相干波沿相反方向傳播疊加而成。駐波方程：討論（1）為坐標為x

質點的振幅參與波動的每個點振幅恒定不變，不同質元作振幅不同，頻率相同的諧振動。振幅最大2A,

波腹（2）l2p

x

=

kpll

2波幅波節(jié)振幅為零，波節(jié)：坐標波節(jié)間距：（3）坐標：波腹間距：第十二章波動光學d

=

r2

-

r1

?

d

sin

q兩列光波的傳播距離之差：d

sin

q

=

–klk

=

0,1,2,)干涉加強2d

sin

q

=

–(2k

-1)lk

=1,2,)干涉減弱7dr1r2qxxDxIqdlxDop·一、楊氏雙縫實驗S1dS22rqDPxO1r1SdS2

d

sin

qq,q

角很小

D

>>

dD\

sin

q

?

tgq

=

x