反比例函數的應用

1.3反比例函數的應用學習目標:1.知識與技能(1)利用反比例函數解決實際問題及有關反比例函數的綜合題.(2)建立反比例函數模型及綜合運用有關知識解決與反比例函數有關的綜合問題.2.過程與方法經歷分析實際問題中變量之間的關系,建立反比例函數模型,進而解決問題的過程.3.情感、態(tài)度與價值觀體會數學與現實生活的緊密聯系,增強應用意識,提高運用代數方法解決問題的能力.教學重點與難點1.重點:利用反比例函數解決實際問題及有關反比例函數的綜合問題.2.難點:建立反比例函數模型及綜合運用有關知識解決與反比例函數有關的綜合問題.課前小測：1.若點（2，-4）在反比例函數的圖象上，則k=____.2.若反比例函數的圖象在第二、四象限，則k的取值范圍是____________.3.反比例函數的圖象既是______對稱圖形，又是______對稱圖形4.函數的圖象上有三點（－3,y1）,（－1,y2）,（2,y3）則函數值y1、y2、y3的大小關系是_______________;5.甲乙兩地相距100km，一輛汽車從甲地開往乙地，把汽車到達乙地所用的時間y(h)表示為汽車的平均速度x(km/h)的函數，則這個函數的圖象大致是（）C在實際問題中圖象就可能只只有一支.K〈－1-8軸中心y3<y1<y2復習提問:2.反比例函數圖象是什么?當K>0時,兩支曲線分別位于第一、三象限內，在每一象限內，y隨x的增大而減少；當K<0時,兩支曲線分別位于第二、四象限內,在每一象限內,y隨x的增大而增大.1.什么是反比例函數?3.反比例函數圖象有哪些性質?是雙曲線一般地，形如y=—(k是常數,k=0)的函數叫做反比例函數。kx4.反比例函數圖象具有怎樣的對稱性?既是中心對稱又是軸對稱圖形.新舊銜接（計時賽）3、已知菱形的面積為定值，它的兩條對角線長分別為x,y,

則x與y之間的函數圖象是（）1、在下列函數表達式中，不屬于反比例函數的是（）。（A）y=（B）y=（C）y=3x（D）xy=32、若y=(m-1)x為反比例函數，則=（）。（A）1（B）1或-2（C）-2（D）0比一比試一試BCDABCD新舊銜接（計時賽）比一比試一試4、如圖，A（，）、B（，）、C（，）是函數的圖象在第一象限分支上的三個點，且＜＜，過A、B、C三點分別作坐標軸的垂線，得矩形ADOH、BEON、CFOP，它們的面積分別為S1、S2、S3，則下列結論中正確的是（）（A）S1<S2<S3（B）S3<S2<S1（C）S2<S3<

S1（D）S1=S2=S3D新舊銜接（計時賽）比一比試一試5、如圖，A為反比例函數圖象上一點，ABX軸，垂足為B，若AOB的面積為3，則反比例函數圖象的關系式為________6、如果雙曲線經過點（2,-3）,那么它一定還經過點（）（A）（2，3）（B）（-2，3）（C）（-2，-3）（D）不確定y=﹣x6B源于生活中的數學過沼澤地時,人們常常用木板來墊腳.當人和木板對地面的壓力一定時,隨著木板面積的變化,人和木板對地面的壓強將如何變化?某科技小組進行野外考察,途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地.為了安全迅速通過這片濕地,他們沿著前進路線鋪墊了若干木板,構筑了一條臨時通道,從而順利完成了任務.你能解釋他們這樣做的道理嗎?當人和木板對濕地的壓力一定時,隨著木板面積S(m2)的變化,人和木板對地面的壓強P(Pa)將如何變化?探究:如果人和木板對濕地地面的壓力合計600N,那么

(1)用含S的代數式表示P,P是S的反比例函數嗎?為什么?解:P是S的反比例函數.(2)當木板面積為0.2m2時,壓強是多少?解:當S=0.2m2時,P=——=3000(Pa)6000.2某科技小組進行野外考察,途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地.為了安全迅速通過這片濕地,他們沿著前進路線鋪墊了若干木板,構筑了一條臨時通道,從而順利完成了任務.你能解釋他們這樣做的道理嗎?當人和木板對濕地的壓力一定時,隨著木板面積S(m2)的變化,人和木板對地面的壓強P(Pa)將如何變化?探究:如果人和木板對濕地地面的壓力合計600N,那么

(3)如果要求壓強不超過6000Pa,木板面積至少要多大?解:當P≤6000時,S≥600/6000=0.1(m2)所以木板面積至少要0.1m2.(4)在直角坐標系中,作出相應函數的圖象注意:只需在第一象限作出函數的圖象.因為S>0.(5)請利用圖象對(2)和(3)作出直觀解釋,并與同伴交流.解:問題(2)是已知圖象上的某點的橫坐標為0.2,求該點的縱坐標;問題(3)是已知圖象上點的縱坐標不大于6000,求這些點所處位置及它們橫坐標的取值范圍.實際上這些點都在直線P=6000下方的圖象上.(2)當木板面積為0.2m2時,壓強是多少?(3)如果要求壓強不超過6000Pa,木板面積至少要多大?隨堂練習:1.某蓄水池的排水管每時排水8m3,6h可將滿池水全部排空.(1)蓄水池的容積是多少?解:蓄水池的容積為:8×6=48(m3).(2)如果增加排水管,使每時的排水量達到Q(m3),那么將滿池水排空所需的時間t(h)將如何變化?答:此時所需時間t(h)將減少.(3)寫出t與Q之間的函數關系式;解:t與Q之間的函數關系式為:隨堂練習:1.某蓄水池的排水管每時排水8m3,6h可將滿池水全部排空.(4)如果準備在5h內將滿池水排空,那么每時的排水量至少為多少?解:當t=5h時,Q=48/5=9.6m3.所以每時的排水量至少為9.6m3.(5)已知排水管的最大排水量為每時12m3,那么最少多長時間可將滿池水全部排空?解:當Q=12(m3)時,t=48/12=4(h).所以最少需4h可將滿池水全部排空.(6)畫出函數圖象,根據圖象請對問題(4)和(5)作出直觀解釋,并和同伴交流.例1.碼頭工人以每天30噸的速度往一艘輪船上裝載貨物,把輪船裝載完畢恰好用了8天時間.(1)輪船到達目的地后開始卸貨,卸貨速度v(單位:噸/天)與卸貨時間t(單位:天)之間有怎樣的函數關系?(2)由于遇到緊急情況,船上的貨物必須在不超過5日內卸載完畢,那么平均每天至少要卸多少噸貨物?根據裝貨速度×裝貨時間=貨物的總量，可以求出輪船裝載貨物的總量；再根據卸貨速度=貨物的總量÷卸貨時間，得到v與t的函數式。分析背景阻力動力阻力臂動力臂公元前3世紀,古希臘科學家阿基米德發(fā)現了著名的“杠桿定律”:若兩物體與支點的距離反比于重量,則杠桿平衡.通俗一點可以描述為:

阻力×阻力臂=動力×動力臂阻力動力阻力臂動力臂阻力×阻力臂=動力×動力臂例2.小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭,已知阻力和阻力臂不變,分別為1200牛頓和0.5米.(1)動力F與動力臂L有怎樣的函數關系?當動力臂為1.5

米時,撬動石頭至少需要多大的力?(2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半,則動力臂至少加長多少?阻力動力阻力臂動力臂阻力×阻力臂=動力×動力臂思考:用反比例函數的知識解釋:在我們使用撬棍時,為什么動力臂越長就越省力?回顧電學知識:用電器的輸出功率P(瓦)、兩端的電壓Ｕ（伏）及用電器的電阻Ｒ（歐姆）有如下關系：ＰＲ＝Ｕ２．這個關系也可寫為Ｐ＝，或Ｒ＝───ＲＵ２──ＰＵ２例3.一個用電器的電阻是可調節(jié)的,其范圍為110～220歐姆,已知電壓為220伏,這個用電器的電路圖如圖所示.(1)輸出功率P與電阻R有怎樣的函數關系?(2)用電器輸出功率的范圍多大?U氣球充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內的氣壓P(kPa)是氣球體積V的反比例函數。當氣球體積是0.8m3時，氣球內的氣壓為120kPa。（1）寫出這一函數表達式。（2）當氣體體積為1m3時，氣壓是多少？（3）當氣球內氣壓大于192kPa時，氣球將爆炸。為安全起見，氣球體積應小于多少？隨堂練習思考一個圓臺形物體的上底面積是下底面積的2/3，如圖放在桌面的壓強是200Pa，若翻過來放，對桌面的壓強是多少？300PaAyOBxMN超越自我:AyOBxMNCDAyOBxMNCD小結用反比例函數解決實際問題的步驟是:1.認真分析實際問題中變量之間的關系;2.若具有反比例關系,則建立反比例函數模型(其實是解析式,也叫建模);3.利用反比例函數的有關知識解決實際問題.課堂小測某工廠現有煤200噸,這些煤能燒的天數y與平均每天燒煤的噸數x之間的函數關系式是:y=200X

2.一個矩形面積為100cm2,其長為ycm,寬為xcm.(1)將y表示x為的函數,x的取值范圍為;(2)y隨x的增大而;(3)當x為5cm時,y=;(4)欲使此長方形成為正方形,則x=.y=100X

0＜x＜10減小20cm10cm4、如圖，已知點A是一次函數y=x圖象與反比例函數的圖象在第一象限內的交點，點B

在x軸的負半軸上，且OA=OB，那么△AOB的面積為（）.A.2B.C.D.

3、在一個可以改變容積的密閉容器內，裝有一定質量m的某種氣體，當改變容積V時，氣體的密度ρ也隨之改變.ρ與V在一定范圍內滿足，它的圖象如圖所示，則該氣體的質量m為（）

A.1.4kgB.5kg

C.6.4kgD.7kg

DB課堂作業(yè)1、已知一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=m/x

的圖象分別交于A(-2,1),B(1，n)兩點。(1)求反比例函數和一次函數的解析式。(2)畫出以上兩個函數的圖象，并根據圖象寫出使一次函數的值大于反比例函數的值的x的取值范圍。2、如圖，在平面直角坐標系中，直線

y=2x+b(b<0)與坐標軸交于A,B兩點，與雙曲線y=k/x(x>0)交于D點，過點

D作DC⊥x軸，垂足為C,連接OD.已知△AOB≌△ACD。(1)如果b=-2，求k的值。(2)試探究k與b的數量關系。OBACD謝謝！再見3.甲,乙兩地相距100千米,一輛汽車從甲地開往地所用的時間y(小時)表示為汽車的平均速度x(千米/時)的函數,則這個函數的圖象大致是()ABCDc例4.某?？萍夹〗M進行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地，為了安全、迅速通過濕地，他們沿著前進路線鋪墊了若干木板，構筑成一條臨時通道，從而順利完成了任務，（1）你能理解這樣做的道理嗎？（2）若人和木板對濕地地面的壓力合計600牛，那么如何用含S（木板面積）的代數式表示P（壓強）？（3）當木板面積S為0.2m2時，壓強P多大？（4）當壓強是6000Pa時，木板面積多大？壓強P=壓力/面積練1、某蓄水池的排水管每小時排8m3

，6h可將滿池水全部排空。

⑴蓄水池的容積是多少？⑵如果增加排水管,使每小時排水量達到Q（m3)，將滿池水排空所需時間t（h）,求Q與t之間的函數關系式;(3)如果準備在5小時內將滿池水排空，那么每小時的排水量至少為多少?例1.

蓄電池的電壓為定值,使用電源時,電流I(A)與電阻R(Ω)之間函數關系如圖所示:(1)蓄電池的電壓是多少?你能寫出這一函數的表達式嗎?(2)完成下表,并回答問題,如果以此蓄電池為電源的用電器限制電流不得超過去12A.那么用電器的可變電阻應控制在什么范圍內?R/Ω345678910I/A41297.265.14.53.6例2.若點(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)在反比例函數y=的圖象上,不計算,請比較y1,y2,y3的大小.2X12某蓄水池的排水管每時排水8m3,,6h可將滿池水全部排空.●(1)蓄水池的容積是多少?●(2)寫出T與Q之間的關系式;●(3)如果準備在5h內將滿池水排空,那么每時的排水量至少為多少?●(4)已知排水管的最大排水量為每時12m3,那么最少多長時間可將滿池水全部排空?能力提高通過今節(jié)課的學習,你還能舉出幾個反比例函數在實際生活中應用的例子嗎?并說說具體怎樣運用.拓展再見引入課題

舞臺的燈光可以在很短的時間內將陽光燦爛的晴日變成濃云密布的陰天，或由黑夜變成白晝。你能解釋這樣的效果是怎樣產生的嗎？舞臺用電的電壓一定時，隨著可變電阻R（Ω）的變化，電流將如何變化？若舞臺用電的電壓為220（ν），那么（1）用含R的代數式表示I，R是I的反比例函數嗎？為什么？（2）當通過可變電阻的電流為10A時，電阻是多少？（3）為安全起見，電路的電流不得超過20A，那么可變電阻應控制在什

么范圍內？（4）在直角坐標系中，作出相應的函數圖象。請利用圖象對（2）（3）作出直觀解釋，并在小組內交流。

從學生的實際出發(fā)，用他們熟悉和感興趣的問題情境引出學習主題，通過設置富有數學含義的問題鏈，促使學生展開數學探究，展現數學與現實生活及其他學科的聯系，突出“數學化”的過程，增強學生的應用意識。設計意圖

拓展應用請補充一個條件：

并求出正比例函數關系式、反比例函數關系式、A、B兩點的坐標（條件中已知的項不用求）。并與同伴交流。

如圖，正比例函數與反比例函數的圖象相交于A、B兩點，A點的橫坐標為。改編教材147頁中“做一做”的第2題，努力為學生提供豐富多彩的學習素材，讓學生經歷知識的形成和應用過程，關注、尊重學生的個體差異，有效地實施有差異的教學，使每一個學生都得到充分的發(fā)展。設計意圖

示例演示

如圖，為了預防“非典”，某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒。已知藥物燃燒時，室內每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時間x(min)成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例，現測得藥物8min燃畢，此時室內空氣中每立方米的含藥量為6mg。請根據題中所提供的信息，解答下列問題：（1）藥物燃燒時，y與x的關系式為

；（2）藥物燃燒完后，y與x的關系式為

；（3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6mg時學生方可進入教室，那么從消毒開始，至少經過min后，學生才能回到教室；研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3mg且持續(xù)時間不低于10min時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？請說明理由。

本例選自2003年浙江金華中考題，以預防“非典”，為切入點，提出富有啟發(fā)性的問題，為學生提供操作、思考和交流的機會，促使學生主動嘗試從數學的角度運用所學知識尋求解決問題的策略。

設計意圖

課堂練習

某單位為響應政府發(fā)出的“全民健身”的號召，打算在長和寬分別為20米和11米的矩形大廳內修建一個60平方米的矩形健身房ABCD。該健身房的四面墻壁中有兩面沿用大廳的舊墻壁，已知裝修舊墻壁的費用為20元/平方米，新建（含裝修）墻壁的費用為80元/平方米，設該健身房的高為3米，一面舊墻壁AB的長為x米,修建健身房墻壁的總投入為y元。（1）求y與x的函數關系式（2）為了合理利用大廳,要求自變量x必須滿足8,

當投入資金為800元時,問利用舊墻壁總長度為多少米?檢查學生對該節(jié)內容的掌握程度和運用知識解決問題的能力。設計意圖

自我評價1、本節(jié)課我是否積極主動參與學習活動？2、是否樂于與同伴交流各自想法，并在交流中獲益？3、我需要改進的地方或今后努力的方向是什么？建立數學成長記錄，感受自己的點滴進步。設計意圖

四.典型例題例1（2006年·河北）在一個可以改變容積的密閉容器內，裝有一定質量m的某種氣體，當改變容積V時，氣體的密度ρ也隨之改變.ρ與V在一定范圍內滿足，它的圖象如圖所示，則該氣體的質量m為（）

A.1.4kgB.5kg

C.6.4kgD.7kg

四.典型例題思路分析：這是反比函數在實際問題中應用，根據關系可以判斷.ρ與V是反比例函數關系，由圖象可知，即m=7，選D.知識考查：反比例函數在實際問題中的應用.解：D.四.典型例題例2（2006·武漢）如圖，已知點A是一次函數y=x圖象與反比例函數的圖象在第一象限內的交點，點B

在x軸的負半軸上，且OA=OB，那么△AOB的面積為（）.A.2B.C.D.

四.典型例題思路分析：這是反比例函數與一次函數的綜合.如圖，過點A作AC⊥x

軸于點C，可知點A的坐標為（，），所以，則有OA=OB＝2，因此，故選C.知識考查：考查反比例函數和一次函數的綜合應用.解：C.四.典型例題例3（2006年·十堰）某科技小組進行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地.為了安全，迅速通過這片濕地，他們沿著前進路線鋪了若干塊木板，構成一條臨時通道.木板對對地面的壓強p(Pa)是木板面積S（m2）的反比例函數.其圖象如圖所示，(1)請直接寫出這一函數的表達式和自變量的取值范圍；(2)當木板面積為0.2m2時，壓強的面積是多少？(3)如果要求壓強不超過6000Pa，木板的面積至少要多大？

四.典型例題思路分析：這是反比例函數在實際中的應用問題.根據圖象可直接得到函數表達式，根據已知條件可求出相應的壓強和面積.知識考查：考查反比例函數在實際問題中應用.

四.典型例題解：(1)由題意得，設，當木板面積為1.5m2時，壓強為400Pa，∴F=1.5×400=600，∴(2)當木板面積S=0.2m2時，壓強(Pa)，所以壓強為3000Pa.(3)由題意得，，∴S≥0.1m2，即木板的面積至少要0.1m2.

四.典型例題例4（2006年·泉州）如圖，在直角坐標系中，O為原點，A（4，12）為雙曲線上的一點.(1)求k的值；(2)過雙曲線上的點P作PB⊥x

軸于B，連接OP，若Rt△OPB的兩直角邊的比值為，試求點P的坐標.(3)分別過雙曲線上的兩點P1、P2，作P1B1⊥x

軸于B1，作P2B2⊥x

軸于B2，連接OP1、OP2.設Rt△OP1B1、Rt△OP2B2的周長分別為l1、l2，內切圓的半徑分別為r1、r2，若，試求的值.

四.典型例題思路分析：這是反比例函數的綜合應用.對(1)的條件可直接求出k的值k=48；對(2)設P(m，n)，于是有mn=48，根據Rt△OPB的兩直角邊的比值為，可得，解得，或，，因此或；對(3)根據內切圓與三邊之間的關系列等式，從而根據周長與半徑的關系求出的值.知識考查：考查反比例函數圖象及性質與相關數學知識的綜合應用.

四.典型例題解：(1)根據題意，得，所以k=48；(2)由(1)得，雙曲線的解析式為，設P(m，n)，則有mn=48①，當時，即②，由①×②得，所以（舍去負值），所以，因此；當時，同理可求得；四.典型例題解：(3)由(1)得，雙曲線的解析式為，如圖在Rt△OP1B1中，設OB1

＝a1，P1B1＝b1，OP1＝c1，則P1的坐標為P1（a1，b1），所以a1b1＝48；在Rt△OP2B2中，設OB2

＝a2，P2B2＝b2，

OP2＝c2，則P2的坐標為P2（a2，b2），所以a2b2＝48；∵由三角形面積公式可得，

∴，又，，∴，即，又，∴，即.五.能力訓練（一）選擇題1.（2006·蘭州）如圖所示，P1、P2、P3是雙曲線上的三個點，過這三點分別作y軸的垂線，得三個三角形OP1A1、OP2A2、OP3A3，設它們的面積分別為S1、S2、S3，則（）A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S1<S3<S2D.S1=S2=S32.（2006·紹興）如圖，正方形OABC，ADEF的頂點A、D、C在坐標軸上，點F在AB上，點B、E在函數的圖象上，則點E的坐標是（）

A.B.

C.D.

五.能