.微分方程的基本概念與可分離變量方程

第一節(jié)一般概念第五章微分方程基礎微分方程的基本概念1.微分方程

含未知函數(shù)及其導數(shù)(或微分)的方程叫做微分方程.如：常微分方程偏微分方程(本章內容)微分方程分類常微分方程：未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程。偏微分方程：未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程。如：如：本章只介紹常微分方程，偏微分方程暫不學習。

例5-1在理想環(huán)境中,某細菌的增殖速率與它的即時存在量成正比，試建立該細菌在時刻的存在量所應滿足的微分方程。

解設在任意時刻,該細菌的即時存在量為,并從觀察中已測出正比例系數(shù)為,則可得微分方程

例5-2

設一曲線通過點,且在該曲線上任一點處的切線的斜率為,求這曲線的方程.

解設所求曲線為,由導數(shù)的幾何意義,得兩邊積分即得(其中為任意常數(shù))

又因曲線通過點,所以曲線方程還應滿足條件將上述條件代入方程中,得于是所求的方程為

注意:

為一族平行曲線，稱為積分曲線族，而為其中的一條曲線.2.微分方程的階

微分方程中所含未知函數(shù)的導數(shù)或微分的最高階數(shù),叫做微分方程的階.例

、為二階微分方程.一階微分方程的一般形式為

或n階微分方程的一般形式為為三階微分方程.為一階微分方程.3.微分方程的解如果把某函數(shù)以及它的導數(shù)代入微分方程,能使方程成為恒等式,那么這個函數(shù)就叫做微分方程的解.

(1)通解含有獨立的任意常數(shù),且常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同的解,叫做微分方程的通解.例如為的通解為的通解(2)特解在通解中,利用已知條件(或初始條件)求出任意常數(shù)所應取的確定數(shù)值,所得的解叫做微分方程的特解.4.初始條件給定的條件或由實際問題確定的已知條件．解

例5-4驗證函數(shù)是微分方程的解,并求滿足初始條件的特解.所以故是原方程的解.把初始條件代入所以,所求特解為得5.線性嘆微分勝方程如果鏈微分虧方程幟中函廚數(shù)的導數(shù)和函略數(shù)本身都是裹一次葉的微壁分方燦程（搏僅僅宏是對世于y本身趨來說,對x沒限扒制往）。例如是二希階線服性微核分方志程。是二招階微葛分方曲程，右但不亡是二騰階線清性微啞分方掛程。6.常系束數(shù)線項性微夾分方暢程如果冒微分游方程太中函刑數(shù)的泛導數(shù)遣和函伶數(shù)本松身前屢為常數(shù)的線嚼性微青分方偷程。例如是二羨階常恩系數(shù)遵線性艘微分處方程互。不是鼠常系莫數(shù)線以性微慰分方羊程。形如的方譯程稱圈為可尸分離閥變量礙的微擺分方察程

即等式右端的函數(shù)可分解成的函數(shù)與的函數(shù)相乘的形式.第二獸節(jié)播一階極微分蛛方程一、立可分盼離變各量的者微分穴方程微分方程分離變量是否可分離變量y2xy3x25xy0(x2y2)dxxydy=0y1xy2xy2y10xy如果課一個謙一階休微分嘩方程濃能寫失成g(y)dyf(x)dx(或寫滔成yf(x)g(y))的形眨式那么序原方季程就會稱為可分熔離變情量的微俱分方端程1、可柏分離桐變量壘的微質分方純程討論:是不是不是是是是y1dy2xd霜xdy(3x25x)dxy(1x)(珍1y2)10ydy10xdx——技————耐——2、可援分離稠變量心的微合分方朵程的悄解法兩端應積分方程G(y)F(x)CyF(x)或xY(y)都是扶方程脆的通解其中G(y)F(x)C稱為隱式(通)解求顯誘式解求方博程由G(y)F(x)C所確鳴定的老隱函核數(shù)yF(x)或xY(y)分離湯變量將方市程寫乘成g(y)dyf(x)dx的形所式分離衫變量續(xù)，得解：秒這是林一個善可分盾離變渠量的癢微分菊方程.兩邊驢積分厘，得即ln陰|y|x2C1

例5-5求微分方程的通解.從而

例5-6求例5-1關于細菌存在量的微分方程的通解,并求滿足初始條件的特解.解械將昂方程撕改寫棗成變膛量分燈離形狹式兩邊積分得即所以所求微分方程的通解為將代入以上通解之中,得于是巖得到瘋滿足訓初始故條件渠的特藝解為解分離變量,可化原方程為兩端積分例5-6

求微分方程的通解得整理得記,則本例所求的通解為微分摧方程微分樸方程府的階微分帖方程廳的解通解初始交條件特解微分堂方程肝的實音質聯(lián)系叼自變詠量,未知事函數(shù)古以及鞠未知養(yǎng)函數(shù)喇的某他些導充數(shù)(或微雙分)之間獻的關壇系式.在解砌微分勒