湖南省衡陽(yáng)市鹽湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

湖南省衡陽(yáng)市鹽湖中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.光線入射線在直線

上，經(jīng)過(guò)軸反射到直線上，再經(jīng)過(guò)軸反射到上，則直線的方程為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B2.已知直二面角，點(diǎn)C為垂足，點(diǎn)，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則CD=

(

) A．2 B． C．

D．1參考答案：C略3.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．先把高二年級(jí)的2000名學(xué)生編號(hào)為1到2000，再?gòu)木幪?hào)為1到50的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，其編號(hào)為，然后抽取編號(hào)為，，的學(xué)生，這樣的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣法B．線性回歸直線一定過(guò)樣本中心點(diǎn)C.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1D．若一組數(shù)據(jù)1、a、3的平均數(shù)是2，則該組數(shù)據(jù)的方差是參考答案：C對(duì)于A，根據(jù)抽樣方法特征是數(shù)據(jù)多，抽樣間隔相等，是系統(tǒng)抽樣，A正確；對(duì)于B，線性回歸直線一定過(guò)樣本中心點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)|r|的值越接近于1，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,一組數(shù)據(jù)1、a、3的平均數(shù)是2，∴a=2；∴該組數(shù)據(jù)的方差是s2=×[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2]=，D正確．故選:C

4.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A，B兩點(diǎn)．則=

A．

B．

C．

D．參考答案：D5.設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則的值為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B6.已知數(shù)列…，則是這個(gè)數(shù)列的（

）A.第六項(xiàng) B.第七項(xiàng) C.第八項(xiàng) D.第九項(xiàng)參考答案：B試題分析：由數(shù)列前幾項(xiàng)可知通項(xiàng)公式為時(shí)，為數(shù)列第七項(xiàng)考點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式7.若直線和橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是(

)A.[2,+∞) B.[2,3)∪(3,+∞) C.[2,3) D.(3,+∞)參考答案：B【分析】根據(jù)橢圓1（b＞0）得出≠3，運(yùn)用直線恒過(guò)（0，2），得出1，即可求解答案．【詳解】橢圓1（b＞0）得出≠3，∵若直線∴直線恒過(guò)（0，2），∴1,解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．8.命題若，則是的充分而不必要條件；命題函數(shù)的定義域是，則（

）A．“或”為假

B．“且”為真C．真假

D．假真參考答案：D9.雙曲線x2﹣4y2=4的離心率為(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由雙曲線方程求出三參數(shù)a，b，c，再根據(jù)離心率e=求出離心率．【解答】解：雙曲線x2﹣4y2=4，即，∴a=2，b=1，∴c=，∴e==．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查由雙曲線的方程求三參數(shù)，考查雙曲線中三參數(shù)的關(guān)系：c2=a2+b2．10.直線x﹣3y+1=0的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°參考答案：A【考點(diǎn)】直線的傾斜角．【專題】計(jì)算題．【分析】先由直線的方程求出斜率，再根據(jù)傾斜角的正切值等于斜率，再結(jié)合傾斜角的范圍求出傾斜角．【解答】解：由題意，直線的斜率為即直線傾斜角的正切值是又傾斜角大于或等于0°且小于180°，故直線的傾斜角為30°，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題以直線為載體，考查由直線的方程求直線的斜率，直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，應(yīng)注意直線傾斜角的范圍．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，則k的取值范圍是________．參考答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)略12.若樣本的方差是2，則樣本的方差是

參考答案：813.如圖，在正方體中，分別為，，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角

.

參考答案：60°14.如圖，△ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此圖形中有

個(gè)直角三角形參考答案：415.若n為正偶數(shù)，則被9除所得的余數(shù)是________．參考答案：0原式=又n為正偶數(shù)，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，故余數(shù)為016.德國(guó)數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果n是奇數(shù)，則將它乘3加1（即3n+1），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，一定可以得到1．對(duì)于科拉茨猜想，目前誰(shuí)也不能證明，也不能否定，現(xiàn)在請(qǐng)你研究：如果對(duì)正整數(shù)n（首項(xiàng)）按照上述規(guī)則旅行變換后的第9項(xiàng)為1（注：1可以多次出現(xiàn)），則n的所有不同值的個(gè)數(shù)為

．參考答案：7【考點(diǎn)】8B：數(shù)列的應(yīng)用．【分析】利用第9項(xiàng)為1出發(fā)，按照規(guī)則，逆向逐項(xiàng)即可求出n的所有可能的取值．【解答】解：如果正整數(shù)n按照上述規(guī)則施行變換后的第9項(xiàng)為1，則變換中的第8項(xiàng)一定是2，則變換中的第7項(xiàng)一定是4，變換中的第6項(xiàng)可能是1，也可能是8；變換中的第5項(xiàng)可能是2，也可是16，變換中的第5項(xiàng)是2時(shí)，變換中的第4項(xiàng)是4，變換中的第3項(xiàng)是1或8，變換中的第2項(xiàng)是2或16，變換中的第5項(xiàng)是16時(shí)，變換中的第4項(xiàng)是32或5，變換中的第3項(xiàng)是64或10，變換中的第2項(xiàng)是20或3，變換中第2項(xiàng)為2時(shí)，第1項(xiàng)為4，變換中第2項(xiàng)為16時(shí)，第1項(xiàng)為32或5，變換中第2項(xiàng)為3時(shí)，第1項(xiàng)為6，變換中第2項(xiàng)為20時(shí)，第1項(xiàng)為40，變換中第2項(xiàng)為21時(shí)，第1項(xiàng)為42，變換中第2項(xiàng)為128時(shí)，第1項(xiàng)為256，則n的所有可能的取值為4，5，6，32，40，42，256，共7個(gè)，故答案為：7．17.在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量的結(jié)果x服從正態(tài)分布N（a，2）（a＞0，＞0），若x在（0，a）內(nèi)取值的概率為0.3，則x在（0，2a）內(nèi)取值的概率為

.參考答案：0.6略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.下圖是某市有關(guān)部門(mén)根據(jù)對(duì)某地干部的月收入情況調(diào)查后畫(huà)出的樣本頻率分布直方圖，已知圖中第一組的頻數(shù)為4000.請(qǐng)根據(jù)該圖提供的信息解答下列問(wèn)題：（圖中每組包括左端點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在）（1）求樣本中月收入在的人數(shù)；（2）為了分析干部的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須從樣本的各組中按月收入再用分層抽樣方法抽出人作進(jìn)一步分析，則月收入在的這段應(yīng)抽多少人？（3）試估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù).

參考答案：（1）月收入在的人數(shù)為2000；（2）月收入在的這段應(yīng)抽20人；（3）樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為1750元.

略19.已知函數(shù)f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)a≤﹣2，證明：對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增、導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減對(duì)a分3種情況進(jìn)行討論．（2）先根據(jù)a的范圍對(duì)函數(shù)f（x）的單調(diào)性進(jìn)行判斷，然后根據(jù)單調(diào)性去絕對(duì)值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)g（x）=f（x）+4x的單調(diào)性問(wèn)題．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），．當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)增加；當(dāng)a≤﹣1時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)減少；當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=．當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′（x）＞0；x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）單調(diào)增加，在（，+∞）單調(diào)減少．（Ⅱ）不妨假設(shè)x1≤x2．由于a≤﹣2，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．所以|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等價(jià)于f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．令g（x）=f（x）+4x，則+4=．于是g′（x）≤=≤0．從而g（x）在（0，+∞）單調(diào)減少，故g（x1）≥g（x2），即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．20.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BC，DC上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF． （1）求證：B1F⊥D1E； （2）當(dāng)三棱錐C1﹣FCE的體積取到最大值時(shí)，求二面角C1﹣FE﹣C的正切值． 參考答案：【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系． 【專題】計(jì)算題． 【分析】（1）因?yàn)槭钦襟w，又是空間垂直問(wèn)題，所以易采用向量法，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，欲證B1F⊥D1E，只須證再用向量數(shù)量積公式求解即可．（2）由題意可得：當(dāng)三棱錐C1﹣FCE的體積取到最大值時(shí)，即其底面積△FEC最大，可得點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)時(shí)取最大值，再根據(jù)線面關(guān)系得到∠C1OC為二面角C1﹣FE﹣C的平面角，進(jìn)而利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出答案即可． 【解答】解：（1）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA、DC、DD1分別x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 如圖所示： 設(shè)BE=CF=b， 則D1（0，0，a），E（a﹣b，a，0），F(xiàn)（0，a﹣b，0），B1（a，a，a）， 所以，， 所以， 所以B1F⊥D1E． （2）由題意可得：當(dāng)三棱錐C1﹣FCE的體積取到最大值時(shí)，即其底面積△FEC最大，即S△FEC=b（a﹣b）最大， 由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)b=時(shí)，其底面積取最大值，即點(diǎn)E、F分別是 BC、CD的中點(diǎn)， 所以C1F=C1E，CE=CF． 取EF的中點(diǎn)為O，連接C1O，CO， 所以C1O⊥EF，CO⊥EF， 所以∠C1OC為二面角C1﹣FE﹣C的平面角． 在△C1OC中，C1C=a，CO=，所以tan∠C1OC=2． 所以二面角C1﹣FE﹣C的正切值為2． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量證明線線的垂直關(guān)系，以及考查幾何體的體積與二面角的平面角等問(wèn)題，也可以利用向量的方法解決二面角的問(wèn)題，次方法比較方便靈活，是?？碱愋停瑢僦袡n題． 21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，。(1)求在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明:曲線與曲