復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第1頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/291第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)內(nèi)容提要：復(fù)變函數(shù)就是自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)，本章先學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的概念、性質(zhì)與運(yùn)算，然后再引入平面上的點(diǎn)集、復(fù)變函數(shù)極限、連續(xù)．本章中的許多概念在形式上與微積分學(xué)中一些基本概念有相似之處，可以把它們看作微積分學(xué)中相應(yīng)的概念及定理在復(fù)數(shù)域中的推廣．

第2頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/292第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.1復(fù)數(shù)1.2復(fù)數(shù)的三角表示1.3平面點(diǎn)集的一般概念1.4無窮大與復(fù)球面1.5復(fù)變函數(shù)本章小結(jié)思考題第3頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/293第一節(jié)復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)的基本概念

第4頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/294二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算

1.復(fù)數(shù)的和、差、積、商

和與差：積：商：復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律．第5頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2952．共扼復(fù)數(shù)及性質(zhì)

重要性質(zhì)：

復(fù)數(shù)的共扼性質(zhì)在實(shí)際計(jì)算和證明中有廣泛應(yīng)用

第6頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/296例1．計(jì)算復(fù)數(shù)

解：法一（商的公式）

法二（共軛性質(zhì)）

應(yīng)用共扼性質(zhì)來計(jì)算顯得簡單，在后面計(jì)算中要靈活運(yùn)用共軛第7頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/297例2．解：由題意得

例3．解：第8頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/298例4．證明：證法二：第9頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/299第二節(jié)復(fù)數(shù)的表示法

一、復(fù)平面

定義：復(fù)數(shù)的模：

復(fù)數(shù)的幅角：主幅角：即：一復(fù)數(shù)的輻角Argz是多值的第10頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2910二、復(fù)數(shù)的表示法1．復(fù)數(shù)的向量表示法

因此

顯然有不等式：

復(fù)數(shù)、復(fù)平面上點(diǎn)、向量之間一一對應(yīng)第11頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/29112．復(fù)數(shù)的三角表示法利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系：

復(fù)數(shù)的三角表示式：3．復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法利用歐拉公式：

復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式：注意：復(fù)數(shù)的三角表示式不是唯一的，因?yàn)檩椊怯袩o窮多種選擇，如果有兩個(gè)三角表示式相等：

則可以推出：第12頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2912例1．解：于是主幅角值的確定：

第13頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2913練習(xí)

模

主輻角解：

例2．解：

為復(fù)數(shù)形式的直線方程

復(fù)數(shù)形式的直線方程為

第14頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2914例3．解：

參數(shù)方程為由參數(shù)式得復(fù)數(shù)形式參數(shù)方程為若平面上曲線的參數(shù)方程為：則定義定義：復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程

第15頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2915例4．求下列方程所表示的曲線解：

第16頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2916三、復(fù)數(shù)的三角表示及指數(shù)表示作乘除法

即：模輻角定理1：兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們模的乘積，幅角等于它們的幅角之和．說明：例如：第17頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2917例如：定理2：兩復(fù)數(shù)的商的模等于它們模的商，幅角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差．證明：即：模輻角第18頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2918例5．用三角表示式和指數(shù)表示式計(jì)算下列復(fù)數(shù)解：

第19頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2919例6．解：

第20頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2920四、復(fù)數(shù)的乘方與開方、棣摩弗公式1．乘方公式這公式稱棣摩弗公式．

2．開方公式

第21頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2921例7．計(jì)算下列各題：

解：即：第22頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2922例8．解：其解為

作業(yè)習(xí)題一1.1(3)(4)1.31.41.6(2)(4)1.8(2)(3)1.9(1)（2）(3)（4）1.10(1)（2）(3)（4）1.12(1)（5）1.13(1)P28第23頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2923第三節(jié)平面點(diǎn)集的一般概念研究復(fù)變函數(shù)問題，和實(shí)函數(shù)一樣，每個(gè)復(fù)變量都有自己的變化范圍，復(fù)變量的變化范圍同于二元函數(shù)的變化范圍稱為區(qū)域．

一、開集與閉集

1.鄰域：

2．內(nèi)點(diǎn)：

3．開集：

4．余集：

第24頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/29245．邊界：

6．孤立點(diǎn)：

7．有界集與無界集：

例如：第25頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2925二、區(qū)域1．連通：

設(shè)G中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于G的折線連接起來，則稱G是連通的．

2．區(qū)域：

連通的開集稱為區(qū)域，記為D．

3．閉區(qū)域：

區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域，4．有界、無界區(qū)域：（如上定義）

5．圓環(huán)域：

例如

有界域：無界域：角形域：

帶形域：

第26頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2926例1．試說出下列各式所表示的點(diǎn)集是怎樣的圖形，并指出哪些是區(qū)域：

解：

三、平面曲線1．平面曲線的復(fù)數(shù)式

平面曲線的復(fù)數(shù)形式參數(shù)方程

第27頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2927例2．圓周參數(shù)方程

解：

例3．解：

直線的參數(shù)方程

2．光滑曲線

光滑曲線

由若干段光滑曲線所組成的曲線稱為分段光滑曲線．

第28頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2928例4．解：

容易驗(yàn)證：

因此該曲線是分段光滑曲線．

3．簡單閉曲線

則稱這條曲線為簡單閉曲線．

簡單閉曲線

非簡單閉曲線

第29頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/29294．單連通區(qū)域與多連通區(qū)域

設(shè)D為一平面區(qū)域，若在D中任作一條簡單閉曲線，而曲線內(nèi)部總屬于D，則稱D為單連通區(qū)域，否則是多連通區(qū)域．

單連通區(qū)域的特征：屬于D的任何一條簡單閉曲線，在D內(nèi)可經(jīng)過連續(xù)變形而縮成一點(diǎn)．

單連通區(qū)域多連通區(qū)域洞第30頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2930第四節(jié)無窮大與復(fù)球面一、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為了討論問題方便，我們不但要討論有限復(fù)數(shù)，還要討論一個(gè)特殊的復(fù)數(shù)-------無窮大，它是由下式定義的：加法：減法：乘法：除法：而實(shí)部、虛部和輻角均沒有意義，

第31頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2931這個(gè)點(diǎn)稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，

復(fù)平面加上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)稱為擴(kuò)充復(fù)平面，擴(kuò)充復(fù)平面上的每一條直線都通過無窮遠(yuǎn)點(diǎn).（4）無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域：

復(fù)球面定義：球面上的每一點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng)，這樣的球面稱為復(fù)球面；二、復(fù)球面（5）無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域：第32頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2932第五節(jié)復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的概念說明：

那么稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)，即復(fù)變函數(shù)，

1．定義：設(shè)G是一個(gè)復(fù)數(shù)的集合，如果有一個(gè)確定的法則存在，按照這一法則，

第33頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/29332．復(fù)變函數(shù)與二元函數(shù)的關(guān)系

因此可以利用兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)來討論例1．解：

例2．將下列兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)表示為復(fù)變函數(shù)，解：

第34頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/29343．映射的概念在“高等數(shù)學(xué)”中，常把函數(shù)用幾何圖形來表示，這樣，可以直觀地幫助我們理解和研究函數(shù)的性質(zhì)．對于復(fù)變函數(shù)，由于它反映了兩對變量和之間的對應(yīng)關(guān)系，因而無法用同一個(gè)平面的幾何圖形表示出來，必須把它看成兩個(gè)復(fù)平面上的點(diǎn)集之間的對應(yīng)關(guān)系．第35頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2935例3．第36頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2936例4．解：

第37頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2937例5．解：

（1）由乘法的模與幅角定理可知：

其象是2倍角域,

第38頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2938反函數(shù)（逆映射）二、復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)1．復(fù)變函數(shù)的極限定義1．第39頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2939定理1．設(shè)函數(shù)證明：必要性充分性第40頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2940定理2．如果第41頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2941例1．證明：

另證：

第42頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/29422．復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性定理3．函數(shù)例2．解：說明：復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性的定義與實(shí)函數(shù)的極限與連續(xù)性的定義形式上完全相同，因此高等數(shù)學(xué)中的有關(guān)定理依然成立，因此又有有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．

第43頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2023/6/2943定理4．(1)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分