2-12 二元一次方程組的應用（2）（知識講解）-（浙教版）

專題2.12二元一次方程組的應用（2）（知識講解）【學習目標】能運用列表分析法分析數(shù)量關系；能熟練地列二元一次方程組解決簡單的實際問題；將實際問題轉(zhuǎn)化成二元一次方程組的數(shù)學模型；會用圖表分析數(shù)量關系?！疽c梳理】要點一、常見的一些等量關系（二）1．方案問題在解決問題時，常常需合理安排．需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案．行程問題速度×時間=路程.順水速度=靜水速度+水流速度.逆水速度=靜水速度-水流速度.3.工程問題：工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量.4.銷售、利潤問題：商品利潤＝商品售價－商品進價，.特別說明：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案．要點二、實際問題與二元一次方程組1.列方程組解應用題的基本思路2.列二元一次方程組解應用題的一般步驟設：用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關系，根據(jù)等量關系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；答：寫出答案．特別說明：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數(shù)就應該列出幾個方程并組成方程組.【典型例題】類型一、方案問題1、已知2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運貨10噸.用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運貨11噸.某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計劃同時租用A型車a輛和B型車b輛,一次運完，且每輛車都滿載貨物.根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）1輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次分別可運貨物多少噸？（2）請幫助物流公司設計租車方案（3）若A型車每輛車租金每次100元，B型車每輛車租金每次120元.請選出最省錢的租車方案，并求出最少的租車費.【答案】(1)1輛A型車載滿貨物每次可運貨物3噸，1輛B型車載滿貨物一次可運貨物4噸;(2)有三種租車方案：方案一,租用A型車9輛，B型車1輛，方案二,租用A型車5輛，B型車4輛，方案三,租用A型車1輛，B型車7輛.（3）選擇方案三最省錢，最少的租車費為940元.解：（1）設A、B型車都裝滿貨物一次每輛車裝噸、噸則解得：（2）結(jié)合題意和上一問得：3a+4b=31∴a=因為a，b都是正整數(shù)，∴或或有三種租車方案：方案一：A型車9輛，B型車1輛；方案二：A型車5輛，B型車4輛；方案三：A型車1輛，B型車7輛；（3）A型車每輛車租金每次100元，B型車每輛車租金每次120元，方案一：9100+1120=1020；；方案二：5100+4120=980；方案三：1100+7120=940；∵1020＞980＞940∴方案三最省錢，費用為940元．舉一反三：【變式1】我校組織一批學生開展社會實踐活動，原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出一輛車，且其余客車恰好坐滿．已知45座客車租金為每輛220元，60座客車租金為每輛300元．（1）這批學生的人數(shù)是多少？原計劃租用45座客車多少輛？（2）若租用同一種客車，要使每位學生都有座位，應該怎樣租用合算？【答案】（1）240人，原計劃租用45座客車5輛；（2）租4輛60座客車劃算．【分析】（1）設這批學生有x人，原計劃租用45座客車y輛，根據(jù)“原計劃租用45座客車若干輛，但有15人沒有座位；若租用同樣數(shù)量的60座客車，則多出一輛車，且其余客車恰好坐滿”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）找出每個學生都有座位時需要租兩種客車各多少輛，由總租金=每輛車的租金×租車輛數(shù)分別求出租兩種客車各需多少費用，比較后即可得出結(jié)論．解：（1）設這批學生有x人，原計劃租用45座客車y輛，

根據(jù)題意得：，

解得：,答：這批學生有240人，原計劃租用45座客車5輛．

（2）∵要使每位學生都有座位，

∴租45座客車需要5+1=6輛，租60座客車需要5-1=4輛．

220×6=1320（元），300×4=1200（元），

∵1320＞1200，

∴若租用同一種客車，租4輛60座客車劃算．【點撥】此題考查二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）求出租兩種客車各需多少費用．【變式2】某中學為豐富學生的校園生活，準備從體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同），若購買3個足球和2個籃球共需310元，購買2個足球和5個籃球共需500元．（1）求購買一個足球、一個籃球各需多少元？（2）根據(jù)學校實際情況，需從體育用品商店一次性購買足球和籃球共96個，要求購買足球和籃球的總費用不超過5720元，這所中學最多可以購買多少個籃球？【答案】（1）購買一個足球需要50元，購買一個籃球需要80；（2）30個．【分析】（1）設一個足球、一個籃球分別為x、y元，就有3x+2y=310和2x+5y=500，由這兩個方程構(gòu)成方程組求出其解即可；

（2）設最多買籃球m個，則買足球（96-m）個，根據(jù)購買足球和籃球的總費用不超過5720元建立不等式求出其解即可．（1）解：設一個足球、一個籃球分別為x、y元，根據(jù)題意得，解得，∴一個足球50元、一個籃球80元；（2）設買籃球m個，則買足球（96-m）個，根據(jù)題意得80m+50(96-m)≤5720，解得x≤，∵m為整數(shù)，∴m最大取30∴最多可以買30個籃球【點撥】本題考查了二元一次方程組的應用，應熟練掌握列方程解應用題以及列不等式解應用題的步驟.類型二、行程問題2、張強和李毅二人分別從相距20千米的A、B兩地出發(fā)，相向而行，如果張強比李毅早出發(fā)30分鐘，那么在李毅出發(fā)后2小時，他們相遇；如果他們同時出發(fā)，那么1小時后兩人還相距11千米．求張強、李毅每小時各走多少千米．【答案】4千米，5千米【分析】設張強每小時走x千米，李毅每小時走y千米，根據(jù)題意可得，張強走2.5小時的路程+李毅走2小時的路程=20千米，李毅和張強共同走1個小時，倆人走的路程為9千米，據(jù)此列方程組求解．解：設張強每小時走x千米，李毅每小時走y千米，由題意得，，解得：．答：張強每小時走4千米，李毅每小時走5千米．考點：二元一次方程組的應用舉一反三：【變式1】甲、乙兩人同時從，兩地出發(fā)趕往目的地，，甲騎摩托車，乙騎自行車，沿同一條路線相向勻速行駛，出發(fā)后經(jīng)小時兩人相遇．已知在相遇時甲比乙多行駛了千米，相遇后經(jīng)過小時甲到達地．（1）求甲、乙兩人行駛的速度．（2）在整個行程中，問甲、乙行駛多少小時，兩車相距千米．【答案】（1）甲：，乙：；（2）或【分析】（1）設甲的速度為，乙的速度為，根據(jù)題意列二元一次方程組即可解答（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，先求出AB兩地的距離，再根據(jù)相遇前甲、乙相距，和相遇后甲、乙相距這兩種情況列方程即可解答解：（1）設甲的速度為，乙的速度為，由題意得解得所以甲的速度為，乙的速度為（2）由（1）可得，AB兩地的距離為：，設甲、乙行駛小時后兩人相距①相遇前甲、乙相距由題意可得解得：②相遇后甲、乙相距由題意可得解得：所以當甲乙行駛2小時或3小時兩人相距【點撥】本題考查了二元一次方程組和一元一次方程的實際應用，解題關鍵是讀題意找準等量關系正確列出方程．【變式2】小穎家到學校的距離為1200m，其中有一段為上坡路，另一段為下坡路，她去學校共用去16min，假設小穎在上坡路的平均速度為3km/h，下坡路的平均速度為5km/h，小穎家到學校的上坡路和下坡路各有多少米？【答案】小穎家到學校的上坡路有200米，下坡路有1000米．【分析】設小穎家到學校的上坡路有x千米，下坡路有y千米，根據(jù)總路程為1.2千米和上坡和下坡總時間為16分鐘列出x和y的二元一次方程組，求出x和y的值即可．解：設小穎家到學校的上坡路有x千米，下坡路有y千米．則，解得，0.2千米＝200米，1千米＝1000米，答：小穎家到學校的上坡路有200米，下坡路有1000米．【點撥】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解，此題難度不大．類型三、工程問題3、一家商店進行門店升級需要裝修，裝修期間暫停營業(yè)，若請甲乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元，問：（1）甲、乙兩組工作一天，商店各應付多少錢？（2）已知甲組單獨完成需12天，乙組單獨完成需24天，單獨請哪個組，商店所需費用最少？（3）裝修完畢第二天即可正常營業(yè)，且每天仍可盈利200元(即裝修前后每天盈利不變)，你認為商店應如何安排施工更有利？說說你的理由．(可用（1）（2）問的條件及結(jié)論)【答案】（1）甲組工作一天商店應付300元，乙組工作一天商店應付140元；（2）單獨請乙組所需費用最少；（3）商店請甲乙兩組同時裝修，才更有利，理由見解析．【分析】（1）設甲組工作一天商店應付x元，乙組工作一天商店應付y元，根據(jù)“若請甲乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)所需總費用=每天應付錢數(shù)×工作天數(shù)，分別求出單獨請甲、乙兩組完成所需費用，比較后即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)損失總錢數(shù)=每天盈利×裝修時間+裝修隊所需費用，分別求出單獨請甲、乙兩組及請甲乙兩組同時完成所損失的總錢數(shù)，比較后即可得出結(jié)論．解：（1）設甲組工作一天商店應付x元，乙組工作一天商店應付y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲組工作一天商店應付300元，乙組工作一天商店應付140元．（2）單獨請甲組所需費用為：300×12=3600(元)，單獨請乙組所需費用為：140×24=3360(元)．∵3600＞3360，∴單獨請乙組所需費用最少．（3）商店請甲乙兩組同時裝修，才更有利．理由如下：單獨請甲組完成，損失錢數(shù)為：200×12+3600=6000(元)，單獨請乙組完成，損失錢數(shù)為：200×24+3360=8160(元)，請甲乙兩組同時完成，損失錢數(shù)為：200×8+3520=5120(元)．∵8160＞6000＞5120，∴商店請甲乙兩組同時裝修，才更有利．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)所需總費用=每天應付錢數(shù)×工作天數(shù)，分別求出單獨請甲、乙兩組完成所需費用；（3）根據(jù)損失總錢數(shù)=每天盈利×裝修時間+裝修隊所需費用，分別求出單獨請甲、乙兩組及請甲乙兩組同時完成所損失的總錢數(shù)．舉一反三：【變式1】某工程隊承包了某標段全長1800米的過江隧道施工任務，甲、乙兩個班組分別從東、西兩端同時掘進．已知甲組比乙組平均每天多掘進2米，經(jīng)過5天施工，兩組共掘進了60米．（1）求甲、乙兩班組平均每天各掘進多少米？（2）為加快工程進度，通過改進施工技術，在剩余的工程中，甲組平均每天能比原來多掘進2米，乙組平均每天能比原來多掘進1米．按此施工進度，能夠比原來少用多少天完成任務？【答案】（1）甲班組：7米，乙班組：5米；（2）比原來少用29天完成任務．【分析】（1）設甲班組平均每天掘進x米，乙班組平均每天掘進y米，根據(jù)“甲組比乙組平均每天多掘進2米，經(jīng)過5天施工，兩組共掘進了60米”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)工作時間=工作總量÷工作效率，分別求出按原來施工進程及改進施工技術后完成剩余工程所需時間，做差后即可得出結(jié)論．解：（1）設甲班組平均每天掘進x米，乙班組平均每天掘進y米，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲班組平均每天掘進7米，乙班組平均每天掘進5米．（2）按原來的施工進程需要的時間為（1800﹣60）÷（7+5）=145（天），改進施工技術后還需要的時間為（1800﹣60）÷（7+2+5+1）=116（天），節(jié)省時間為145﹣116=29（天）．答：改進施工技術后，能夠比原來少用29天完成任務．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)數(shù)量關系，列式計算．【變式2】在某外環(huán)公路改建工程中，某路段長6140米，現(xiàn)準備由甲、乙兩個工程隊擬在25天內(nèi)(含25天)合作完成，已知兩個工程隊各有20名工人(設甲、乙兩個工程隊的工人全部參與生產(chǎn)，甲工程隊每人每天工作量相同，乙工程隊每人每天工作量相同)，甲工程隊1天、乙工程隊2天共修路400米；甲工程隊2天、乙工程隊3天共修路700米．（1）試問：甲、乙兩個工程隊每天分別修路多少米?（2）甲、乙兩個工程隊施工8天后，由于工作需要需從甲隊調(diào)離m人去其他工程工作，總部要求在規(guī)定時間內(nèi)完成，請問：甲工程隊最多可以調(diào)離多少人?【答案】（1）甲、乙兩工程隊每天分別修路200米和100米；（2）8人【分析】（1）設甲工程隊每天修路x米，乙工程隊每天修路y米．，根據(jù)題意列出方程組求解即可；（2）設甲工程隊最多可以調(diào)走m人，根據(jù)路段長6140米，在25天內(nèi)合作完成和甲、乙工程每天修路的米數(shù)，列出方程，求出m的值即可；解：（1）設甲工程隊每天修路x米，乙工程隊每天修路y米．依題意，得：解之得：答：甲、乙兩工程隊每天分別修路200米和100米．（2）設甲工程隊最多可以調(diào)走m人．依題意，得：8×(200＋100)＋(25－8)×100＋(25－8)×(200÷20)×(20－m)=6140．解之得：m=8．答：甲工程隊最多可以調(diào)走8人．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應用，讀懂題目信息，理清題中的數(shù)量關系，找準等量關系列出方程組是解題的關鍵；類型四、銷售、利潤問題4、某商場投入13800元資金購進甲、乙兩種礦泉水共500箱，礦泉水的成本價和銷售價如表所示：類別/單價成本價銷售價（元/箱）甲2436乙3348（1）該商場購進甲、乙兩種礦泉水各多少箱？（2）全部售