流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)發(fā)展故事

流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)發(fā)展的故事吳介之北京大學(xué)工學(xué)院湍流與復(fù)雜系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2015年3月99.9％以上的宇宙物質(zhì)是流體－Milton

VanDykeAstrophysics(jets,

gas

clouds,

explosions)Astrophysics

(Sun)EXAMPLES

OF

TURBULENT

FLOW:Astrophysics

(Jupiter)From:

Multimedia

Fluid

Mechanics,Cambridge

Univ.

Press1944-2013：首次觀察到瀝青滴落的瞬間（愛(ài)爾蘭，三一學(xué)院）。比蜂蜜黏稠約200萬(wàn)倍，或者是水的黏性的約200億倍。澳大利亞昆士蘭大學(xué)1927設(shè)立同樣實(shí)驗(yàn)，86年來(lái)得8滴，2000年的一滴沒(méi)拍到，2013年有一滴。Leonardo

Da

Vinci

(1452-1519)“The

small

eddiesare

almostnumberless,

andlarge

things

arerotated

only

bylarge

eddies

andnot

by

small

ones,and

small

thingsare

turned

by

bothsmall

and

largeones”第一部分從Newton

到Prandtl重點(diǎn)關(guān)注：從找到基本方程到成為完整的現(xiàn)代科學(xué)并得到廣泛的應(yīng)用，流體力學(xué)為何花費(fèi)了近兩個(gè)世紀(jì)？其間卡在哪里？運(yùn)動(dòng)物體的升力和阻力是從哪里來(lái)的？?jī)蓚€(gè)問(wèn)題都在Prandtl手里得到解決。1.

無(wú)粘流NewtonF

=

ma–升力和阻力：sin2α

定律（1687）飛行的必要條件：很大的升力很小的阻力Newton的sine平方定律如果正確，飛行將不可能Danier

Bernoulli

(1738)(1738)Leonard

Euler

(1707-1783)取自Lamb

(1879)Euler方程（1752）：流體看做場(chǎng)。u

=(u,v,w)=u

(x,y,z,t)質(zhì)量守恒（普適，1754）動(dòng)量守恒（無(wú)粘）導(dǎo)出Bernoulli公式作為特例，奠定了現(xiàn)代流體力學(xué)流場(chǎng)描述的標(biāo)準(zhǔn)形式Euler

試著消去壓力，得渦量方程：但Lagrange

(1781)

用對(duì)時(shí)間的無(wú)窮級(jí)數(shù)展開(kāi)證明了,d’Alembert、Euler和后來(lái)的Cauchy甚至Helmholtz

也都相信，如果流場(chǎng)中的渦量開(kāi)始時(shí)為零，則一定恒為零。這種流動(dòng)稱為勢(shì)流。非勢(shì)流的旋渦流動(dòng)研究推遲了77年！無(wú)人會(huì)求解一般的Euler方程。Jean

Le

Rond

d’Alembert

(1717-1783)D’Alembert

佯謬(1768)

：在無(wú)界勢(shì)流中勻速運(yùn)動(dòng)的物體不受力。嚴(yán)格的理論結(jié)果，卻與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)和工程實(shí)際尖銳矛盾。Hinshelwood：“流體力學(xué)家分成水力學(xué)工程師和數(shù)學(xué)家兩派，前者觀察著解釋不了的現(xiàn)象，后者解釋著觀察不到的事物?！笨茖W(xué)家花了一個(gè)多世紀(jì)尋求解答19世紀(jì)主要進(jìn)展：粘性、水波、旋渦、不穩(wěn)定性、湍流（仍未能回答d’Alembert佯謬?。㎞ewton切應(yīng)力定律（1727）Navier-Stokes

方程N(yùn)avier

(1821),

Cauchy

(1822),

Poisson(1829),

Saint-Venent

(1837),

Stokes

(1845)2.

粘性：Stokes,

Sir

George

Gabriel(1819–1903)Navier,

Claude

Louis(1785-1836)Augustin-Louis

Cauchy

(1789-1857)Cauchy（1822）同時(shí)也建立了彈性理論，把彈性體和流體的力學(xué)合成連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，差別只在介質(zhì)變形對(duì)應(yīng)力的響應(yīng)。非線性水波理論：Stokes

（1847）3.

水波Gestner

波(1802)Russell

(1839):孤立波船波：William

Thomson(Lord

Kelvin,

1887)4.

旋渦Helmholtz(1858)：突破流動(dòng)只能是勢(shì)流的錯(cuò)誤觀點(diǎn)，首次研究有旋流動(dòng)，重新導(dǎo)出渦量方程，建立三個(gè)渦定理。Hermann

Helmholtz

(1821-1894)Tait’s

smoke

box

(1876)燃燒的蘆葦草叢上的旋風(fēng)（1872）W.Thomson(Kelvin1867):

環(huán)量守恒定理：理想流體，正壓，體積力有勢(shì)，Thomson,

William

(Lord

Kelvin)

(1824-1907)5.

流動(dòng)不穩(wěn)定性Stokes,

Kelvin,

Rayleigh,

…渦片（速度切向間斷面，包括水面）的存在和不穩(wěn)定性---Kelvin-Helmholtz不穩(wěn)定性Stokes

給Kelvin

的信所畫(huà)草圖（1858）平行剪切流的不穩(wěn)定性：Rayleigh

(1880)煙射流受到不同音階的聲波擾動(dòng)而失穩(wěn).Tyndall

(1867)1842-1919Rayleigh

方程6.

轉(zhuǎn)捩和湍流O.

Reynolds

(1883)Osborne

Reynolds(1842-1912)Reynolds

(1883)MACH,

Ernst

WaldfriedJoseph

Wenzel(1838–1916)7.

超聲速流與激波ErnstMach：首次在實(shí)驗(yàn)中觀察到激波（1886）Left:

Blunt-headed

projectiles

typically

reveal

a

double-layerstructure

of

the

head

wave.

Center

and

right:

In

the

caseof

a

projectile

with

guiding

rings,

vortices

are

alreadycreated

at

the

first

ring.

In

all

cases,

a

train

of

vortices

isfollowed

behind

the

projectile

stern.

These

vortices

produceadditional

aerodynamic

drag.

Mach

&

Salcher

(1889)Aerodynamicmodel

testing

was

partly

performed

at

theHypersonicShock

Tube

Facility

of

the

RWTH

Aachen.

The

Hermes

model

wasexposed

tovarious

hypersonic

flow

conditions,

here

shown

at

a

Machnumber

of

7.5

and

a

yaw

angle

of

30°.Rankine,

William

JohnMacquorn(1820–1872)Rankine

(1870)

-Hugoniot

(1887)激波前后物理量的關(guān)系Hugoniot,

Pierre-Henri(1851–1887)LAVAL,

Carl

GustafPatrik

DE

(1845–1913)Laval

噴管(1889)Riemann,

Georg

Friedrich

Bernhard(1826–1866)Riemann、Rayleigh對(duì)超聲速氣流的雙曲性方程數(shù)學(xué)理論有奠基貢獻(xiàn)激波來(lái)自聲傳播的非線性，后面的擾動(dòng)追上前面的而集聚成強(qiáng)間斷8.

邊界層Ludwig

Prandtl（1875-1953）邊界層理論(1904)：D’Alembert佯謬終告解決，流體力學(xué)成為完整的現(xiàn)代科學(xué)并開(kāi)創(chuàng)了現(xiàn)代空氣動(dòng)力學(xué)邊界層理論的嶄新構(gòu)造–比較Euler

方程和Navier-Stokes

方程：后者多一個(gè)二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，高一階，粘性系數(shù)極小。但丟掉這項(xiàng)就回到d’Alembert。用簡(jiǎn)單常微分方程看Prandtl發(fā)明的方法：(1)(2)(3)匹配漸進(jìn)展開(kāi)法。由此開(kāi)創(chuàng)奇異攝動(dòng)理論，成為20世紀(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的主要成就之一。從NS方程到邊界層方程（二維定常流）尺度分析：,邊界層及其分離Prandtl

（1905）盡管被F.Klein,

A.

Sommerfeld

等譽(yù)為那次大會(huì)的最佳論文，卻：相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間只在G?ttingen內(nèi)發(fā)展，英國(guó)尤其落后了。數(shù)學(xué)家不買賬：BL方程解的存在唯一性？其近似解的收斂性？BL方程和NS方程的準(zhǔn)確關(guān)系（甚至50年后也沒(méi)澄清）？奇異攝動(dòng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)？但BL理論的巨大成功應(yīng)用終于使其逐漸被廣為接受?！癙randtl的工作闡明，盡管空氣粘性極小，為什么各種典型物體形狀的真實(shí)繞流差別極大；但首要的是，它首次表明，對(duì)于特殊設(shè)計(jì)的物體形狀，其流場(chǎng)能很接近勢(shì)流——從而阻力即使非零也變得非常小?！薄斑@個(gè)發(fā)展實(shí)際上把d’Alembert

佯謬變成了d’Alembert

定理：” “如果能把繞一個(gè)穩(wěn)恒運(yùn)動(dòng)物體的流動(dòng)弄得很接近于勢(shì)流，則阻力也將同樣很接近于嚴(yán)格的勢(shì)流所施加的零力。”——

Lighthill

(1963，1995)“必須給予就這一個(gè)科學(xué)家LudwigPrandtl

以主要榮譽(yù)，他以其輝煌的發(fā)現(xiàn)解決了這些反常結(jié)果。的確，他1904年關(guān)于邊界層的革命性發(fā)現(xiàn)給流體力學(xué)帶來(lái)的轉(zhuǎn)變影響，正如Einstein

1905

年的發(fā)現(xiàn)對(duì)物理學(xué)其他部分的影響?！薄狶ighthill

(1995)Sir

James

Michael

Lighthill

(1924

–

1998)Prandtl是如何成功的？“Her

Heisenberg

曾經(jīng)斷定我能不做計(jì)算就看出方程有什么解。實(shí)際上我可沒(méi)這個(gè)本事，但我盡我所能，努力對(duì)構(gòu)成問(wèn)題基礎(chǔ)的事物形成最深入的直覺(jué)，并試圖理解有關(guān)過(guò)程。僅當(dāng)我認(rèn)為我已經(jīng)理解了事情之后，數(shù)學(xué)才進(jìn)來(lái)?！薄?/p>

Prandtl(1948)9.

機(jī)翼的升力和阻力升力的來(lái)源：整個(gè)航空科學(xué)的頭號(hào)問(wèn)題機(jī)翼定常飛行時(shí)升力的兩個(gè)特征：垂直于飛行方向，對(duì)流體不做功必須有足夠大的飛行速度（或來(lái)流速度）什么機(jī)制能產(chǎn)生這樣的力？阻力從何而來(lái)？環(huán)量理論Lanchester,

Kutta,

Joukowski,

PrandtlFrederick

W.

Lanchester

(1868-1946)Martin

Wilhelm

Kutta(1867-1944)Nikolai

EgorovichZhukovsky,

(1847–1921)Kutta-Joukowski

定理無(wú)粘、不可壓、二維定常翼型繞流環(huán)量Γ(順時(shí)針為正)由Kutta

條件決定,小攻角時(shí)Cl

=2，與實(shí)驗(yàn)極為符合Prandtl

&

Tietjiens

(1934):

Applied

Hydro-

and

Aeromechanics,§99.突然起動(dòng)到定常狀態(tài)機(jī)翼靜止起動(dòng)渦A

從后緣拖出，必有等值反號(hào)的渦留在機(jī)翼周圍的邊界層中A一個(gè)運(yùn)動(dòng)的翼剖面突然停止，暴露出旋渦的存在Prandtl

&

Tietjiens

(1934):

Applied

Hydro-

andAeromechanics,

§99.無(wú)粘、不可壓、三維定常翼型繞流：Prandtl(1918)

渦力公式在流場(chǎng)中每點(diǎn)，只有Lamb矢量具備升力的兩個(gè)特征。對(duì)二維流，其積分就是

KJ定理；對(duì)三維流，在線性近似下，其積分就是Prandtl升力線理論。Prandtl及其弟子在Lanchester工作的啟發(fā)下，在Kutta-Joukowski定理的基礎(chǔ)上，建立了三維機(jī)翼的升力線理論（完成于1918），使空氣動(dòng)力學(xué)成為科學(xué)。旋渦也出現(xiàn)于一個(gè)有限翼展機(jī)翼的兩端升力來(lái)源的小結(jié)：–流線型物體，邊界層不過(guò)早分離，層外是勢(shì)流–流體的粘性使其一薄層（邊界層）貼在機(jī)翼上，

其中有極強(qiáng)的剪切，如果機(jī)翼以恒定速度U

飛行,它的邊界層攜帶一個(gè)總強(qiáng)度（環(huán)量）為G

的旋渦。–邊界層內(nèi)的渦量是物面切向壓力梯度經(jīng)粘性搓出來(lái)的。–這個(gè)過(guò)程是流體運(yùn)動(dòng)脹壓過(guò)程與剪切過(guò)程在邊界耦合的典型表現(xiàn)，是機(jī)翼產(chǎn)生升力的基本物理機(jī)制。–流體運(yùn)動(dòng)基本過(guò)程及其分解耦合是理解流體運(yùn)動(dòng)物理機(jī)理的一把銳利的解剖刀。10.

流體力學(xué)發(fā)展史的特點(diǎn)流體力學(xué)是物理學(xué)唯一的理論，其早已建立的完美方程承諾能描述廣泛的流動(dòng)現(xiàn)象，但這個(gè)能力花了太長(zhǎng)的時(shí)間才得以兌現(xiàn)。與此相比，經(jīng)典力學(xué)、電動(dòng)力學(xué)和熱力學(xué)一旦建立就幾乎立即在相關(guān)領(lǐng)域得到應(yīng)用。物理學(xué)幾個(gè)領(lǐng)域的基礎(chǔ)遇到根本性挑戰(zhàn)而導(dǎo)致理論的重大突破與革命；流體力學(xué)則一直在應(yīng)對(duì)各種挑戰(zhàn)和佯謬中前進(jìn)。流體力學(xué)的特殊困難：無(wú)窮多自由度，高度非線性“Navier-Stokes

equation:Easy

for

Nature;Difficult

for

computer;Impossible

for

Human.

”

流動(dòng)易于失穩(wěn)，剝奪了幾個(gè)已知精確解的物理現(xiàn)實(shí)性轉(zhuǎn)捩和湍流第二部分1920年代以來(lái)的發(fā)展Prandtl領(lǐng)導(dǎo)的G?ttingen學(xué)派以其敏銳深刻的物理洞察力、實(shí)驗(yàn)和理論的緊密結(jié)合、基礎(chǔ)研究和應(yīng)用的緊密結(jié)合，領(lǐng)導(dǎo)了20世紀(jì)前

50年世界流體力學(xué)和空氣動(dòng)力學(xué)的發(fā)展，并由von

Kármán傳到美國(guó)，由陸世嘉、錢(qián)學(xué)森、郭永懷、羅時(shí)鈞、莊逢甘等傳到中國(guó)。KáRMáN,

Theodore

VON

(1881–1963)陸士嘉（1911-1986）：Prandtl

的唯一女弟子，全國(guó)第一個(gè)空氣動(dòng)力學(xué)專業(yè)(北航，1956）奠基人1.

分離流、鈍體擾流和渦街J.

D.

Anderson,

Jr.

Phys.

Today,

Dec.

2005邊界層分離及其控制Prandtl

(1905)分離流屬于復(fù)雜流動(dòng)，仍始于Prandtl(1904)Re

=28.4Re

=10,0002.

高速空氣動(dòng)力學(xué)高速飛行，脹壓過(guò)程－超聲速激波—起重要作用。Prandtl-Glauert

亞、超聲速相似律錢(qián)學(xué)森（1911-2009）Karman-Tsien高亞聲速相似律(Tsien

1939,

Karman

1941)Tsien：高超聲速(hypersonic)相似律Quart.Appl.

Math.

1,

130-147,1943，18頁(yè)用流函數(shù)求解郭永懷（1909-1968）Quart.Appl.

Math.

1943,

1,

273-275.

3頁(yè)用速度勢(shì)和解析函數(shù)求解。突破聲障阻力劇增示意圖Whitcomb的貢獻(xiàn)左：Whitcomb

在

NASA（當(dāng)時(shí)還叫

NACA）的

8

英尺告訴風(fēng)洞檢查用面積律設(shè)計(jì)的一個(gè)飛機(jī)模型 右：Whitcomb

在上課，講解面積律YF-102

戰(zhàn)斗機(jī)在用面積律修行之前（左）和之后（右）面積律在波音747上的應(yīng)用采用面積律的強(qiáng)5型強(qiáng)擊機(jī)殲-10戰(zhàn)斗機(jī)的蜂腰設(shè)計(jì)超臨界翼設(shè)計(jì)(a)

傳統(tǒng)翼型

(b)超臨界翼型A+C+D+壓力與無(wú)窮遠(yuǎn)處來(lái)流壓力近似。

B區(qū)為超音速區(qū)。超臨界翼的氣動(dòng)性能升力仍來(lái)自環(huán)量，只是超聲速以后被激波減??！–

算例:RAE

2822

超臨界翼型,Re

=6.5x106,??

=2.31°,Γ

隨Mach數(shù)的變化，RANS（朱金陽(yáng)2014）Ma=0.8，激波誘導(dǎo)邊界層分離三代航空流型（Küchemann

1978)3.

流動(dòng)不穩(wěn)定性O(shè)rr

(1907)-Summerfeld(1908)方程：在Rayleigh平行流穩(wěn)定性方程中加粘性H.

Heisenberg

(1923)G.

I.

Taylor

(1923)邊界層Tollmian-Schlichting

波林家翹解出O-S方程(1945)Orr-Summerfeld

方程O(píng)rr-Summerfeld方程W.Heisenberg(1901-1976)在慕尼黑大學(xué)Summerfeld指導(dǎo)下的博士論文是求解Orr-Summerfeld方程（1923）。他只找到這個(gè)4階常微分方程的兩個(gè)近似解而未完全成功。答辯不順利，他完全轉(zhuǎn)向量子物理理論。Blasius

邊界層的穩(wěn)定性邊界（正則模態(tài)理論）Tollmian

(1929)

&Schlichting(1933)解T-S方程得到穩(wěn)定性邊界Schubauer

&Skramstad(1943)實(shí)驗(yàn)證實(shí)Taylor,

Sir

Geoffrey

Ingram(1886–1975)現(xiàn)代經(jīng)典物理學(xué)的全才Taylor-Proudman

旋轉(zhuǎn)流體定理（1923）核爆炸標(biāo)度律蛇游動(dòng)原理電磁流體力學(xué)…湍流旋轉(zhuǎn)圓筒間流動(dòng)的不穩(wěn)定性（1923）第一個(gè)成功得到實(shí)驗(yàn)定量證實(shí)的穩(wěn)定性理論林家翹（1916-）在1945年首次用漸進(jìn)方法完全澄清O-S方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)。以后成為應(yīng)用數(shù)學(xué)之父邊界層失穩(wěn)形成的Tollmian-Schilichting波4.

氣動(dòng)聲學(xué)Mach

wave

radiation

from

a

jet

at

M

=1.92,

Re=2000

(DNS,

2-D

slice)Vorticesarethe

voice

of

fluid—

E.

A.

M?ller

&

F.

Obermeier氣動(dòng)聲學(xué):渦與湍流發(fā)聲(Lighthill

1952)–其他貢獻(xiàn)：高速空氣動(dòng)力學(xué)；非線性波；邊界層與渦動(dòng)力學(xué)；生物流體力學(xué)；地球流體力學(xué)5.

生物流體力學(xué)T.

Y.

Wu

(2010),

Ann.

Rev.

Fluid

Mech.基于沖量的全非線性二維無(wú)粘理論(Wu

2007)吳耀祖Theodore

Yaotsu

Wu（1924

-

）拓廣的沖量理論和粘性渦環(huán)理論結(jié)合6.

湍流Heisenberg想問(wèn)上帝兩個(gè)問(wèn)題：一個(gè)是為什么廣義相對(duì)論如此奇怪？另一個(gè)是您怎樣解釋湍流？他說(shuō)他確信上帝知道第一個(gè)問(wèn)題的答案。SirH.Lamb:“我現(xiàn)在是老頭子了，當(dāng)我臨死見(jiàn)上帝時(shí)希望能看到兩件事得到澄清。一個(gè)是量子電動(dòng)力學(xué)，另一個(gè)是湍流。我對(duì)前者是樂(lè)觀的?！盧.

Feymann:

湍流是宏觀物理學(xué)最后的難題。難在極多尺度、高度非線性、混沌。但基本的機(jī)理業(yè)已澄清。19世紀(jì)的問(wèn)題拿到21世紀(jì)解決。分離－失穩(wěn)－轉(zhuǎn)捩－湍流20世紀(jì)前半期的湍流研究首先由Prandtl領(lǐng)軍，隨后為：von

Karman(美)G.I.

Taylor(英)A.

Kolmogorov(蘇)周培源（中）PRANDTL,

Ludwig

(1875–1953)Prandtl

(1925):

湍流混合長(zhǎng)Therdore

von

Karman

(1881-1963)von

Karman

（1930）：湍流壁面律湍流由相互作用的、混沌分布的不同尺度渦團(tuán)（eddies）構(gòu)成，也是在剪切過(guò)程中搓出來(lái)的。湍流級(jí)串過(guò)程（Richardson

1922)：大旋渦以其自身的動(dòng)能把小旋渦哺育，小旋渦又照此養(yǎng)活兒女。如此代代相傳輾轉(zhuǎn)傳遞，最后耗散在粘滯里。中科大任恒：渦環(huán)與平板相互作用的大渦模擬研究三維渦結(jié)構(gòu)的演化Q準(zhǔn)則標(biāo)識(shí)的三維渦結(jié)構(gòu)(Q=2)二次渦Sir

Geoffrey

Ingram

Taylor(1886-1975)湍流脈動(dòng)速度關(guān)聯(lián)函數(shù)分析不愛(ài)教書(shū)，培養(yǎng)了兩個(gè)博士Batchelor

（1952）：均勻各向同性湍流理論Andrei

Kolmogorov

(1903-1987)K41

假設(shè)：當(dāng)Re 1，小尺度湍流在統(tǒng)計(jì)上各向同性；小尺度統(tǒng)計(jì)規(guī)律是普適的，由粘性系數(shù)ν和耗散ε

唯一地決定。Kolmogorov湍流微尺度：假設(shè)：3.在含能區(qū)的大尺度L和耗散區(qū)的微尺度

η之間的尺度r，η

<<

r

<<

L

（慣性區(qū)）,

湍流統(tǒng)計(jì)行為普適地、唯一地決定于

r

和ε

。Kolmogorov-5/3標(biāo)度律：發(fā)現(xiàn)湍流間歇性之后，1962年提出需要修改。SL-94周培源（1902-1993）1924-清華畢業(yè)。1926年在芝加哥大學(xué)獲學(xué)士、碩士。

1928年在Caltech做相對(duì)論研究，獲博士。遂赴萊比錫大學(xué)師從Hensenberg，1929年赴蘇黎世聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)師從

Pauli，研究理論物理。1929任清華大學(xué)物理系教授。

1936-37年到Princeton隨Eeinstein,

1939年轉(zhuǎn)向湍流研究。1945年論文奠定了現(xiàn)代湍流模式理論的基礎(chǔ)。湍流模式理論成為用CFD模擬湍流的關(guān)鍵。用CFD模擬湍流的發(fā)展階段LES

of

compressible

turbulent

flowsGallery

of

Fluid

Motion

Obtained

byProf.

X.Y.

Lu’s

Grouptransonic

flow

past

an

airfoiltransonic

flow

past

a

wavy

cylindersupersonic

flow

past

anhemispherical

nosewith

a

jettransonic

flow

past

aspheretransverse

jet

into

asupersonic

cross-flowsupersonicturbulent

BLhypersonic

shock-shock

interferenceMulti-scale

eddies

near

the

wall

in

supersonicboundary

layer

（Prof.

X.Y.

Lu）168t

=

100t

=

100t

=

106t

=

106t

=

112t

=

112t

=

116t

=

116槽道流拉格朗日物質(zhì)曲面演化(h

=0.3δ，對(duì)數(shù)區(qū))趙耀民楊越

2014每側(cè)8倍放大這些展示的是由在周期盒子內(nèi)不可壓縮湍流的直接數(shù)值模擬得到的渦量場(chǎng)快照，格點(diǎn)數(shù)為2048^3，在地球模擬器(最大的平行計(jì)算機(jī)，運(yùn)算時(shí)Rl

=732)上運(yùn)算的，等值面由|ω|=ω+4σ定義.Kaneda,

Ishihara,

Yokokawa,

Itakura,

Uno

(2003):PhysicsofFluids15,

pp.L21-L24512^3.

Brown:

dilatation,

Gray:

vertical

structures均勻各向同性超聲速湍