浙江省溫州市十五校聯(lián)合體高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2021學(xué)年第二學(xué)期溫州十五校聯(lián)合體期末聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)試卷一?選擇題（本大題共8小題，每題5分共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)符合題目要求，不選，多選，錯(cuò)選均不得分）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合Q，再求.【詳解】集合.因?yàn)?，所?故選：A2.設(shè)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先對復(fù)數(shù)化簡，從而可求出其共軛復(fù)數(shù)，進(jìn)而可求出其虛部【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部為，故選：C3.已知a，b是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式及兩個(gè)條件的推出關(guān)系可得正確的選項(xiàng).【詳解】若，則，故，取，則成立，但，故推不出，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A.4.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的正負(fù)，可得，從而求出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?故選：D5.我市某三甲醫(yī)院為了響應(yīng)防疫政策，需要從4名內(nèi)科醫(yī)師和4名外科醫(yī)生中派選4名醫(yī)生到高速路口進(jìn)行核酸檢測工作，則派選內(nèi)科醫(yī)生人數(shù)不少于外科醫(yī)生的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用組合表示出從8名外科醫(yī)生中派選4名醫(yī)生的種數(shù)以及派選內(nèi)科醫(yī)生人數(shù)不少于外科醫(yī)生的種數(shù)，利用古典概型求概率.【詳解】從需要從4名內(nèi)科醫(yī)師和4名外科醫(yī)生中派選4名醫(yī)生有種；其中內(nèi)科醫(yī)生人數(shù)不少于外科醫(yī)生包括2名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生，3名內(nèi)科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生，4名內(nèi)科醫(yī)生和0名外科醫(yī)生三種情況，有：種.所以派選內(nèi)科醫(yī)生人數(shù)不少于外科醫(yī)生的概率為.故選：C6.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇偶性，在y軸附近時(shí)的單調(diào)性和在x=-4處的函數(shù)值可以判斷.【詳解】顯然是非奇非偶函數(shù)，排除C，當(dāng)時(shí)，，令，則，是單調(diào)遞減的，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)單調(diào)遞減的，排除A，，，，，，排除D，故選：B.7.若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】對t分類討論，，，不合題意，舍去；時(shí)求出，直接解方程求出.【詳解】若時(shí)，方程無解，不合題意，舍去；若時(shí)，方程，所以.因?yàn)?，所以方程有兩解，不合題意，舍去；若時(shí)，方程等價(jià)于或.即或.因?yàn)椋?，所以與共有3個(gè)實(shí)數(shù)根.又有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，，解得：.所以或解得：（舍去），或.因?yàn)?，所?所以可化為：，解得：；可化為：，解得：.所以.故選：A8.如圖，在正四面體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），，記二面角的大小為，在點(diǎn)F從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，下列結(jié)論正確的是（）A.一直增大 B.一直減小 C.先增大后減小 D.先減小后增大【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正四面體幾何特征,作出二面角的平面角,再根據(jù)平面角的正切值的表達(dá)式得出θ的取值情況.【詳解】過P作PO⊥面ABC于O,則OP⊥EF.過O作OM⊥EF于點(diǎn)M.因?yàn)椋悦鍻PM.連接PM,則∠PMO為二面角P-EF-B的平面角,即.當(dāng)點(diǎn)F從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，,OM先變大后變小.所以.因?yàn)镻O不變,∴先變小后變大.故選：D二?多選題（本題共4大題，每題5分，共20分，每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得3分，有錯(cuò)選得0分）9.下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，，為偶函?shù).當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，符合題意.B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，為減函數(shù)，不符合題意.C選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，，為奇函?shù)，不符合題意.D選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，，為偶函?shù).當(dāng)時(shí)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知：為增函數(shù)，符合題意.故選：AD10.在三棱錐中，頂點(diǎn)A在底面射影為O，則下面說法正確的是（）A.若O為的外心，則.B.若O為的內(nèi)心，則三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角都相等.C.若O為的垂心，則B在對面的射影是垂心.D.若O為的重心，則三個(gè)側(cè)面面積相等.【答案】ABC【解析】【分析】對于A，由條件可推得，判斷；對于B，作輔助線，找出側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，根據(jù)條件可推出三個(gè)角相等；對于C，利用線面垂直的判定證明線線垂直，可進(jìn)行判斷；對于D，利用條件說明O為的重心時(shí)，三個(gè)側(cè)面的面積關(guān)系不確定，進(jìn)行判斷.【詳解】如圖，若O為的外心，則,則,故，A正確；若O為的內(nèi)心，則設(shè)OE,OF,OG分別垂直于BC,CD,BD，則，連接AE,AF,AG,則,故,由底面BCD，可知，,同理，即分別為三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，由可知三個(gè)側(cè)面與底面所成的二面角相等，B正確；若O為的垂心，則連接BO并延長交CD于F,連接AF,則,于是平面ABF,故,而平面ACD,故平面ABF平面ACD,故則B在對面的射影P落在平面ABF和平面ACD的交線AF上，連接DP并延長交AC于H,仿同理可證,而,可得平面BPD,則,即P點(diǎn)為的高AF,DH的交點(diǎn)，即B在對面的射影是垂心，故C正確；當(dāng)O為的重心時(shí)，連接DO,BO,CO并延長交BC,CD,BD于E,F,G點(diǎn)，則E,F,G分別為BC,CD,BD的中點(diǎn)，與BC,CD,BD的長度無關(guān)，因此三個(gè)側(cè)面面積之間的關(guān)系不確定，故D錯(cuò)誤，故選：ABC11.在中，角A?B?C所對的邊分別為a?b?c，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則B的最大值為D.若，則B的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對于A：取特殊的直角三角形ABC，其中,否定選項(xiàng)A;對于B：由在上單調(diào)遞減，得到，利用二倍角的余弦公式即可求得；對于C、D：利用余弦定理和基本不等式求出B的最大值為.【詳解】對于A：取特殊的直角三角形ABC，其中,滿足，但是.故A錯(cuò)誤；對于B：在中，因?yàn)?，所?所以.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，所以，所以，所以.故B正確；對于C：在中，因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼茫?，（?dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號）.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以,即B的最大值為.故C正確；對于D：在中，因?yàn)?，所以由余弦定理得：，（?dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號）.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以,即B的最大值為.故D正確.故選：BCD12.已知，若存在，使得，，滿足，則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】設(shè)，.先判斷出點(diǎn)P、Q在直線AB上，得到夾角為.由，得到.設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為h，過O作AB的垂線，垂足為H.設(shè)，,得到.設(shè)，求出，得到：.把表示為，求出.對照四個(gè)選項(xiàng)，得到正確答案.【詳解】設(shè)，.因?yàn)椋渣c(diǎn)P、Q在直線AB上.因?yàn)?，所以，即夾角為.因?yàn)椋?設(shè)點(diǎn)O到直線AB距離為h，過O作AB的垂線，垂足為H.設(shè)，,則.設(shè)，因?yàn)椋?所以.因?yàn)?，所以，所以，所以，即，解得：，所?因?yàn)?，所?對照四個(gè)選項(xiàng)，，，，.故的值可以是CD.故選：CD三?填空題（本大題共4小題，每題5分共20分）13.已知冪函數(shù)在為減函數(shù)，則___________.【答案】【解析】【分析】先利用冪函數(shù)的性質(zhì)求出，即可求出.【詳解】冪函數(shù)，所以，解得：或.當(dāng)時(shí)，為R上的增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為R上的減函數(shù).所以，所以.故答案為：.14.在三棱錐中，垂直底面，，，若三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則此三棱錐的側(cè)面積為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)三棱錐內(nèi)切球圓心為，以為頂點(diǎn)將三棱錐分為四個(gè)小三棱錐，通過三棱錐體積不變即可求出三棱錐的表面積進(jìn)而可求得三棱錐的側(cè)面積.【詳解】設(shè)三棱錐內(nèi)切球圓心為，以為頂點(diǎn)將三棱錐分為四個(gè)小三棱錐，則三棱錐的體積，垂直底面，三棱錐的體積，則通過三棱錐體積不變可知，.故答案為：.15.在中，，則長為___________.【答案】2或【解析】【分析】由三角形面積可求得或，進(jìn)而求得BC以及的值，由確定BD的長，再根據(jù)勾股定義或余弦定理求得答案.【詳解】由題意得，故，由于，故或，當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)?，故而，因?yàn)?，，則；當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)椋?，而，故，故答案為?或16.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，求m的取值范圍___________.【答案】【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，設(shè)，分情況討論有2根和3根的情況，再分析的取值范圍情況即可【詳解】畫出如圖所示，最左端縱坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，有，解得；，解得.設(shè)，若有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則①若有2個(gè)解，則但有2個(gè)解時(shí)，此時(shí)顯然，不滿足；②若有3個(gè)解，則，設(shè)，則，故，，，即，，，此時(shí)因?yàn)閯t必有2根，必有1根，則必須有3根，故，則，故，故故答案為：四?解答題（本大題共6小題，共0分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù).（1）求求函數(shù)的最小正周期及對稱中心.（2）求函數(shù)在值域.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由三角恒等變換可得正弦型三角函數(shù)，據(jù)此求周期、對稱中心即可；（2）利用整體代換法求正弦函數(shù)的值域即可.【小問1詳解】所以函數(shù)的最小正周期為，令，解得∴的對稱中心是【小問2詳解】令由，則，則，所以的值域是.18.如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)O?M分別是?的中點(diǎn)，底面.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，從而證明，證明，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）解法一，求得點(diǎn)A到面的距離就是點(diǎn)B到面的距離，根據(jù)線面角的定義即可求得答案;解法二，利用等體積法求得點(diǎn)A到面的高為h，根據(jù)根據(jù)線面角的定義即可求得答案;解法三，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】證明：連接OB,由,O為AC的中點(diǎn)，得，又底面，故,∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，∴,又∵，∴,，故平面.【小問2詳解】解法一：由（1）知平面,且,又，面,平面，∴面，則點(diǎn)A到面的距離就是點(diǎn)B到面的距離.設(shè)直線與平面所成角為，，∴與面所成的角的正弦值為，故與面所成的角的大小為.解法二：設(shè)點(diǎn)A到面的高為h，而,由得，則，設(shè)直線與平面所成角為，，∴與面所成的角的正弦值為，即所成的角的大小為.解法三：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B,OC,OS分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,則,由（1）可知為平面SOM的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，，則,故，即直線與平面所成角為.19.北京2022年冬奧會吉祥物冰墩墩，作為北京冬奧會當(dāng)之無愧的“頂流”，熱度一直未減.自2022年冬奧會開始，一系列冰墩墩特許商品新品開始發(fā)售.根據(jù)百度網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)：2022年1月28日至2022年2月22日購買冰墩墩人群分布圖如下圖.（1）求出頻率分布直方圖中購買者年齡的眾數(shù)?平均數(shù)；（近似到個(gè)位數(shù)）（2）若將年齡分別記為A組?B組?C組，用隨機(jī)抽樣的方法從這些人中抽取3人，求這三個(gè)人中至少2人在A組的概率.【答案】（1）眾數(shù)，平均數(shù)歲（2）【解析】【分析】（1）由頻率分直方圖可直接求得眾數(shù)，按照平均數(shù)的估計(jì)方法可求得平均數(shù)；（2）求出隨機(jī)抽取1人，則該人來自A組的概率，再根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式即可求得答案.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為；平均數(shù)為（歲）.【小問2詳解】由圖可知A組?B組?C組的頻率分別為，則隨機(jī)抽取1人，則該人來自A組的概率為，故用隨機(jī)抽樣的方法從這些人中抽取3人，這三個(gè)人中至少2人在A組的概率為.20.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若___________.（1）求角B；（2）若，點(diǎn)D在外接圓上運(yùn)動，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理及三角變換公式可得三個(gè)條件下均有.（2）利用數(shù)量積的定義可求的最大值.【小問1詳解】選①，由正弦定理得，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴.選②，∵，，由正弦定理可得，，∴，∵，∴.選③，，由已知結(jié)合正弦定理可得，∴，∴，∵，∴.【小問2詳解】，根據(jù)余弦定理，∴，∴外接圓的直徑，過作，垂足為，而，若取到最大值，則取最大值，故可設(shè)為銳角，故此時(shí)，當(dāng)取最大值時(shí)，與圓相切且在的延長線上（如圖所示），設(shè)此時(shí)切點(diǎn)為，垂足為，取的中點(diǎn)E，外接圓圓心為O，連接，，則且，故四邊形為矩形，故，故，∴.21.在矩形中，，E為線段的中點(diǎn)，將沿直線翻折成，M為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）當(dāng)平面平面，求平面和平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)F，連接，可證，從而可證平面.（2）取的中點(diǎn)O，連接，取的中點(diǎn)H，過H作于G，連接，可得就是二面角的平面角，利用解直角三角形可求二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)F，連接，則,而，故，而，故，故四邊形為平行四邊形，所以，而平面，平面，故平面【小問2詳解】取的中點(diǎn)O，連接，取的中點(diǎn)H，則，，因?yàn)榍褽為線段的中點(diǎn)，故即，而，故，而平面平面，平面平面，平面，則面，又，故面，因?yàn)槊妫?，過H作于G，連接，同理.因?yàn)槠矫?，故面，而面，故，則就是二面角的平面角.設(shè)，則，而，故，同理.故為等腰