廣州市番禺區(qū)廣東第二師范學院番禺附中高二上學期期末考試數(shù)學試題含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精二師附中2019—2020學年第一學期高二級期末測試數(shù)學一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，滿分60分）1.橢圓的離心率為()A. B. C。 D。【答案】B【解析】分析】由橢圓方程得到的值，然后由求得的值，進而求得離心率?！驹斀狻扛鶕?jù)橢圓標準方程，得，故,所以橢圓的離心率為.故選B.【點睛】本小題主要考查根據(jù)橢圓的標準方程寫出,根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求離心率，屬于基礎題。2.在等差數(shù)列中，若，則（）A.2 B.4C。6 D.8【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得到，得到答案。【詳解】據(jù)已知得：，所以,故選B【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎的計算題．3。已知，，則是的（）A。充分不必要條件 B。必要不充分條件C。充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】將命題轉(zhuǎn)化為集合和，再根據(jù)集合A與B之間的包含關系以及充分必要條件的定義可得?！驹斀狻吭O命題:對應的集合為,命題：對應的集合為,因為AB,所以命題是命題的充分不必要條件.故選A.【點睛】本題考查了充分必要條件,解題關鍵是將命題之間的關系轉(zhuǎn)化為集合之間的關系，屬基礎題.4。已知向量，，且與互相垂直,則的值是(）A.-1 B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直數(shù)量積為0的性質(zhì)求解．【詳解】∵向量(1，1，0）,（﹣1，0，2），∴k（k,k，0）+(﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2)，2（2,2，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2，2），∵k和2互相垂直，∴（k）?(2）＝解得k．故選D．【點睛】本題考查向量垂直時實數(shù)的值的求法,解題時要認真審題，是基礎題．5。已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為1，則漸近線方程是A。 B。 C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】先求出雙曲線的漸近線方程，然后利用點到直線距離公式，得到關于的方程，結(jié)合，解方程求出，最后確定雙曲線的漸近線方程,選出正確答案.【詳解】根據(jù)雙曲線的對稱性，可設雙曲線的一個焦點坐標為，一條漸近線方程為:,由題意可知：而，所以，因此雙曲線方程為：,故本題選D?！军c睛】本題考查了雙曲線漸近線方程的求法，考查了點到直線距離公式的應用，考查了數(shù)學運算能力。6.若等差數(shù)列的首項為1，公差為1，等比數(shù)列的首項為-1，公比為-2，則數(shù)列的前8項和為（）A.—49 B.—219 C。121 D。291【答案】C【解析】【分析】先記等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為,根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】因為等差數(shù)列的首項為1，公差為1，等比數(shù)列的首項為-1,公比為-2，記等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的前8項和為。故選C【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟記分組求和的方法，以及等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可，屬于?？碱}型。7.如圖所示,在長方體中，為與的交點．若，,，則下列向量中與相等的向量是(）A. B. C。 D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】連接，交于點,，代入整理即可【詳解】由題，連接，交于點，則故選A【點睛】本題考查向量的線性運算,考查空間向量，屬于基礎題8.如圖，在正方體中，為線段的中點，則異面直線與所成角的大小為(）A。 B. C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】作出異面直線所成的角,解直角三角形求得異面直線所成角的大小.【詳解】設是與的交點，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知平面，則，所以是異面直線與所成的角.設正方體的邊長為，則，，所以在中,所以.故選：B【點睛】本小題主要考查異面直線所成角的大小的求法,屬于基礎題.9。若等差數(shù)列的前n項和有最大值,且，那么取正值時項數(shù)n的最大值為（)A。15 B。17 C。19 D.21【答案】C【解析】【分析】由題意知，有最大值，得，利用，可得,且，再利用求和公式與數(shù)列的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：由題意值，有最大值，所以，因為，可得，且，所以，則，又,所以，，又，所以為最小正值．故選C．【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式及其單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題．10.已知命題“"，命題“”.若命題“”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（)A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題可知“”是真命題，則分別需要使兩個命題為真,解出對應的，再求交集即可【詳解】對于命題,在為增函數(shù)，則對于命題,即，解得，答案選C.11.在直角坐標系中，設為雙曲線：的右焦點，為雙曲線的右支上一點,且△為正三角形，則雙曲線的離心率為A. B。 C。 D?！敬鸢浮緼【解析】由題意易知：，代入雙曲線方程得：∴,∴,即，又∴故選A點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式,再根據(jù)a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.12.如圖,正方體的棱長為，動點、在棱上，動點,分別在棱,上，若,，,（，,大于零），則四面體的體積（）．A。與，，都有關 B。與有關，與，無關C。與有關，與，無關 D。與有關，與，無關【答案】D【解析】如圖：在棱上,在棱上，,所以的高為定值，又為定值，所以的面積為定值,四面體的體積與點到平面的距離有關,即與的大小有關,故選．點睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略（1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解．(2）若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)．13.命題：，,則為______.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題的知識，寫出原命題的否定.【詳解】原命題是全稱命題，其否定為特稱命題，注意到要否定結(jié)論，故為：,.故答案為:，.【點睛】本小題主要考查全稱命題的否定,屬于基礎題。14.拋物線的焦點坐標是___________．【答案】【解析】【分析】將拋物線方程轉(zhuǎn)化為標準形式，由此求得拋物線的焦點坐標?！驹斀狻坑傻?，所以拋物線的焦點在軸上，且，所以拋物線的焦點坐標為.故答案為：【點睛】本小題主要考查拋物線焦點坐標的求法，屬于基礎題.15.設點的坐標為，點在拋物線上移動，到直線的距離為，則的最小值為__________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義可知，當三點共線時，取得最小值，由此求得這個最小值.【詳解】拋物線的焦點為，根據(jù)拋物線的定義可知，，所以當三點共線時，取得最小值，最小值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查拋物線定義，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.16.五位同學圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：①第一位同學首次報出的數(shù)為1，第二位同學首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學所報出的數(shù)都是前兩位同學所報出的數(shù)之和；②若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學需拍手一次．已知甲同學第一個報數(shù),當五位同學依序循環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學拍手的總次數(shù)為________．【答案】5【解析】解：設第n個數(shù)為，則有．由遞推公式可得,當報到第4k（）個數(shù)的時候，恰好是3的倍數(shù)，當k取4，9，14,19,24時，甲同學拍手一次,共5次．三、解答題(本大題共6小題，滿分70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．17.已知雙曲線的離心率等于，且與橢圓：有公共焦點，（1)求雙曲線的方程；（2）若拋物線的焦點到準線的距離等于橢圓的焦距,求該拋物線方程?！敬鸢浮浚?）（2)或【解析】【分析】（1）由橢圓的方程可得的值及焦點的位置，結(jié)合離心率的值可得的值，最后得,進而可得雙曲線的方程；（2)由橢圓的焦距可得的值,進而可得拋物線的方程.【詳解】解：（1）由橢圓:得，焦點在軸上，,∴，所以雙曲線方程為。（2）∵橢圓：的焦距為，∴，拋物線方程為,【點睛】本題主要考查了由求雙曲線的方程以及拋物線方程的求法，屬于基礎題。18。已知等差數(shù)列滿足：，與的等差中項為13.的前項和為.（1)求以及；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），(2)【解析】【分析】（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式列方程組,解方程組求得，由此求得和.（2）利用裂項求和法求得.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公比為，由得,∴,。（2）由題意可得，∴.【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算，考查等差中項的知識，考查裂項求和法，屬于中檔題.19。已知數(shù)列的前項和為,點在直線上，（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】⑴由點在直線上代入得到的關系，然后求出通項公式⑵由(1）得,運用錯位相減法求出前項和【詳解】(1）點在直線上，，.當時，則，當時,，兩式相減，得，所以。所以是以首項為,公比為等比數(shù)列，所以.（2），，兩式相減得:，所以?！军c睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式的運用,錯位相減求和的運用，解題的關鍵是理解各個概念以及掌握求和的基本步驟．20.如圖，直三棱柱中，,分別是，的中點，。（1）證明：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位線，結(jié)合線面平行的判定定理，證得平面。（2）建立空間直角坐標系,利用直線的方向向量和平面的法向量，計算出線面角的正弦值,進而求得其余弦值.【詳解】(1)連結(jié)，交于點,連結(jié),則為的中點，因為為的中點,所以，又因為平面，平面，所以平面;（2)由可設:，則，所以，又因為直棱柱，所以以點為坐標原點，分別以直線、、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系如圖，則、、、，,，，設平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個法向量為，設直線與平面所成角為，則，所以，所以直線與平面所成角的余弦值為．【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查空間向量法計算線面角的余弦值，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題。21。如圖，在直角梯形中，，點是中點，且，現(xiàn)將三角形沿折起，使點到達點的位置,且與平面所成的角為.（1）求證：平面平面;（2)求二面角的余弦值?！敬鸢浮浚?）見解析；（2)?！窘馕觥俊痉治觥浚?）可證平面，從而可證平面平面。（2)以為坐標原點，過點與平行的直線為軸,所在的直線軸所在的直線為軸建立空間直角坐標系,求出平面和平面的法向量后可求二面角的余弦值.【詳解】(1）證明:在平面中，為沿折起得到，平面，又平面平面平面（2)解:在平面中,由（1）知平面平面而平面故。由與平面所成的角為，得,為等腰直角三角形，，，又,得,，故為等邊三角形，取的中點，連結(jié)，平面,以為坐標原點,過點與平行的直線為軸，所在的直線軸所在的直線為軸建立空間直角坐標系如圖，則從而，設平面的一個法向量為,平面的一個法向量為,則由得,令得，由得，令得,所以，設二面角的大小為，則為鈍角且，即二面角的余弦值為【點睛】面面垂直的證明可以通過線面垂直得到,也可以通過證明二面角是直二面角.空間中的角的計算，可以建立空間直角坐標系把角的計算歸結(jié)為向量的夾角的計算,也可以構(gòu)建空間角，把角的計算歸結(jié)平面圖形中的角的計算.22.已知橢圓的兩焦點為，，且過點，直線交曲線于，兩點，為坐標原點．（1）求橢圓的標準方程;（2）若不過點且不平行于坐標軸，記線段的中點為，求證：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（3）若直線過點，求面積最大值，以及取最大值時直線的方程．【答案】(1)（2)見解析（3）最大值.【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點求得，結(jié)合點坐標列方程組，解方程組求得，進而求得橢圓的標準方程.（2)設出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理,由此計算出為定值.（3）設出直線的方程,聯(lián)立直線的