甘肅省張掖市名校2023屆高三下學(xué)期3月六調(diào)理科數(shù)學(xué)試卷含答案

甘肅省張掖市名校2023屆高三下學(xué)期3月六調(diào)理科數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、已知集合A={x|2vx<5},B=|x|log3x>l},則A.B=()

A.(3,5)B.(2,5)C.(2,+oo)D.(0,5)

2、已知復(fù)數(shù)z滿足與一=2,則|z|=()

Z-l-1

A.GB.V5C.3D.5

3、數(shù)列{/}表示第〃天午時(shí)某種細(xì)菌的數(shù)量.細(xì)菌在理想條件下第〃天的日增長率

10.6(eN*].當(dāng)這種細(xì)菌在實(shí)際條件下生長時(shí)，其日增長率4會發(fā)生

I%)

變化.如圖描述了細(xì)菌在理想和實(shí)際兩種狀態(tài)下細(xì)菌數(shù)量。隨時(shí)間的變化規(guī)律.對這種

細(xì)菌在實(shí)際條件下日增長率的規(guī)律描述正確的是()

4、將函數(shù)/(x)=2sin2x的圖象向左平移°(0>0)個(gè)單位長度后，所得函數(shù)圖象如圖所

示，則(p的最小值為()

A.—B.-C.—D.—

126126

5、已知A,8為圓C:/+y2一2x—4y+3=o上的兩個(gè)動點(diǎn)，P為弦AB的中點(diǎn).若

NACB=90。，則點(diǎn)尸的軌跡方程為()

A.(x-+(y-2)2=!B.(x-l)2+(y-2>=1

4

C.(X+1)2+(J+2)2=-D.(x+l)2+(y+2/=1

4

6、已知sin2a—機(jī)cos2a=+&兀/￡z],貝ijtan(：-aj=()

A.---B.—C.一mD./TZ

mm

2

7、若橢圓￡/+-2_7=1(0</〃<1)上存在點(diǎn)p,滿足|0P|="(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，則E

的離心率的取值范圍為()

A.fo,-1BJL]C.fo,—D.—,1

I2」12}[2[[2J

8、已知定義在R上的函數(shù)/(x)在區(qū)間[T,+oo)上單調(diào)遞增，若/(2)=0,且函數(shù)

/(x-l)為偶函數(shù)，則不等式4(x)>0的解集為()

A.(2,+oo)B.(-4,-1)_(0收)C.(-4,+oo)D.(-4,0)(2,-H?)

22

9、已知雙曲線C:二-與=1(?！?,6〉0)的右焦點(diǎn)為R以O(shè)F(。為坐標(biāo)原點(diǎn))為直徑的

ab

圓與。的漸近線分別交于A,B兩點(diǎn)(異于點(diǎn)O).若|AB|=當(dāng)“，則。的離心率為()

A.V3B.2C.V5D.V6

10、某校計(jì)劃舉辦冬季運(yùn)動會，并在全校師生中征集此次運(yùn)動會的會徽.某學(xué)生設(shè)計(jì)的

《冬日雪花》脫穎而出，它的設(shè)計(jì)靈感來自三個(gè)全等的矩形的折疊拼湊.已知其中一塊

矩形材料如圖①所示，將△38沿8。折疊，折疊后8C交A。于點(diǎn)E,BD=、cm,

cosN5EO=-3.現(xiàn)需要對會徽的六個(gè)直角三角形（圖②陰影部分）上色，則上色部分的

面積為（）

A.—cmB.-cmC.-cm

445

11＞若直線y=2x與曲線y=alnx+2相切，貝1Ja=（）

12、已知正方體ABC。-AgG。的棱長為1,P是空間中任意一點(diǎn)，下列命題正確的

個(gè)數(shù)是（）

①若P為棱CG的中點(diǎn)，則異面直線AP與C。所成角的正切值為手；

②若P在線段上運(yùn)動，則AP+P2的最小值為近譽(yù)；

③若尸在半圓弧。。上運(yùn)動，當(dāng)三棱錐P-ABC的體積最大時(shí)，三棱錐P-A3C外接

球的表面積為2兀；

④若過點(diǎn)P的平面a與正方體每條棱所成角相等，則a截此正方體所得截面面積的

最大值為迪.

4

A.lB.2C.3D.4

二、填空題

13、設(shè)向量a=(x,3),=2-x),若a,5的方向相反，則》=.

14、已知樣本數(shù)據(jù)%，々，…，Z的平均數(shù)］與方差52滿足如下關(guān)系式：

…，%的平均數(shù)為6,方差

為9,現(xiàn)從原15個(gè)數(shù)中剔除x，%,七，%,匕這5個(gè)數(shù)，且剔除的這5個(gè)數(shù)的平均

數(shù)為8,方差為5,則剩余的10個(gè)數(shù)4,毛，…，小的方差為.

15、已知圓臺的下底面半徑是上底面半徑的2倍，其側(cè)面展開圖是一個(gè)面積為6兀的半

圓環(huán)，則該圓臺的高為.

16>若對于Vx>l,不等式aln(6)<2xlnx恒成立，則a的最大值為.

三、解答題

17、自《“健康中國2030”規(guī)劃綱要》頒布實(shí)施以來，越來越多的市民加入到綠色運(yùn)

動“健步走”行列，以提高自身的健康水平與身體素質(zhì).某調(diào)查小組為了解本市不同年

齡段的市民在一周內(nèi)健步走的情況，在市民中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行調(diào)查，部分結(jié)果

如下表所示，其中一周內(nèi)健步走少于5萬步的人數(shù)占樣本總數(shù)的』，45歲以上(含45

歲)的人數(shù)占樣本總數(shù)的，

一周內(nèi)健步走上5一周內(nèi)健步走<5

總計(jì)

萬步萬步

45歲以上(含45

90

歲)

45歲以下

總計(jì)

(1)請將題中表格補(bǔ)充完整，并判斷是否有9()%的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步

數(shù)與年齡有關(guān)；

(2)現(xiàn)從樣本中45歲以上(含45歲)的人群中按一周內(nèi)健步走的步數(shù)是否少于5萬步用

分層抽樣法抽取8人做進(jìn)一步訪談，然后從這8人中隨機(jī)抽取2人填寫調(diào)查問卷.記抽

取的兩人中一周內(nèi)健步走步數(shù)不少于5萬步的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：K2=------幽—叱-----其中〃=a+Z?+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

0.1500.1000.0500.025

2.0722.7063.8415.024

18、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積為7；,若q=2,Tn=aj+l.

⑴求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)記S)=叫+(〃-1)4+(〃-2)%+?■+2a?_j+an,求S”.

19、如圖，在四棱錐P-A3CD中，△PAD為等邊三角形，四邊形A8CO為平行四邊

形，NPAB=NPDC.

(1)證明：四邊形A3C。為矩形；

(2)若E4=A3=2,當(dāng)四棱錐P-ABC。的體積最大時(shí)，求直線P8與平面PDC所成角

的正弦值.

20、已知拋物線C：V=8x,過點(diǎn)(2,0)作直線4與。交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)(4,0)作直

線6與。交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線4，l2,AM,BN的斜率存在且不為0時(shí)，將其分

別記為匕,k2,k3,

(1)證明：-+—=—+—；

kyk2k3&4

⑵若“〃2，SAAMN=2SAABM，求力的取值范圍.

21、已知函數(shù)/(x)=(x-2)e*-ox+alnx(aeR).

(1)當(dāng)。=-1時(shí)，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a<e時(shí)，討論)(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

22、［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為卜=為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為

y=J1-5

極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為

psin(e+￡)=6.

(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程和曲線。2的直角坐標(biāo)方程；

(2)在極坐標(biāo)系中，射線。=二(220)與曲線a交于點(diǎn)A,射線。=色(220)與曲線

63

。2交于點(diǎn)8，求△AOB的面積.

23、［選修4-5：不等式選講］

已知函數(shù)/(x)=x|x+a|+2x(aeR).

⑴當(dāng)a=-2時(shí),解不等式〃x)>3；

⑵若/(x)<2x+I對任意的xe1,2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案

I、答案：c

解析：因?yàn)?={xhg3X>l}={x|x>3},A={x|2<x<5},所以AJ8={x|x>2}.

2、答案：B

解析：由_z+i.=2,得2+1=2(2-1-。，整理得22-2=2+31.設(shè)2=。+〃3,。€1i),

z-1-i

則2(a+〃i)—(a—?dú)v)=〃+3歷=2+3i,所以〃=2,b=l,所以z=2+i,所以

|z|=V22+l2=75.

3、答案：B

解析：由圖象可知，第一天到第六天，實(shí)際情況與理想情況重合，

4=弓=4=與=4=石=0.6為定值，而實(shí)際情況在第六天以后日增長率逐漸降低，且逐

漸趨近于0.

4、答案：C

解析：將/(x)=2sin2x的圖象向左平移夕(0>0)個(gè)單位長度后，得到

_57r

g(x)=2sin(2x+20)的圖象.由圖象可知當(dāng)尤=0時(shí)，2x+2°=\-2kn，keZ,所以

6

0=里+左兀，keZ,所以。的最小值為2.

1212

5,答案：B

解析：如圖，圓。即(》-1)2+(、-2)2=2,半徑r=0,因?yàn)镃4LC3,所以

AB=B=2,又P是弦AB的中點(diǎn)，所以CP=，A5=1,所以點(diǎn)P的軌跡方程為

2

(x-l)2+(y-2)2=l.

6、答案：C

解析：因?yàn)?由20一/九8$2二=1,所以一mcos2a=l-sin2a,

7T

-m(cosa+sina)(cosa-sina)=(cosa-sina)?.因?yàn)閍w—+攵兀，keZ,所以

4

?八rrHIcosa-sina止兀,,~.

cosa-sinawO,所以一根二------；，三a=一+%兀，keZ,-m--\,m=l,

cosa+sina2

tan［(-a)=tan(—：)=一1,所以tan(一(一a］二一機(jī)；當(dāng)+A汽，keZ,

1-tana(n,(n、

-m=------=tan——a.綜上,tan——a=-m.

1+tana(4)(4)

7、答案：D

解析：設(shè)橢圓E的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a,b,c,由題意知a=l,

2

b=\/l-m9c=m9由橢圓E上存在點(diǎn)尸滿足|。尸|=根2/?,得c2b,所以

c2>b2=a2-c2,解得￡■」,所以e，之也.又e<i,所以E的離心率的取值范圍

礦2a2

73-----,1?

L2)

8、答案：D

解析：因?yàn)楹瘮?shù)/(x-l)為偶函數(shù)，所以函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線x=-l對稱，因?yàn)楹?/p>

數(shù)/(X)在區(qū)間［-1,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(X)在區(qū)間(-00,-1］上單調(diào)遞減.因?yàn)?/p>

/(2)=0,所以/(-4)=0,由/(x)<0可得T<x<2,由/(x)>0可得x<T或x>2.

Y<■0(元>0

不等式4，(x)>0可得’或‘解得-4<x<0或x>2,故不等式好3>0

l/U)<0V(x)>0,

的解集為(T,0)(2,+w).

9、答案：A

解析：由題意知|Q4|=a,|必|=。，OALFA,由對稱性得所以

|AB\-c=2ab.)C\AB|=2n〃,即ac=2ah,所以0c=y/3b,

33

2c2=3/?2=3c2—3片，即c2=3〃，解得e=—=>/3.

a

10、答案:A

解析：設(shè)￡￡>=xcm,因?yàn)閆DBE=/CBD=ZBDE,所以跖=￡0=xcm,在ABED

中，由余弦定理可得cos/BED='+二一5=一3,解得x=9.在△ABE中，

2x-x54

33

cosZAEB=COS(TU-ABED)=—,所以AE=8EcosZAE8=^cm,

AB=y]BE2-AE2=lcm,所以EU=2cm,CD=1cm,所以上色部分的面積為

4

,13.9.,

6x—x—xl=—(cm2).

244

11、答案：B

A-?[a

一—2，Xn=—,

光0°2

解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(Xo,%)，則%=2%,解得%=a,令

%="皿。+2，4=&1心+2,

I12

/(a)=a嗚+2—a,則/"(a)=lna—ln2,所以當(dāng)0<a<2時(shí)，f'(a)<0,/⑷單調(diào)遞

減；當(dāng)a>2時(shí)，/'(a)>0,/(a)單調(diào)遞增，所以/①焉=/⑵=。，所以方程

a-a\n—+2的根為a=2.

2

12、答案:C

解析：對于①，如圖所示,

俱G

由AB//CD,可知ZB4P即為異面直線AP與CO所成的角.連接BP,則在

中，AB=1,BP=y/BC2+CP2,tanZBAP=—=—,故正確；

2AB2

對于②，將△44,8與四邊形A8CR沿A8展開到同一個(gè)平面上，如圖所示.

BC

由圖可知，線段A。的長度即為AP+P。的最小值.在△原自中，利用余弦定理可得

AD*2+戊，故錯(cuò)誤；

對于③，如圖③所示，當(dāng)P為C。中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P-ABC體積最大，此時(shí)三棱錐

P-ABC的外接球球心是AC的中點(diǎn)，半徑為注，其表面積為2兀，故正確；

2

對于④，平面。與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等，只需與過同一頂點(diǎn)的三

條棱所成的角相等即可，如圖④所示，AP=AR=4Q，則平面PQR與正方體過點(diǎn)4

的三條棱所成的角相等.若點(diǎn)E,F,G,H,M,N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，可得平面

EFGHMN平行于平面PQR,且六邊形EFG”MN為正六邊形.因?yàn)檎襟w的棱長為1,

所以正六邊形EFGHMN的邊長為電,可得此正六邊形的面積為地，為截面最大面

24

積，故正確.

13、答案：3

解析：因?yàn)閍,方的方向相反，所以a,8共線，所以x(2-x)+3=0,解得x=3或

x=-l.當(dāng)x=3時(shí)，a=-3b,符合題意；當(dāng)x=T時(shí)，a=b,不符合題意，舍去.

14、答案：8

解析：根據(jù)題目所給的條件玉+/++%5=90，玉+/++內(nèi)=40，所以

%6+^++X15=50,所以剩余10個(gè)數(shù)的平均數(shù)為5,

22

x；+E++玉；-15x6?=15x9,x；+x；++x5-5x8=5x5,所以

22

X6+X7++X/=33O,所以這10個(gè)數(shù)的方差為33°,：X52=8

15、答案：V3

解析：設(shè)圓臺上底面半徑為r,母線長為/,則其下底面半徑為2r，將圓臺還原成圓

錐，則圓錐的母線長為2/,由圓臺的側(cè)面展開圖是一個(gè)面積為6兀的半圓環(huán)，得

,2""=21?兀,解得[=1，所以該圓臺的高為J/2——一/)2=6.

兀(r+2r)1=6K,[/=2,

16>答案：1

解析：對于X/x>l,不等式41n(or)<2xInx恒成立，所以。>0,不等式化為

axln(ax)<x2Inx2.4*f(x)=x\nx,即/(ov)v在區(qū)間。，及)上恒成立，

八%)=ln尤+1,當(dāng)工時(shí)，尸(%)<。，/(幻單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，

r(x)>0,單調(diào)遞增，且當(dāng)％>1時(shí),/(X)>0,當(dāng)Ovxvl時(shí),/(x)vO.要使

f(cuc)</(M)在區(qū)間(19-HX>)上恒成立，只需or,即Q<工在光￡(1,+00)上恒成立,

所以即。的最大值為1.

17、答案：(1)有90%的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年齡有關(guān)

(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為3

2

解析：(1)2x2列聯(lián)表為:

一周內(nèi)健步一周內(nèi)健步

總計(jì)

走25萬步走<5萬步

45歲以上(含45

9030120

歲)

45歲以下503080

總計(jì)14060200

200x(90x30—30x50)225,

-------------------=—>2.7(Jo,

120x80x140x60--7

所以有90%的把握認(rèn)為該市市民一周內(nèi)健步走的步數(shù)與年齡有關(guān).

（2）由題意知，從45歲以上（含45歲）的市民中按分層抽樣法抽取一周內(nèi)健步走的步數(shù)

不少于5萬步的市民6人，一周內(nèi)健步走的步數(shù)少于5萬步的市民2人.

從這8人中隨機(jī)抽取2人，則X的所有可能取值為0,1,2.

21

P(x=o)=士C°孕c」1，P(X=l)c='ECi=1±2=±3,

C；28C；287

C2C°15

p(X=2)=

C；28

所以X的分布列為：

X012

1315

p

28728

數(shù)學(xué)期望E(X)=0x-!-+lx3+2x竺=3.

287282

18、答案：⑴%=2"

⑵S“=2"2一2〃-4

解析：（1）由題意得q=工=片，所以%=。；=4.

M-1

因?yàn)楫?dāng)“22時(shí)，Tn_{=aJ,

n

rrt2rt+1rt

所以當(dāng)〃22時(shí)，勺="=零，整理得。3=*廣

Tn-'aj

所以山1114=勺114+1,即當(dāng)〃22時(shí)，見%1.=電&=吧=ln2,

22〃+1n2

所以當(dāng)〃22時(shí)，lna“=ln2",即可=2",

又4=2符合上式，所以4=2".

(2)由(1)知=2",

所以S“=2〃+5—1)X22+(〃-2)X23++2x2'i+2”①,

25?=/?x22+(n-l)x23+(n-2)x24++2x2n+2,,+|(2),

+2"+2"+,=-In+=2"+2—2〃—4,

②-①得S,,=-2/7+22+23+24+2°二2)

1-2

所以5“=2"+2一2〃-4.

19、答案：(1)證明見解析

⑵直線尸5與平面產(chǎn)℃所成角的正弦值為手

解析：(1)證明：如圖，取AO的中點(diǎn)。，8C的中點(diǎn)M,連接PO,OM,PM,

由△PAD為等邊三角形，得PA=PD,所以PO_L4D.

由四邊形ABC。為平行四邊形，得AB=C￡),AD//BC,AB//OM,

又因?yàn)?ZPAB=ZPDC,

所以△PAfig△尸DC,所以PB=PC,

因?yàn)镸為8C的中點(diǎn)，所以PM_LBC

所以PMLAD,

因?yàn)镻OLAO,POPM=P,所以AD_L平面POM,

因?yàn)镺Mu平面POM,所以AO_LOM,

所以ABJ.AO,即四邊形ABC。為矩形.

(2)解：由題意知，當(dāng)平面/VLD，平面A8CO,

即PO_L平面A8CD時(shí)，四棱錐P-ABCZ)的體積最大，

由(1)知AB_LAT>,所以以。為原點(diǎn)，OA,OM,OP所在直線分別為x軸、y軸、z

軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)橐?AB=2,則0（0,0,0）,B（l,2,0）,C（-l,2,0）,0（—1,0,0）,P（0,0,百）,

Z）P=（1,O,G）,DC=（0,2,0）,

設(shè)平面的的法向量為〃=（2z）,則/加=°，得卜+任=°，

n-DC-0,[2y=0,

令x=G則〃=（G,（）,-i）.

又尸3=（1,2,-百），設(shè)直線PB與平面PDC所成的角為0，

則sin0=|cos<n,PB)|=生"1=旦.

"II陽4

所以直線P8與平面PDC所成角的正弦值為巫.

4

20、答案：(1)證明見解析

(2)2的取值范圍為(L&]

解析：（1）證明：設(shè)A（X[,y）,3（々,%），^（七，，3），Ny,%），

22

因?yàn)锳,B在C上，所以工=土二五=坐一之=21",

及%-y8

同理可得J-=%+）,_J_=\+%,_L=%+M,

《8《8女48

111

所以—I———I---.

k[bk3k4

（2）解：由題意，設(shè)4：x=my+2,l2:x=my+49'間的距離為由

聯(lián)立陽+'消去J得/_8吁16=0,

y=8x,

則A=64（n?+1）＞0,yl+y2=Sm,y}y2=-\6,

聯(lián)立my+4,消去x得V—8my-32=0,

J=8x,

則△=64（〃/+2）＞0,%+居=8〃2，y3y4=-32.

因?yàn)橐杂?應(yīng).，所以:|MNH/=4|AB|d，得4=黑，

LL|/\D|

所以力=忙斗=吐外28卜+；,

加一%|q卜(x+衛(wèi)%)心'64m邛+64吟Vm+1

因?yàn)椤╠>0,

所以

故2的取值范圍為

21、答案：(l)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,”)

(2)當(dāng)a<-e時(shí)，無零點(diǎn)；

當(dāng)“=一6或0Wa<e時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)-e<a<()時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)

解析：(1)當(dāng)a=-l時(shí)，/(x)=(x-2)er+x-lnx,

則/'(x)=(x-l)(e*+'］，當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，e*+」>0恒成立，

VX)x

所以當(dāng)xe(0,l)時(shí)，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(1,+8)時(shí)f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

即/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+oo).

(2)由題意，函數(shù)/,(%)=(尤-2)e"-ov+alnx=(x-2)e"-a(x-lnx),%>0.

1Y—1

設(shè)/篦(x)=x—Inx,x>0,則〃z'(x)=l——=----,

XX

當(dāng)xw(0,1)時(shí)，mr(x)<0,加(x)單調(diào)遞減；當(dāng)(l,+oo)時(shí)，mr(x)>0,皿犬)單調(diào)遞

增，

又由m(V)=1>所以m(x)>1.

令/(x)=。，可得(x-2)e"-ox+alnx=0,所以。=G―生_，其中%>()，

x-lnx

人/\(%—2)e'吊［,/、eA(x—1)2

令g(x)=——-——，則g(x)=7~:~^(x-lnx+一一1),

x-lnx(x-lnx)x

人7/、i2mil7，/、112x2—x—2(x—2)(x+1)八、

Q/z(x)=x—InxH---1,貝Uh(x)=1--------=-----z---=-------o-----(x>0),

xxxx廠

當(dāng)0<x<2時(shí)，h\x)<0,/z(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x〉2時(shí)，h\x)>0,力(x)單調(diào)遞增，

所以/z(x)min=h(2)=2-In2>0,即當(dāng)x>0時(shí)，h(x)>0恒成立.

故當(dāng)0<x<l時(shí)，g>(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)