大學物理第三章

第三章3.1剛體定軸轉動運動學3.2剛體定軸轉動動力學3.1.1剛體3.1剛體定軸轉動運動學3.1.2剛體的定軸轉動3.1.3剛體定軸轉動的運動學描述3.1.1剛體

剛體就是有一定的形狀和大小，但形狀和大小永遠保持不變的物體.剛體是一種理想模型.

剛體可以看成是由許多質點構成，每一個質點稱之為剛體的一個質元.可見剛體是一個特殊的質點組，其特殊性在于在外力作用下各質元之間的相對位置保持不變.3.1.2剛體的定軸轉動

相對于某一慣性參照系（例如地面）固定不動的直線的轉動稱之為剛體的定軸轉動.

這條固定不動的直線稱之為固定軸.

為研究方便，我們將垂直于固定軸的平面稱之為轉動平面.如圖所示.固定軸轉動平面質元剛體定軸轉動時，各質元繞軸在轉動平面內做圓周運動3.1.3剛體定軸轉動的運動學描述角位置：剛體的運動方程角位移：平均角速度：角速度：剛體定軸轉動時各質元有相同的角量角加速度：角量與線量的關系3.2.1剛體定軸轉動的轉動定律3.2剛體定軸轉動動力學3.2.2剛體定軸轉動的動能定理3.2.4例題分析3.2.3剛體定軸轉動的角動量守恒定律3.2.1剛體定軸轉動的轉動定律1.力矩對于定點轉動而言：對于芳定軸舒轉動棵而言郵：注意:(1)力矩弦是對權點或見對軸只而言乞的;(2)一般規(guī)定，使剛體逆時針繞定軸轉動時；使剛體順時針繞定軸轉動時.2.剛體峽定軸撇轉動毒的轉泳動定旬律

對質元，由牛頓第二運動定律得其中是質元繞軸作圓運動的加速度，寫為分量式如下：

其中和是質元繞軸作圓運動的法向加速度和切向加速度，所以法向跨力的減作用蜜線過酸轉軸,其力孕矩為吸零.內力宮矩為鞭零外力疊矩為M剛體積定軸徐轉動生的轉商動定餐律轉動稀慣量廳是剛矛體作途轉動燭時對遍慣性騰的量忽度描編述.3.轉動鄭慣量適用尋于離究散分封布剛暫體轉樓動慣惱量的芽計算適用咬于連畝續(xù)分插布剛泡體轉寒動慣鑒量的聾計算

在國際單位制（SI）中，轉動慣量的單位為千克二次方米，即.剛體洞轉動片慣量精的大俱小與培下列執(zhí)因素麥有關題：（1）形狀能大小數分別鍵相同中的剛輔體質漏量大敲的轉朝動慣挎量大殼；（2）總質禁量相凈同的同剛體短，質付量分達布離通軸越科遠轉租動慣乖量越嶄大；（3）對同逐一剛驕體而容言，寄轉軸廈不同籍，質局量對仗軸的堪分布悉就不逢同，嶺轉動儲慣量麥的大視小就封不同.①.求長草為L，質輕量為m的均擋勻細光棒AB的轉純動慣衛(wèi)量.（2）對于通過棒的中點與棒垂直的軸.（1）對于通過棒的一端與棒垂直的軸；解（1）如圖所示，以過A端垂直于棒的為軸，沿棒長方向為x軸，原點在軸上，在棒上取長度元，則由轉動慣量的定義有:3.轉動送慣量造計算

（2）如圖所示，以過中點垂直于棒的為軸，沿棒長方向為x軸，原點在軸上，在棒上取長度元，則由轉動慣量的定義有:②.試求質量為m、半徑為R的勻質圓環(huán)對垂直于平面且過中心軸的轉動慣量.解作示意圖如右,由于質量連續(xù)分布，所以由轉動慣量的定義得③.試求質量為m、半徑為R的勻質圓盤對垂直于平面且過中心軸的轉動慣量.解如圖所示,由于質量連續(xù)分布，設圓盤的厚度為l，則圓盤的質量密度為一些常見勻質剛體的轉動慣量3.陽2.板2剛體孤定軸剪轉動陶的動難能定饒理1.剛體秀定軸塑轉動肅的動評能(轉動忽動能)對于隸第i個質價元,動能棄為對于裳整個擋剛體,動能猾為2.剛體慕定軸防轉動油時力化矩所袍做的腹功及首功率3.剛體霞定軸腳轉動娘的動底能定腹理3.筐2.對3剛體昏定軸染轉動脫的角黑動量憤守恒痕定律1.角動絹量(動量匆矩)對于屑定點映轉動概而言父：在國物際單錯位制（SI）中，竹角動腸量的嘉單位樹為對于閥繞固草定軸oz轉動釘的整脾個剛姑體而表言:

對于繞固定軸oz的轉動的質元而言:角動崇量的嚼方向付沿軸權的正方向或住負向,所以堵可用級代數愁量來雙描述.2.角動稀量定滔理（勇動量慘矩定勾理）3.角動蘇量守隱恒定好律即系牢統(tǒng)所熄受的樣合外餡力矩仰為零.——角動第量守故恒的屑條件——角動胞量守個恒的蟲內容注意故：在推懶導角腫動量王守恒興定律懇的過蹄程中智受到恰了剛忍體、略定軸納等條弄件的刷限制用，但換它的堡適用澡范圍哄卻遠申遠超買過了徹這些陶限制.如:滑冰塊運動成員的態(tài)表演.角動姓量守絕恒3.肉2.爭4例題膛分析

1.一繩跨過定滑輪，兩端分別系有質量分別為m和M的物體，且.滑輪可看作是質量均勻分布的圓盤，其質量為，半徑為R，轉軸垂直于盤面通過盤心，如圖所示.由于軸上有摩擦，滑輪轉動時受到了摩擦阻力矩的作用.設繩不可伸長且與滑輪間無相對滑動.求物體的加速度及繩中的張力.解受力肉分析根如圖貝所示.對于艙上下辰作平柴動的之兩物檔體，猜可以蔬視為塊質點晝，由隔牛頓底第二抖運動鎖定律啟得若以稍順時限針方濁向轉臭的力墻矩為忠正，塘逆時開針轉或的方私向為瘡負，詢則由液剛體窗定軸獲轉動孤的轉煩動定姑律得據題儉意可宜知，篇繩與駛滑輪咳間無冷相對住滑動說，所抓以滑哪輪邊剖緣上稱一點介的切橡向加微速度紗和物懲體的哥加速揮度相將等，稼即聯(lián)立崗以上蛋三個瞇方程熄，得

注意：當不計滑輪的質量和摩擦阻力矩時，此時有，物理學中稱這樣的滑輪為“理想滑輪”，稱這樣的裝置為阿特伍德機.2.如圖仰所示援，一昌質量訊為M、半棟徑為R的勻秤質圓貸盤形掛滑輪幟，可柜繞一角無摩象擦的鎖水平夸軸轉條動.圓盤醒上繞耗有質鼻量可賽不計其繩子系，繩暑子一脈端固軍定在惜滑輪作上，賣另一姜端懸米掛一撓質量峰為m的物崖體，球問物畜體由夏靜止君落下h高度追時,物體暫的速棕率為偷多少嗎？物體閑下降昂的加裹速度己的大憲小就哥是轉督動時訪滑輪銅邊緣版上切萬向加持速度肺，所岸以解法而一用牛賀頓第西二運終動定猾律及漢轉動辣定律命求解.分析緣瑞受力色如圖岡所示.對物壩體m用牛濫頓第蜘二運港動定斥律得對勻膚質圓綱盤形賤滑輪擺用轉稻動定縣律有物體m落下h高度蛛時的倦速率經為圓盤廟的轉蝕動慣間量為聯(lián)立除以上腔五式罵，可罪得物粒體m落下h高度否時的極速率莖為小于物體自由下落的速率解法宵二利用非動能軋定理屢求解.對于阿物體m利用權質點千的動錦能定鍵理有其中和是物體的初速度和末速度.對于撫滑輪捐由剛姐體定喊軸轉良動的場轉動獲定理托有

其中是在拉力矩TR的作用下滑輪轉過的角度，和是滑輪的初末角速度.

由于滑輪和繩子間無相對滑動，所以物體落下的距離應等于滑輪邊緣上任意一點所經過的弧長，即.聯(lián)立斯以上粗各式野，可末得物能體m落下h高度堪時的五速率切為

若把滑輪、物體和地球看成一個系統(tǒng)，則在物體落下、滑輪轉動的過程中，繩子的拉力T對物體做負功（），對滑輪做正功（）即內力做功的代數和為零，所以系統(tǒng)的機械能守恒.若把亮系統(tǒng)注開始虛運動港而還路沒有辱運動彩時的紫狀態(tài)償作為吳初始狹狀態(tài)諷，系久統(tǒng)在專物體腸落下本高度h時的不狀態(tài)后作為刃末狀刪態(tài)，恭則解之變可得燥物體m落下h高度騰時的郊速率.解法墨三利用申機械螺能守芒恒定信律求牢解.

3.哈雷慧星繞太陽運行時的軌道是一個橢圓，如圖所示，它距離太陽最近的距離是,速率；它離太陽最遠時的速率，這時它離太陽的距離解慈彗桶星受叛太陽算引力流的作士用，妄而引注力通涉過了喇太陽六，所次以對派太陽家的力古矩為冷零，筒故彗都星在誓運行刃的過館程中哲角動纖量守揪恒.于是憂有代入昨數據賄可,得

4.如圖所示，一個長為l、質量為M的勻質桿可繞支點o自由轉動.一質量為m、速率為v的子彈以與水平方向成角的方向射入桿內距支點為a處，使桿的偏轉角為.問子彈的初速率為多少？解宏把繼子彈頃和勻抗質桿鵝作為稿一個姿系統(tǒng),分析箭可知振在碰吐撞過勸程中橋角動匠量守鵲恒.

設子彈射入桿后與桿一同前進的角速度為,則子彈請在射排入桿兵后與助桿一堡起擺要動的羨過程溫中只挺有重千力做愧功，束所以悉由子日彈、浩桿和幣地球雄組成增的系抖統(tǒng)機覽械能希守恒炒，因巡壽此有聯(lián)立住上述蝦這兩奔個方注程得努子彈妙的初馳速率軟為

5.如圖所示，一根質量為M、長為2l的均勻細棒，可以在豎直平面內繞通過其中心的光滑水平軸轉動，開始時細棒靜止于水平位置.今有一質量為m的小球，以速度垂直向下落到了棒的端點，設小球與棒的碰撞為完全彈性碰撞.試求碰撞后小球的回跳速度及棒繞軸轉動的角速度.解鉗分析判可知,以棒皮和小閘球組態(tài)成的敵系統(tǒng)蘭的角淋動量熄守恒.由于碰撞前棒處于靜止狀態(tài)，所以碰撞前系統(tǒng)的角動量就是小球的角動量;由于碰撞后小球以速度v回跳，棒獲得的角速度為，所以碰撞后系統(tǒng)的角動量為由角勸動量勿守恒鄙定律導得由題結意知蘋，碰姐撞是加完全伍彈性膚碰撞斥，所彎以碰路撞前婆后系麗統(tǒng)的雷動能順守恒撈，即聯(lián)立只以上逮兩式叢，可曬得小蕉球的腎速度督為棒的朗角速腰度為要保證小球回跳，則必須保證.討論:44例6、在偽一光菜滑的席水平暴桌面憶上，征用輕盛繩的窗一頭掠拴著國