初等數(shù)論第二章課件

不定方程是指未知數(shù)個數(shù)多于方程個數(shù)，且對解有第二章不定方程一定限制（比如要求解為正整數(shù)等）的方程。

是數(shù)論中最古老的分支之一。

古希臘的丟番圖早在公元3世紀(jì)就

開始研究不定方程，

因此常稱不定方程為丟番圖方程。中國是研究不定方程最早的國家，

公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，

公元5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問題標(biāo)志中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究。

秦九韶的大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來。百雞問題說：“雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，直錢一。百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”。

這是一個三元不定方程組問題。1969年，莫德爾較系統(tǒng)地總結(jié)了這方面的研究成果。

近年來，這個領(lǐng)域更有重要進(jìn)展。

但從整體上來說，

對于高于二次的多元不定方程，人們知道得不多。

另一方面，不定方程與數(shù)學(xué)的其他分支如代數(shù)數(shù)論、

代數(shù)幾何、組合數(shù)學(xué)等有著緊密的聯(lián)系，

在有限群論在有限群論和最優(yōu)設(shè)計中也常常提出不定方程的問題，

這就使得不定方程這一古老的分支繼續(xù)吸引著許多數(shù)學(xué)家的注意，成為數(shù)論中重要的研究課題之一。第一節(jié)二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解決以下三個問題：②有解時決定解的個數(shù)。①判斷何時有解。③求出所有的解。本節(jié)討論能直接利用整除理論來判定是否有解，以及有解時求出其全部解的最簡單的不定方程———二元一次不定方程。注：定理的證明過程實際給出求解方程（1）的方法：注：趕利用夏輾轉(zhuǎn)糠相除后法求慣（a,版b)時，奧前提閥為a,型b為正葬整數(shù)草，且a大于b，因此濁求解羞此方滲程時攪可以兔考慮撥用變畜量替滋換。3、下播面通羽過具患體例蔬子介棄紹一蜂種判頂定方貫程是之否有解，微及其泳求出品其解歌的直言接算潮法——整數(shù)鬼分離騰法或先五求出洽原方?jīng)]程的攜一個農(nóng)特解棍，再相給出枕一切憶整數(shù)黨解。注：礙這種蔽解不銹定方裹程的渴算法電實際嚇上是芽對整大個不逮定方鬼程用輾必轉(zhuǎn)相某除法后，依次李化為研等價啟的不烤定方穗程，直至享得到一個在變量身的系塵數(shù)為辰正負(fù)1的方魂程為孩止。這樣剃的不硬定方妥程可以秋直接滾解出溉。再依薯次反姐推上例去，視就得采到原奪方程痕的通燙解。為了籠減少唉運(yùn)算頌次數(shù)釀，在僵用帶臂余除他法時屈，總攜取絕捉對值嶄最小余數(shù)射。下面控我們玻來討沾論當(dāng)憲二元精一次涼不定貓方程鈔（1）可貫解時襖，它的洲非負(fù)掀解和滋正解蘭問題蹦。由通匹解公談式知戒這可江歸結(jié)濕為去祖確定參形數(shù)t的值跌，使x,歇y均為壇非負(fù)瓣或正剪。顯見復(fù)，當(dāng)a,緞b異號漂時，不定茄方程堂（1）可悠解時碎總有團(tuán)無窮銅多組神非負(fù)吉解或填正解提，理由傲是：所以宇下面反只討卵論a,樂b均為夢正整坦數(shù)的搶情形底，先來械討論眾非負(fù)遺解：下面脹討論否正整予數(shù)解們：例7、求固方程5x+3y=5喇2的全迷部正期整數(shù)眾解解：x=8撓,y=4是一孔組特街解，但方程呀的全交部解檢為：x=8蜂+3t,y=4叛-5t正整竿數(shù)解喚滿足8+邁3t>0,時4-少5t>0注：毀若只筋求方好程正濤整數(shù)罰解的填個數(shù)犯，可丈考慮煉以下迎不等餅式的整弟數(shù)解摘個數(shù)辮：第二騰節(jié)裳多春元一揚(yáng)次不愚定方溜程注：真定理1的證嶼明給魔出了n元一嫂次不撈定方塔程的竿解法衣過程魂：即求頓解方遷程組齊（由n-1個方據(jù)程組經(jīng)成）解：亂原方怪程化翅為：進(jìn)一遲步可龍求非蒜負(fù)整墓數(shù)解?。河赏ㄗu(yù)解公次式給亡出非畝負(fù)整旨數(shù)解灘中m,訊k應(yīng)滿麻足第三之節(jié)沈勾股量數(shù)②再憶證滿側(cè)足條蒙件（2）的儲解都短可以現(xiàn)表成到（3）的糞形式先。例1、求逆一個哨邊長叼為整荒數(shù)的生直角公三角飾形，歡它的亮面積撈在數(shù)值箏上等烘于它書的周示長。例2、求融不定庭方程幅（*史）的田滿足大條件0<z<2凡6的全否部互素立的解汽。baxyz12345235121314158173472425例3、求z=6親5的滿韻足方繩程（卻*）吳的全魂部正突整數(shù)昆解。例5、假宵定(x,午y,隸z)是(*暫)的解豈，并職且(x,話y)=杰1，那滋么在x,配y中有一豬個是3的倍信數(shù)，威有一飲個是4的倍寫數(shù)，尚在x,梅y,匠z中有將一個是5的倍取數(shù)。注意貸：定樹理中鏈所說嶺的在x,繭y中有巾一個贊是3的倍序數(shù)，撲有一個喉是4的倍文數(shù)，伯并不吩是說機(jī)在x,漏y中一裳個是3的倍撲數(shù)，劇另一個戀是4的倍嚇數(shù)，氣很可享能3的倍鉆數(shù)與4的倍秤數(shù)是餓同一句個數(shù)憶。如（5,芹12謙,1廉3），僑又如喊（11門,6掀0,肅61）3、無遍窮遞孤降法16搬59年，雨法國割數(shù)學(xué)愧家費(fèi)桌馬寫誘信給下他的嗓一位混朋友光卡爾卡百維，稱自放己創(chuàng)森造了蒜一種激新的暫數(shù)學(xué)滅方法.由于路費(fèi)馬哈的信并忍沒有嬸發(fā)表幼，人們蘿一直男無從誦了解躲他的舞這一霜方法.直到18希79年，擴(kuò)人們橫在荷恨蘭萊展頓大真學(xué)圖賞書館惠更兇斯的滔手稿逐中發(fā)現(xiàn)了方一篇轎論文艦，才堪知道筍這種快方法厘就是揉無窮擔(dān)遞降硬法.無窮遞降寧法是株證明亞某些言不定該方程冊無解歉時常羅用的怒一種日方法.其證明纏模式深大致虜是:先假封設(shè)方剝程存發(fā)在一花個最坊小正器整數(shù)金解，然后騾在這待個最渾小正醬整數(shù)首解的姜基礎(chǔ)皇上找喬到一娘個更舅小的構(gòu)造卵某種靈無窮本遞降鑰的過保程，再結(jié)躬合最捐小數(shù)犯原理皇得到矛盾雖，從找而證掛明命鮮題.無窮右遞降那法在章解決犧問題觀過程妹中主要僑有兩勻種表花現(xiàn)形紫式:其一養(yǎng)，由事一組晃解出座發(fā)通走過構(gòu)予造得到辰另一漠組解飽，并例且將吹這一則過程攜遞降研下去，擊從而