高中函數(shù)十一冪函數(shù)(解析版)

專題十一幕函數(shù)

1.幕函數(shù)的概念

一般地，形如y=F(aGR)的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，a為常數(shù).

2.五種常見幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)特征性7

尸Xy=x2y=x3y=x~1

質(zhì)2

V方

圖象V中

-7T7T

定義域RRR{x|x>0}3存0}

值域RW>o)R04月)}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

(—8,0)減，(—8,0)和

單調(diào)性增增增

(0,+8)增(0,+co)減

公共點(diǎn)(1.1)

3.常用結(jié)論

號函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)

對于基函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x=l,y=l,y=x分區(qū)域.根

據(jù)a<0,0<a<l,a=l,a>l的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

(1)黑函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

(2)一函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1,1)；

(3)當(dāng)a>0時，基函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)a>l時，基函數(shù)的圖

象下凸；當(dāng)0<a<l時，累函數(shù)的圖象上凸：

(4)當(dāng)a<0時，幕函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減;

(5)塞指數(shù)互為倒數(shù)的基函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

(6)在第一象限，作直線x=a(a>l),它同各幕函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，基指數(shù)按從小到大的順

序排列.

(7)對于形如y(x)=x"(其中a《Z),當(dāng)a為奇數(shù)時，暴函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；當(dāng)a為偶數(shù)時，暴函數(shù)

為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱.

1

n

(8)對于形如/(X)=XM(其中wWN*,〃GZ,與n互質(zhì))的基函數(shù)的奇偶性：

①當(dāng)〃為偶數(shù)時，人刈為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱；

②當(dāng)加，〃都為奇數(shù)時，/(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱：

③當(dāng)為偶數(shù)時，其>0(或應(yīng)0),大x)是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限(或第一象限及原點(diǎn)處).

考點(diǎn)一塞函數(shù)的圖象及其應(yīng)用

【方法總結(jié)】

幕函數(shù)圖象的規(guī)律

(1)幕函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限，要看函數(shù)

的奇偶性；

(2)寡函數(shù)的圖象最多能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；

(3)如果第函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)；

(4)當(dāng)a為奇數(shù)時，早函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；當(dāng)a為偶數(shù)時，篇函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.

【例題選講】

[例1](1)若幕函數(shù)、=(〃/―3加+3)X"2F-2的圖象不過原點(diǎn)，則機(jī)的取值是()

A.—1<m<2B.機(jī)=1或m=2C.m=2D.m=]

(3)若基函數(shù)夕=h|,與在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則加與"的取值情況為()

A.—1<m<0<n<1B.—1<n<0<mC.-1<m<0<nD.—1<n<0<m<1

(4)如圖所示，圖中的曲線是幕函數(shù)y=x"在第一象限的圖象，已知N取±2,4四個值，則相應(yīng)于G,C2,C3,

C4的〃依次為()

2

（5）哥函數(shù)及直線y=x,歹=1,x=1將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成八個“卦限”：①，②，③，④,

1

⑤，⑥，⑦，⑧（如圖所示），則幕函數(shù)的圖象經(jīng)過的“卦限”是（）

A.④，⑦B.④，⑧C.③,⑧D.①，⑤

(6)當(dāng)0?1時，y(x)=x2,g(x)=%2,h(x)=x~2,則加)，g(x),4(x)的大小關(guān)系是

13

A.B.cD.2

22-拯u

2.函數(shù)的圖象是（

5

3.函數(shù)y=/的圖象是（)

3

4.黑函數(shù)夕=//口"-3（機(jī)CZ）的圖象如圖所示，則加的值為（）

6.圖中G，C2,C3為三個幕函數(shù)y=必在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)％的值依次可以是（)

7.若四個基函數(shù)歹=f，>=/,y=xS>=/在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，貝lja,b,c,1的大小關(guān)系

是（）

考點(diǎn)二募函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

4

考向1比較幕值大小

【方法總結(jié)】

比較幕值大小的常見類型及解決方法

(1)同底不同指：利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較

(2)同指不同底：利用幕函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較

(3)既不同底又不同指：常常找到一個中間值，通過比較兩個幕值與中間值的大小來判斷兩個基值的大小

【例題選講】

42

[例2]⑴已知〃=35,h=45,c=12§,貝b,c的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

42

⑵(2016?全國III)已知a=23,b=45,c=25\貝ij()

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

若a=(B,6=吼c=8,,則4,b,

⑶c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

(4)設(shè)〃=0.6°6,6=0.6】。=1.5。6,則a,b,c的大小關(guān)系是(

A.a<h<cB.a<c<bC.b<a<cD.h<c<a

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

9.若。=2-|,b=

，則a，b,。的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

若°=俳,JU；c=侏,

10.則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>h>cB.a>c>hC.c>a>bD.b>c>a

11.設(shè)％=0.2。3,?=0.3。2,Z=O.3().3,則x,y,z的大小關(guān)系為()

A.x<z<yB.y<x<zC.y<z<xD.z<y<x

]2i1

12.設(shè)。6=(與3,c=(與3,則a,b,c的大小關(guān)系為()

33

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

13.己知。=2。,2,6=0.4%c=0.4075,則()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

考向2幕函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

【方法總結(jié)】

鬲函數(shù)j，=L的主要性質(zhì)及解題策略

(1)基函數(shù)在(0,+8)內(nèi)都有定義,事函數(shù)的圖象都過定點(diǎn)(1,1).

(2)當(dāng)心0時，事函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)avO時，幕函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

5

(1,1),且在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.

(3)當(dāng)a為奇數(shù)時，基函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)a為偶數(shù)時，塞函數(shù)為偶函數(shù).

(4)基函數(shù)的性質(zhì)因基指數(shù)大于零、等于零或小于零而不同，解題中要善于根據(jù)基指數(shù)的符號和其他性質(zhì)確定基

函數(shù)的解析式、參數(shù)取值等.

【例題選講】

[例3]⑴函數(shù)於)=("?2—機(jī)一1*"是募函數(shù)，且在xG(0,+8)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的值是.

(2)已知事函數(shù)/)=(力2—3加+3爾'+|為偶函數(shù)，則加=()

A.1B.2C.1或2D.3

(3)塞函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,迫),則兒:)是()

A.偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)B.偶函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)

C.奇函數(shù)，且在(0,+oo)上是增函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)，且在(0,+oo)上是減函數(shù)

(4)已知事函數(shù)/)=(〃2+2加―2比"「3"(〃62)的圖象關(guān)于^軸對稱,且在(0,+00)上是減函數(shù),則"的值為()

A.-3B.1C.2D.1或2

1

(5)已知某函數(shù)｛x)=/5,若八a+l)〈/(10—2a),則。的取值范圍是.

(6)若(a+1)3V(3—2。)3,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

力，則函數(shù)蛉)=〃)+e的最小值為(

(7)已知基函數(shù)/(X)的圖象過點(diǎn)?

(8)對于基函數(shù)犬x)=x"若0<x'X2,則萬1,曲野區(qū)的大小關(guān)系是()

A.腭"!酗B.里耳&C..隹耳加產(chǎn)D.無法確定

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

14.已知函數(shù)兀0=(加一"?一1比混+"L3(“]ez)是基函數(shù)，且xG(0,+8)時，是增函數(shù)，則用的值為()

A.-1C.-1或2

15.已知暮函數(shù)兀0=(序+2〃-2),%^一3〃5￡2)在(0,+8)上是減函數(shù)，則〃的值為(

6

A.-3B.1C.2D.1或2

16.若基函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)9'2,則它的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(0,+oo)B.［0,+co)C.(—oo,+oo)D.(—oo,0)

17.已知函數(shù)4v)=x2F是定義在區(qū)間［―3—〃7,加一〃“上的奇函數(shù)，則下列成立的是()

A.人⑼勺(0)B._/(加)=/(0)C../(⑼力(0)D.人加)與人0)大小不確定

18.設(shè)aw{-2,一1，-p1，21則使人x)人為奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減的a的值的個數(shù)

是()

A.1B.2C.3D.4

19.幕函數(shù)加)=/J°"23(Q￡Z)為偶函數(shù)，且於)在區(qū)間(0,+oo)上是減函數(shù)，則。等于()

A.3B.4C.5D.6

20.已知辱函數(shù)(加金為的圖象與x軸和》軸沒有交點(diǎn)，且關(guān)于y軸對稱，則加等于()

A.1B.0,2C.-1,1,3D.0,1,2

@/(x)=x3；@/(x)=y/x；@/(x)=L

21.給出幕函數(shù)：①/(x)=x；(2)/(x)=x2；其中滿足條件f

X

(Xl>X2>0)的函數(shù)的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

1￡

22.若(a+l)5v(3—2a)"則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

mm

23.已知某函數(shù)y=x3m-9(wWN*)的圖象關(guān)于y軸對稱且在(0,+8)上單調(diào)遞減，求滿足(4+1戶<(3-24亍

的a的取值范圍.

24.已知幕函數(shù)次外:川川+加尸(mGN*)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,?

(1)試確定w的值；

(2)求滿足條件/(2—a)>/(a—1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.

25.己知函數(shù)嶺)=(加2—5加+1*>+1為>函數(shù)，且為奇函數(shù).

(1)求用的值;

._______「01

(2)求函數(shù)g(x)=〃a)+Nl-2力(x),xd1'2」的值域.

26.已知基函數(shù)以)=(一2〃?2+機(jī)+2)乂"+1為偶函數(shù).

⑴求危)的解析式;

(2)若函數(shù)/z(x)=/(x)+ax+3-420在區(qū)間［-2,2］上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

7

專題十一幕函數(shù)

1.幕函數(shù)的概念

一般地，形如y=F(aGR)的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，a為常數(shù).

2.五種常見幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)特征性7

尸Xy=x2y=x3y=x~1

質(zhì)2

坐方

圖象V_中x

-7TOlX7r

定義域RRR{x|x>0)國存0}

值域RW>0}RW>0}即0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

(—8,0)減，(—8,0)和

單調(diào)性增增增

(0,+8)增(0,+8)減

公共點(diǎn)(1.1)

3.常用結(jié)論

幕函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)

對于幕函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x=l,y=l,y=x分區(qū)域.根

據(jù)a<0,0<a<l,a=l,a>1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

(1)基函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

(2)幕函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(1,1)；

(3)當(dāng)a>0時，幕函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增，特別地，當(dāng)a>l時，幕函數(shù)的圖

象下凸；當(dāng)0<a<l時，幕函數(shù)的圖象上凸；

(4)當(dāng)a<0時，-函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減；

(5)基指數(shù)互為倒數(shù)的幕函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

(6)在第一象限，作直線x=n(a>l),它同各事函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，基指數(shù)按從小到大的順

序排列.

(7)對于形如{x)=P(其中aGZ),當(dāng)a為奇數(shù)時，幕函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；當(dāng)a為偶數(shù)時，累函數(shù)

為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱.

8

n

(8)對于形如/(x)=x7(其中wWN*,“GZ,加與n互質(zhì))的基函數(shù)的奇偶性：

①當(dāng)〃為偶數(shù)時，人刈為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱；

②當(dāng)加，〃都為奇數(shù)時，/(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱：

③當(dāng)為偶數(shù)時，其>0(或應(yīng)0),大x)是非奇非偶函數(shù)，圖象只在第一象限(或第一象限及原點(diǎn)處).

考點(diǎn)一事函數(shù)的圖象及其應(yīng)用

【方法總結(jié)】

幕函數(shù)圖象的規(guī)律

(1)號函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限，要看函數(shù)

的奇偶性；

(2)寡函數(shù)的圖象最多能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；

(3)如果第函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)；

(4)當(dāng)a為奇數(shù)時，早函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；當(dāng)a為偶數(shù)時，篇函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.

【例題選講】

[例1]⑴若幕函數(shù)、=(機(jī)2—3加+3”"2-，"-2的圖象不過原點(diǎn)，則/?的取值是()

A.—1<m<2B.m=1或m=2C.m=2D.w=l

答案B解析由氟函數(shù)性質(zhì)可知，"2—3"?+3=1,1或機(jī)=2.又基函數(shù)圖象不過原點(diǎn)，.■."，一團(tuán)一2《),

即一10nW2,；.m=l或m=2.

(2)基函數(shù)y=/(x)的圖象過點(diǎn)(4,2),則塞函數(shù)夕=/(x)的圖象是()

答案C

(3)若基函數(shù)y=x>,了=工"<與；；=廿在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則機(jī)與〃的取值情況為()

A.—1<m<0<n<1B.—1<n<0<mC.—1<m<0<nD.—1<n<0<m<1

答案D解析寐函數(shù)當(dāng)a>0時，^=?^在(0,+s)上為增函數(shù)，且0<a〈l時，圖象上凸，/.0<^<1:

當(dāng)avO時，在(0,+8)上為減函數(shù)，不妨令x=2,根據(jù)圖象可得2一七2",：.-\<n<09綜上所述，故選D.

(4)如圖所示，圖中的曲線是基函數(shù)y=x"在第一象限的圖象，已知〃取±2,?四個值，則相應(yīng)于G，C2,C3,

C4的〃依次為()

9

答案B解析根據(jù)累函數(shù)歹=V的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)的圖象當(dāng)〃>0時，〃越大，y=x〃遞增速度越快，故

G的〃=2,G的〃=’;當(dāng)〃<0時，|川越大，曲線越陡峭，所以曲線C3的〃=一',曲線。4的〃=—2.

(5)篝函數(shù)及直線y=x,歹=1,x=1將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成八個“卦限”：①，②，③，④，

⑤，⑥，⑦，⑧(如圖所示)，則基函數(shù)的圖象經(jīng)過的“卦限”是()

rty=x-l

y=x

8-.

X=1

A.④，⑦B.④，⑧C.③，⑧D.①，⑤

2

答案D解析由夕=口=由知其經(jīng)過“卦限KD⑤，故選D.

(6)當(dāng)04V1時，兀c)=%2,g(x)=x2,h(x)=x~2則/(x),g(x),〃(x)的大小關(guān)系是_______________.

答案A(x)>g(x)>Ax)解析分別作出y=Ax),y=g(x),y=/z(x)的圖象如圖所示，可知//(x)>g(x)>/(%).

汁，一，小

0\15

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

1.已知幕函數(shù)?0=左2丁+1的圖象過點(diǎn)e'目,

則k+a={)

1a

AA.-1BD.3C.工或一2D.2

2222

所以公=1,所以左=±i.又兀0的圖象過點(diǎn)匕’(〕，所

1.答案C解析因?yàn)?(x)=Ff+i是幕函數(shù),

以《)內(nèi)=近，所以〃+1=1，所以a=-1,

17.1

所以k+a=±l—=一■或上.

222222

1

2.函數(shù)的圖象是()

10

3.答案C解析??,函數(shù)y=x"是非奇非偶函數(shù)，故排除A,B選項(xiàng).又》1,故排除D選項(xiàng).

4.基函數(shù)y=2m-

A.-1D.2

4.答案C解析從圖象上看，由于圖象不過原點(diǎn)，且在第一象限下降，故/一2加一3＜0,即一1＜加＜3;

又從圖象看，函數(shù)是偶函數(shù)，故"於一2加一3為負(fù)偶數(shù)，將加=0,1,2分別代入，可知當(dāng)加=1時，2"?—3

=-4,滿足要求.

5.函數(shù)y=X2

1

5.答案B解析y=/的圖象位于第一象限且為增函數(shù)，所以函數(shù)圖象是上升的，函數(shù)y=x2—l的

￡￡

圖象可看作是由y=x"的圖象向下平移一個單位得至U的（如選項(xiàng)A中的圖所示），則1的圖象關(guān)于x軸對

稱的圖象即為選項(xiàng)B.

6.圖中G，Q,C3為三個基函數(shù)y=N在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)左的值依次可以是（）

11

A.—1,」，3B.—1f3,—C.—,—1,3D.3,—1

2222

6.答案A解析根據(jù)底函數(shù)圖象的規(guī)律知，選A.

7.若四個基函數(shù)歹=犬，y=xc,歹=，在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則〃，b,c,d的大小關(guān)系

是()

A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c

7.答案B解析由寡函數(shù)的圖象可知，在(0,1)上號函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象越接近x軸，由題圖

知a>b>c>d,故選B.

8.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)丁=K(4/0)和'的圖象可能是()

a

8.答案C解析選項(xiàng)A中，累函數(shù)的指數(shù)a<0,則直線夕=如一!應(yīng)為減函數(shù)，A錯誤；選項(xiàng)B中，

a

察函數(shù)的指數(shù)則直線y=ax一1應(yīng)為增函數(shù)，B錯誤；選項(xiàng)D中，號函數(shù)的指數(shù)。<0,則一1〉。，直線夕=

aa

"一』在y軸上的截距為正，D錯誤.

a

考點(diǎn)二幕函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

考向1比較幕值大小

【方法總結(jié)】

比較鬲值大小的常見類型及解決方法

(1)同底不同指：利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較

(2)同指不同底：利用基函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較

(3)既不同底又不同指：常常找到一個中間值，通過比較兩個基值與中間值的大小來判斷兩個塞值的大小

【例題選講】

W21

[例2](1)已知°=3工6=4二，c=123則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.a<h<cC.c<b<aD.c<a<b

12

I

答案C解析因?yàn)閍=815,6=165,c=12“由賽函數(shù)y=/在（0,+oo）上為增函數(shù)，知故選C.

42

(2)(2016?全國III)已知〃=23,b=45,c=253,則()

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

42442

答案D解析因?yàn)椤?23,b=45=25,由函數(shù)y=2,在R上為增函數(shù)知，b<a;又因?yàn)椤?2?=4?,c

\_22

=25?=5?,由函數(shù)y=x?在（0,+s）上為增函數(shù)知，a<c,綜上得bva〈c.故選A.

（3）若。=￡^,C=DL,則4,b,。的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.h<c<aD.b<a<c

答案D解析因?yàn)樵诘谝幌笙迌?nèi)是增函數(shù)，所以。=@^>方=8,因?yàn)槭帐菧p函數(shù),

所以a=

隊(duì)=8,所以故選D.

(4)設(shè)〃=0.6%Z>=0.6,\c=1.5°6,則°,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

答案A解析由0.2VO6,0.4<l,并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象可知0.4°2>0.4。，即b>c;因?yàn)椤?2也2>1,b

=0.402<1,所以〃>從綜上，a>b>c.

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

9.若a=2|,6=63,。=83,則/ht。的大小關(guān)系是（

)

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

=[^3,根據(jù)函數(shù)y=x3是R上的增函數(shù)，且（近，得隊(duì)隊(duì)用

9.答案C解析a=2-l

3,即b〈c〈a.

=◎；，6=用；，c=th，則a，b,c的大小關(guān)系是（）

10.若a

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

答案B解析因?yàn)?='衛(wèi)在第一象限內(nèi)為增函數(shù)，所以4=0'>c=因?yàn)閥=d是減函

10.

數(shù)，所以。所以。>。>瓦

11.設(shè)x=0.2%、=0.3。2,2=0.3。3,則x,y,z的大小關(guān)系為（)

A.x<z<yB.y<x<zC.y<z<xD.z<y<x

11.答案A解析由函數(shù)y=03.在R上單調(diào)遞減，可得y>z.由函數(shù)在（0,十刃）上單調(diào)遞增,

可得x〈z.所以x〈zVy.

12.設(shè)a=(g)3,z)=(l)3,=(l)3,則小b,c的大小關(guān)系為(

c)

A.a>c>hB.a>b>cC.c>a>hD.h>c>a

13

12.答案A解析；0<L，指數(shù)函數(shù)尸H在R上單調(diào)遞減，故中二中：又由于幕函數(shù)尸

爐在R上單調(diào)遞增，故(令3>(；)3,/.(1)3<(1)3<(±)3,即XcVQ,故選A.

13.已知。=202,b=0.4°2,c=0.40-75,則()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

13.答案A解析由0.2V0.75V1,并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象可知0.4。、。.型力，即b>c;因?yàn)椤?2。2>1,b

=0.4°-2<1,所以a>b.綜上，a>b>c.

考向2幕函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

【方法總結(jié)】

幕函數(shù)y=片的主要性質(zhì)及解題策略

(1)幕函數(shù)在(0,+8)內(nèi)都有定義，募函數(shù)的圖象都過定點(diǎn)(1,1).

(2)當(dāng)a>0時，塞函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時，塞函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

(1,1),且在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.

(3)當(dāng)a為奇數(shù)時，基函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)a為偶數(shù)時，基函數(shù)為偶函數(shù).

(4)幕函數(shù)的性質(zhì)因幕指數(shù)大于零、等于零或小于零而不同，解題中要善于根據(jù)幕指數(shù)的符號和其他性質(zhì)確定幕

函數(shù)的解析式、參數(shù)取值等.

【例題選講】

[例3]⑴函數(shù)/(x)=(機(jī)2-〃?-1)乂"是幕函數(shù)，且在xW(0,+8)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的值是.

m?-m-1=1,

答案2解析依題意有?解得加=2.

w>0,

(2)己知基函數(shù)外)=(加2—3加+3*〃+】為偶函數(shù)，則加=()

A.1B.2C.1或2D.3

答案A解析:?函數(shù)/(X)為寐函數(shù)，...加-3m+3=l,即陽2—3加+2=0,解得加=1或陽=2.當(dāng)〃7=1時，

幕函數(shù)次幻=/為偶函數(shù)，滿足條件；當(dāng)m=2時，幕函數(shù).危)=尢3為奇函數(shù)，不滿足條件.故選A.

(3)基函數(shù)y=/(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,%)，則./^)是()

A.偶函數(shù)，且在(0,+oo)上是增函數(shù)B.偶函數(shù)，且在(0,+s)上是減函數(shù)

C.奇函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)，且在(0,+8)上是減函數(shù)

答案C解析設(shè)/(x)=k,將點(diǎn)(3,峋代入/(x)=x"，解得a=；,所以/(x)=x3,可知函數(shù)")是奇函數(shù)，

且在(0,+oo)上是增函數(shù)，故選C.

(4)已知事函數(shù)/)=(〃2+2N-2);/7，，(〃丘2)的圖象關(guān)于歹軸對稱,且在(0,+00)上是減函數(shù),則〃的值為()

A.-3B.1C.2D.1或2

2jq--|-—2――1

答案B解析二,幕函數(shù)/(x)=(〃2+2〃-2)x"3〃在(0,+a))上是減函數(shù)，?1'/.??=1,又〃

〃2—3〃<0,

=1時，三%)=》-2的圖象關(guān)于y軸對稱,故〃=1.

14

（5）已知累函數(shù)及）=工2,若火。+1）勺00—2〃），則。的取值范圍是.

I

答案（3,5）解析由題意得，繇函數(shù)兀0=工二的定義域?yàn)椋?,+oo）,且函數(shù)兀v）在（0,+8）上單調(diào)遞減，

〃+1>10—2出

由火〃+1）勺（10—2”），得.〃+〉（），解得3<a<5.

10-2a>0,

_ii

（6）若（〃+1）FV（3-2Q）F,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

解析不等式（。+1）3<（3—2。）3等價于“+1>3—2a>0或3—1<0或“+

7a.

l<0<3—2tz.解得一或“V—1.

32

（7）已知‘幕函數(shù)加）的圖象過點(diǎn)e力，則函數(shù)蛉）=/）+?的最小值為（）

A.1B.2C.4D.6

答案A解析設(shè)蕉函數(shù)加尸M?.兆）的圖象過點(diǎn)I',-.2?=-,解得。=-2..?.函數(shù)/（x）=x-2,其中

4

x/0.?'.函數(shù)g（x）=/（x）+主=x2+工=」+工三2-\/工工=1,當(dāng)且僅當(dāng)工=土/時，g（x）取得最小值1.

44x24\Jx24

（8）對于基函數(shù)兀v）=;J,若0VXIVX2,則人2J,/（*）；於2）的大小關(guān)系是（）

A.欄耳㈣B.FH&ll產(chǎn)c,偌耳山產(chǎn)D.無法確定

4

答案A解析累函數(shù)y（x）=/在（0,+8）是增函數(shù)，大致圖象如圖所示.

設(shè)/（XI.0）,C（X2.0）,其中O<X|<X2,則NC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為|48|=/(?),\CD\=/(x),|明=

■I2

，普耳⑷產(chǎn)，故選人.

'：\EF]>^(\AB\+\CD\),

【對點(diǎn)訓(xùn)練】

14.已知函數(shù)/（x）=（用2—〃Li）1rM2+"L3（mGZ）是幕函數(shù)，且XG（O,+8）時，/（X）是增函數(shù)，則〃?的值為（）

A.-1B.2C.一1或2D.3

14.答案B解析,函數(shù)於）=（陽2—川-1）”+"L3是幕函數(shù)，.?.加2—〃?一]=1,解得加=—1或〃?=2.

又?函數(shù)/（X）在（0,十刃）上為增函數(shù)，，〃產(chǎn)+加一3>0,:.m=2.

15.已知幕函數(shù)外）=（/+2〃-2）"2-3”〃￡2）在（0,+8）上是減函數(shù)，則〃的值為（）

15

A.-3B.1C.2D.1或2

15.答案B解析由于兀v)為纂函數(shù)，所以序+2”-2=1,解得〃=1或”=—3.當(dāng)〃=1時，/)=/

2=」在(0,+8)上是減函數(shù)：當(dāng)〃=—3時，於)=”在(0,+8)上是增函數(shù).故〃=1符合題意.故選B.

X2

16.若塞函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)9'3.則它的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(0,+oo)B.［0,+oo)C.(—co,+oo)D.(—oo,0)

16.答案D解析設(shè)寅x)=f,則2。=%a=-2,即/(x)=x2,它是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,

0).故選D.

17.已知函數(shù)人x)=x2”是定義在區(qū)間［-3一如掰2一汨上的奇函數(shù)，則下列成立的是()

A.人⑼比0)B._/(加)=/(0)C.人⑼刁⑼D.大⑼與人0)大小不確定

17.答案A解析因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是奇函數(shù)，所以-3一zn=0,解得"?=3或-1.當(dāng)，"=3時，

函數(shù)./(x)=/i,定義域不是［-6,6］,不合題意：當(dāng)，”=一1時，函數(shù)/(x)=x3在定義域［-2,2］上單調(diào)遞增,

又，〃<0,所以./(⑼勺(0).

18.設(shè)aw{-2,-I~2'2'1'2},則使/(x)=x〃為奇函數(shù)，且在(0,+s)上單調(diào)遞減的a的值的個數(shù)

是()

A.1B.2C.3D.4

18.答案A解析由/(工)=k在(0,+oo)上單調(diào)遞減，可知”0.又因?yàn)?(x)=F為奇函數(shù)，所以a只

能取一1.

19.塞函數(shù)?0=x"J°"+23(aez)為偶函數(shù)，且./(X)在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，則a等于()

A.3B.4C.5D.6

19.答案C解析因?yàn)?一［0〃+23=伍一5戶一2,火x)=x"fk2gez)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+ao)

上是減函數(shù)，所以(〃-5)2—2<0,從而a=4,5,6,又(〃-5>—2為偶數(shù)，所以只能是a=5,故選C.

20.已知基函數(shù)y=x'"J2，”-3(“7CZ)的圖象與x軸和y軸沒有交點(diǎn)，且關(guān)于y軸對稱，則機(jī)等于()

A.1B.0,2C.-1,1,3D.0,1,2

20.答案C解析?.?嘉函數(shù)了=￡/口"-3佃60的圖象與x軸、y軸沒有交點(diǎn)，且關(guān)于y軸對稱，，小

一2加一3W0,且加2—2加一3(加WZ)為偶數(shù)，由〃於一2加一3W0,得一1W〃?W3,又M￡Z,，加=—1,0,1,2,

3.當(dāng)切=一1時，加2-2機(jī)-3=1+2