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2020年高考物理一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型歸納與變式演練

專題09圓周運(yùn)動七大?？寄Ｐ?/p>

【專題導(dǎo)航】

目錄

題型一水平面內(nèi)圓盤模型的臨界問題-----------------------------------------------1

熱點(diǎn)題型二豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界極值問題_____________________________________3

球一繩模型或單軌道模型______________________________________________________4

球一桿模型或雙軌道模型______________________________________________________6

熱點(diǎn)題型三斜面上圓周運(yùn)動的臨界問題____________________________________________8

熱點(diǎn)題型四圓周運(yùn)動的動力學(xué)問題-------------9

圓錐擺模型___________________________________________________________________9

車輛轉(zhuǎn)彎模型----------------------------------------------------------------11

【題型演練】--------------------------------------------------------------------13

【題型歸納】

題型一水平面內(nèi)圓盤模型的臨界問題

1.與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題

物體間恰好不發(fā)生相對滑動的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力.

(1)如果只是摩擦力提供向心力，則最大靜摩擦力尸m=%，靜摩擦力的方向一定指向圓心.

(2)如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動，其中一個物體存在一個恰不向內(nèi)滑動

的臨界條件和一個恰不向外滑動的臨界條件，分別為靜摩擦力達(dá)到最大且靜摩擦力的方向沿半徑背離圓心

和沿半徑指向圓心.

2.與彈力有關(guān)的臨界極值問題

(1)壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零.

(2)繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且其上無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力.

【例1】(多選)如圖所示，兩個可視為質(zhì)點(diǎn)的、相同的木塊A和B放在轉(zhuǎn)盤上，兩者用長為乙的細(xì)繩連接，

木塊與轉(zhuǎn)盤的最大靜摩擦力均為各自重力的K倍，4放在距離轉(zhuǎn)軸心處，整個裝置能繞通過轉(zhuǎn)盤中心的轉(zhuǎn)

軸002轉(zhuǎn)動，開始時，繩恰好伸直但無彈力，現(xiàn)讓該裝置從靜止開始轉(zhuǎn)動，使角速度緩慢增大，以下說法

正確的是（）

A.當(dāng)CD>時，A、8相對于轉(zhuǎn)盤會滑動

黑,繩子一定有彈力

B.當(dāng)a)>

C.①在范圍內(nèi)增大時，8所受摩擦力變大

D.①在Ovco范圍內(nèi)增大時，4所受摩擦力一直變大

【答案】ABD

【解析】當(dāng)4、8所受摩擦力均達(dá)到最大值時，A、B相對轉(zhuǎn)盤即將滑動，K>ng+Km^moj2L+ma）2-2L,

解得：。=、修，A項正確；當(dāng)5所受靜摩擦力達(dá)到最大值后，繩子開始有彈力，即：Kmg=m-2Lco2,

解得。=、償，可知當(dāng)時，繩子有彈力，B項正確：當(dāng)。時，8已達(dá)到最大靜摩擦力，則

/在、/范圍內(nèi)增大時’8受到的摩擦力不變，C項錯誤；”在范圍內(nèi)，A相對轉(zhuǎn)

盤是靜止的，A所受摩擦力為靜摩擦力，所以勺一弓="也皿，當(dāng)3增大時，靜摩擦力也增大，D項正確.

【變式1］（多選）（2019?重慶市江津中學(xué)月考）摩擦傳動是傳動裝置中的一個重要模型，如圖所示的兩個水

平放置的輪盤靠摩擦力傳動，其中0、。'分別為兩輪盤的軸心，已知兩個輪盤的半徑比，%：、=3：1,且

在正常工作時兩輪盤不打滑.今在兩輪盤上分別放置兩個同種材料制成的完全相同的滑塊4、B,兩滑塊與

輪盤間的動摩擦因數(shù)相同，兩滑塊距離軸心0、（7的間距冬=2/?..若輪盤乙由靜止開始緩慢地轉(zhuǎn)動起來，

且轉(zhuǎn)速逐漸增加，則下列敘述正確的是（）

A.滑塊A和B在與輪盤相對靜止時,角速度之比為。甲：。乙=1:3

B.滑塊4和B在與輪盤相對靜止時,向心加速度的比值為耙：a=2:9

C.轉(zhuǎn)速增加后滑塊8先發(fā)生滑動D.轉(zhuǎn)速增加后兩滑塊一起發(fā)生滑動

【答案】ABC

【解析】由題意可知兩輪盤邊緣的線速度大小相等，由v=5,<：1=3：1,可得%，:乙=1：3,所

以滑塊相對輪盤滑動前,4、8的角速度之比為1：3,故A正確；滑塊相對盤開始滑動前，根據(jù)加速度公式a

=Ra）2,又代：h=2：1,%：to=l：3,所以4、8的向心加速度之比為見：勺=2：9,故B正確；滑塊的

最大靜摩擦力分別為/^1=g，F(xiàn)S，則最大靜摩擦力之比為「：48=嗎：〃，8；轉(zhuǎn)動中所受的靜摩擦

力之比為:Ffg'=mAaA：%%=啊：4.5〃%,由上可得滑塊8先達(dá)到最大靜摩擦力而先開始滑動，故C正確，

D錯誤.

【變式2］（多選）（2019?廣東省惠州市第二次調(diào)研）如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，沿半徑方向放著用

細(xì)繩相連的質(zhì)量均為根的兩個物體A和8,它們分居圓心兩側(cè)，與圓心距離分別為勺=心勺=2「，與盤間

的動摩擦因數(shù)〃相同，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速緩慢加快到兩物體剛好要發(fā)生滑動時，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，

則下列說法正確的是（）

A.此時繩子張力為3〃mgB.此時A所受摩擦力方向沿半徑指向圓內(nèi)

C.此時圓盤的角速度為、D.此時燒斷繩子，A仍相對盤靜止，B將做離心運(yùn)動

【答案】AC

【解析】兩物體A和8隨著圓盤轉(zhuǎn)動時，合外力提供向心力，則尸=m32r,8的半徑比A的半徑大，所

以B所需向心力大，細(xì)繩拉力相等，所以當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時，B的靜摩擦力方

向指向圓心，4的最大靜摩擦力方向指向圓外，有相對圓盤沿半徑指向圓內(nèi)的運(yùn)動趨勢，根據(jù)牛頓第二定律

得：F.r—fimg—mco2r,Fy+i，img=mco2-2r,解得：F7—ifimg,a）=故A、C正確，B錯誤.燒斷細(xì)

繩瞬間A物體所需的向心力為2〃wg,此時燒斷細(xì)繩，A的最大靜摩擦力不足以提供向心力，則A做離心運(yùn)

動，故D錯誤.

熱點(diǎn)題型二豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動的臨界極值問題

1.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動兩類模型

一是無支撐（如球與繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動的過山車等，稱為'輕繩模型"，二是有支撐（如球與桿連接、在彎

管內(nèi)的運(yùn)動等），稱為''輕桿模型

2.豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動的兩種模型特點(diǎn)及求解方法

輕繩模型輕桿模型

實例如球與繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動的球等如球與桿連接、球在內(nèi)壁光滑的圓管內(nèi)運(yùn)動等

最高點(diǎn)無支撐最高點(diǎn)有支撐

圖示

受

力

重力、彈力，彈力方向向下或等于零重力、彈力，彈力方向向下、等于零或向上

特

征

受

最力

高示

點(diǎn)思、

圖

力

學(xué)

,_V2_V2

特

征

臨

界

FN=0，匕『詼豎直向上的五N=Mg，V=0

特

征

過最高

v>y[grv>0

點(diǎn)條件

①當(dāng)v=0時，F(xiàn)N=mg,八為支持力，沿半徑背

離圓心

速度和①能過最高點(diǎn)時，v>y[gr,F+mg=nr^,繩、

N②當(dāng)?時,一/^+"吆=m￡，%背離圓心，

彈力關(guān)

軌道對球產(chǎn)生彈力為尸N

隨V的增大而減小

系討論②不能過最高點(diǎn)時，丫<而，在到達(dá)最高點(diǎn)前小

③當(dāng)廿=詼時，rN=o

分析球已經(jīng)脫離了圓軌道做斜拋運(yùn)動

④當(dāng)6/跡時，F(xiàn)N+mg=my-f五N指向圓心并隨

V的增大而增大

球一繩模型或單軌道模型

【例2】（多選）（2019?哈爾濱三中期中）如圖所示，長為L的細(xì)繩一端拴一質(zhì)量為加小球，另一端固定在O

點(diǎn)，繩的最大承受能力為11〃吆，在。點(diǎn)正下方0,點(diǎn)有一小釘，先把繩拉至水平再釋放小球，為使繩不被拉

斷且小球能以為軸完成豎直面完整的圓周運(yùn)動，則釘?shù)奈恢玫?。點(diǎn)的距離為（）

0,----------?

I

?i

（■

I

I

A.最小為|乙B.最小為|乙C.最大為D.最大為缸

【答案】BC

【解析】當(dāng)小球恰好到達(dá)圓周運(yùn)動的最高點(diǎn)時小球的轉(zhuǎn)動半徑為r,重力提供向心力，則有根據(jù)

機(jī)械能守恒定律可知，—2廠）=協(xié)2,聯(lián)立解得：故釘?shù)奈恢玫?。點(diǎn)的距離為—|乙=|乙；當(dāng)小

球轉(zhuǎn)動時，恰好達(dá)到繩子的最大拉力時，即F=ll，〃g,此時一定處在最低點(diǎn)，設(shè)半徑為/?,則有：11〃陪一

感=磺，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知，〃他=%%，聯(lián)立解得：R==L,故此時離最高點(diǎn)距離就L,則可知,

距離最小為京，距離最大為V,故B、C正確，A、D錯誤.

【變式1】（2019?福州質(zhì)檢）如圖所示，長均為L的兩根輕繩，一端共同系住質(zhì)量為小的小球，另一端分別

固定在等高的A、B兩點(diǎn),A、8兩點(diǎn)間的距離也為L.重力加速度大小為g.現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以4B為

軸做圓周運(yùn)動，若小球在最高點(diǎn)速率為v時，兩根輕繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點(diǎn)速率為2V時，

每根輕繩的拉力大小為（）

C.3mgD.2木mg

【答案】A

【解析】小球在運(yùn)動過程中，4、8兩點(diǎn)與小球所在位置構(gòu)成等邊三角形，由此可知，小球圓周運(yùn)動的半徑

R=Lsin60。=坐L兩繩與小球運(yùn)動半徑方向間的夾角為30。，由題意，小球在最高點(diǎn)的速率為v時，mg

P2（2v）2

="仄，當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速率為2y時，應(yīng)有：F+mg=t?i一~Q—,可解得：F=3mg.^B2FTcos30°=F,可

得兩繩的拉力大小均為心=小m8，A項正確.

【變式2】（2018?甘肅省蘭州一中模擬）如圖甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為機(jī)的小球，在豎直平面內(nèi)做

圓周運(yùn)動（不計一切阻力），小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時繩對小球的拉力為弓，小球在最高點(diǎn)的速度大小為V，其

仁一門圖象如圖乙所示，則（）

A.輕質(zhì)繩長為了B.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣如?/p>

C.當(dāng)V2=C時，輕質(zhì)繩最高點(diǎn)拉力大小嘴+”D.若V2=b,小球運(yùn)動到最低點(diǎn)時繩的拉力為6a

【答案】ABD

V2V2（1

【解析】在最高點(diǎn)，F(xiàn)'+mg=nrLf,解得：7*="方L-j一"吆，可知縱截t距il的絕對值為g=2，圖線的

斜率可費(fèi)解得繩子的長度3等，故A、B正確；當(dāng)片c時，輕質(zhì)繩的拉力大小為：

端-a,故C錯誤；當(dāng)V2=b時拉力為零，到最低點(diǎn)時根據(jù)動能定理得：2〃3=；,嗎2一1％根據(jù)牛頓

第二定律：F^-mg=nrf,聯(lián)立以上可得拉力為：FT'=6mg=6a,故D正確.

【變式2】如圖所示，半徑為R的光滑半圓軌道豎直放置，一小球以某一速度進(jìn)入半圓軌道，通過最高點(diǎn)P

時，對軌道的壓力為其重力的一半，不計空氣阻力，則小球落地點(diǎn)到尸點(diǎn)的水平距離為（）

4）

A.啦RB.小RC乖RD.aR

【答案】D

【解析】小球從尸點(diǎn)飛出后，做平拋運(yùn)動，設(shè)做平拋運(yùn)動的時間為/，則2/?=5&,解得/=2優(yōu)，在最高

點(diǎn)P時、有〃?g+]g=喏，解得v=/小，因此小球落地點(diǎn)到P點(diǎn)的水平距離為尤="=癇，選項D

正確.

球一桿模型或雙軌道模型

【例3】（2019?煙臺模擬）一輕桿一端固定質(zhì)量為〃?的小球，以另一端。為圓心，使小球在豎直面內(nèi)做半徑

為R的圓周運(yùn)動，如圖所示，則下列說法正確的是（）

\0:

、/

A.小球過最高點(diǎn)時，桿所受到的彈力可以等于零

B.小球過最高點(diǎn)的最小速度是赤

C.小球過最高點(diǎn)時，桿對球的作用力一定隨速度增大而增大

D.小球過最高點(diǎn)時，桿對球的作用力一定隨速度增大而減小

【答案】A

【解析】輕桿可對小球產(chǎn)生向上的支持力，小球經(jīng)過最高點(diǎn)的速度可以為零，當(dāng)小球過最高點(diǎn)的速度v=，尿

時，桿所受的彈力等于零，A正確，B錯誤：若vV屈，則桿在最高點(diǎn)對小球的彈力豎直向上，〃吆一F=

，點(diǎn)，隨v增大，F(xiàn)減小，若丫＞\/麗則桿在最高點(diǎn)對小球的彈力豎直向下，〃吆+尸=臉，隨v增大，F(xiàn)

增大，故C、D均錯誤.

【變式1】（2019?山東省濟(jì)南一中期中）一輕桿一端固定質(zhì)量為機(jī)的小球，以另一端。為圓心，使小球在豎

直面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動，如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.小球過最高點(diǎn)時，桿所受到的彈力可以等于零

B.小球過最高點(diǎn)的最小速度是\屣

C.小球過最高點(diǎn)時，桿對球的作用力一定隨速度增大而增大

D.小球過最高點(diǎn)時，桿對球的作用力一定隨速度增大而減小

【答案】A

【解析】當(dāng)小球到達(dá)最高點(diǎn)彈力為零時，有mg=，瞪,解得v=強(qiáng),即當(dāng)速度丫=痂時，輕桿所受的

彈力為零，所以A正確.小球通過最高點(diǎn)的最小速度為零，所以B錯誤.小球在最高點(diǎn)，若則有:

mg-F=m^,輕桿的作用力隨著速度的增大先減小后反向增大，若v"函則有：mg+F=，端,輕桿的作

用力隨著速度增大而增大，所以C、D錯誤.

【變式2】如圖所示，一個固定在豎直平面上的光滑半圓形管道，管道里有一個直徑略小于管道內(nèi)徑的小球,

小球在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動，從8點(diǎn)脫離后做平拋運(yùn)動，經(jīng)過0.3s后又恰好與傾角為45。的斜面垂直相碰.已

知半圓形管道的半徑為R=lm,小球可看做質(zhì)點(diǎn)且其質(zhì)量為"?=lkg,g取10m/s2.則（）

A.小球在斜面上的相碰點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離是0.9m

B.小球在斜面上的相碰點(diǎn)C與8點(diǎn)的水平距離是1.9m

C.小球經(jīng)過管道的B點(diǎn)時，受到管道的作用力尸師的大小是1N

D.小球經(jīng)過管道的8點(diǎn)時，受到管道的作用力尸帥的大小是2N

【答案】AC.

【解析】根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律，小球在C點(diǎn)的豎直分速度\=gf=3m/s,水平分速度匕=v、,tan45o=3m/s,

則8點(diǎn)與。點(diǎn)的水平距離為x="=0.9m,選項A正確，B錯誤；在8點(diǎn)設(shè)管道對小球的作用力方向向下，

根據(jù)牛頓第二定律，有尸附+件=喏，=3m/s,解得々『-IN,負(fù)號表示管道對小球的作用力方

向向上，選項C正確，D錯誤.

熱點(diǎn)題型三斜面上圓周運(yùn)動的臨界問題

在斜面上做圓周運(yùn)動的物體，因所受的控制因素不同，如靜摩擦力控制、輕繩控制、輕桿控制，物體的受

力情況和所遵循的規(guī)律也不相同.

［例4］（2019?江西吉安一中段考）如圖所示，一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度3

轉(zhuǎn)動，盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止，物體與盤面間的動摩擦因數(shù)為千（設(shè)

最大靜摩擦力等于滑動摩擦力），盤面與水平面的夾角為30。，g取10m/s2,則3的最大值是（）

C.1.0rad/sD.0.5rad/s

【答案】C

【解析】當(dāng)物體轉(zhuǎn)到圓盤的最低點(diǎn)，所受的靜摩擦力沿斜面向上達(dá)到最大時，角速度最大，由牛頓第二

定律得：M/ngcos30°—mgsin30°=加。2r

(“cos30°-sin30°)

rad/s=1.0rad/s，故選項C正確.

【變式】.（2019?沈陽東北育才中學(xué)模擬）如圖所示，在傾角0=30。的光滑斜面上，長為L的細(xì)線一端固定，

另一端連接質(zhì)量為根的小球，小球在斜面上做圓周運(yùn)動，A、B分別是圓弧的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，若小球在4

8點(diǎn)做圓周運(yùn)動的最小速度分別為匕、/，重力加速度為g，則（）

A.vA=0c.

【答案】C

【解析】在A點(diǎn)，對小球，臨界情況是繩子的拉力為零，小球靠重力沿斜面方向的分力提供向心力，根據(jù)

牛頓第二定律得：mgsine=,w/,解得A點(diǎn)的最小速度為：依，對A8段過程研究，根據(jù)機(jī)械能守

恒得：］?唱+"?g-2Lsin30。=%?%，解得B點(diǎn)的最小速度為：%=、/嚶=!\爪蕨，故C正確，A、B、D

錯誤.

熱點(diǎn)題型四圓周運(yùn)動的動力學(xué)問題

1.向心力的來源

向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力

的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個向心力.

2.運(yùn)動模型

圓錐擺模型

I.結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：一根質(zhì)量和伸長可以不計的輕細(xì)線，上端固定，下端系一個可以視為質(zhì)點(diǎn)的擺球在水平面內(nèi)

做勻速圓周運(yùn)動，細(xì)繩所掠過的路徑為圓錐表面。

2.受力特點(diǎn)：擺球質(zhì)量為〃？，只受兩個力即豎直向下的重力機(jī)g和沿擺線方向的拉力尸。兩個力的合力,

T

就是擺球做圓周運(yùn)動的向心力F,如圖所示（也可以理解為拉力尸的豎直分力與擺球的重力平衡，F(xiàn)的

nTr

水平分力提供向心力）。

3.運(yùn)動特點(diǎn)：擺長為/，擺線與豎直方向的夾角為e的圓錐擺，擺球做圓周運(yùn)動的圓心是o,圓周運(yùn)動的

軌道半徑是r=/sin。

向心力F-mgtan0=ma=mco2/sin0=mv2/（/sin0）

合?

擺線的拉力F=mg/cosO

T

討論：（1）當(dāng)擺長一定，擺球在同一地點(diǎn)、不同高度的水平面內(nèi)分別做勻速圓周運(yùn)動時，據(jù)cos。=g/（（02/）

可知，若角速度8越大，則9越大，擺線拉力E"=〃?g/cos9也越大，向心加速度a=gtan8也越大，

1n

線速度U=3r=Jg/sinOtanO也越大。

結(jié)論是：同一圓錐擺，在同一地點(diǎn)，若。越大，則擺線的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，轉(zhuǎn)

動的越快，運(yùn)動的也越快，。

（2）當(dāng)/cosO為定值時（/cos。=〃為擺球的軌道面到懸點(diǎn)的距離h,即圓錐擺的高度），擺球的質(zhì)量相等、

擺長不等的圓錐擺若在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，則擺線拉力0=mg/cos9,向心力

/人=mgtan。，向心加速度a=gtan。，角速度co=Jg/h,線速度串一①八一。

合nv

、、、?8-?*/

結(jié)論是：在同一地點(diǎn)，擺球的質(zhì)量相等、擺長不等但高度相同的圓錐擺，轉(zhuǎn)動的快慢相等，但。角大的圓

錐擺，擺線的拉力大，向心力大，向心加速度大，運(yùn)動得快。

【例5】如圖所示，一根細(xì)線下端拴一個金屬小球4,細(xì)線的上端固定在金屬塊8上，B放在帶小孔的水平

桌面上，小球A在某一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動.現(xiàn)使小球A改到一個更低一些的水平面上做勻速圓周運(yùn)

動（圖上未畫出），金屬塊B在桌面上始終保持靜止，則后一種情況與原來相比較，下面的判斷中正確的是

A.金屬塊8受到桌面的靜摩擦力變大B.金屬塊8受到桌面的支持力減小

C.細(xì)線的張力變大D.小球A運(yùn)動的角速度減小

【答案】D

【解析】.設(shè)A、8質(zhì)量分別為切、M,A做勻速圓周運(yùn)動的向心加速度為a,細(xì)線與豎宜方向的夾角為仇

對B研究，8受到的靜摩擦力/=Tsind對A,有：Tsin9^ma,Teos。=mg,解得a=gtan。，。變小，a

減小，則靜摩擦力大小變小，故A錯誤；以整體為研究對象知，8受到桌面的支持力大小不變，應(yīng)等于（M

+〃?）g,故B錯誤；細(xì)線的拉力7=皆，。變小，T變小，故C錯誤；設(shè)細(xì)線長為/,貝I]a=gtan?=o2sin

0,3=、/潦％，。變小，。變小，故D正確.

【變式】兩根長度不同的細(xì)線下面分別懸掛兩個小球，細(xì)線上端固定在同一點(diǎn)，若兩個小球以相同的角速

度，繞共同的豎直軸在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動，則兩個擺球在運(yùn)動過程中，相對位置關(guān)系示意圖正確的

是（）

【答案】B

【解析】小球做勻速圓周運(yùn)動，對其受力分析如圖所示，則有，咫tangfisLsin仇整理得：Leos。=玄,

則兩球處于同一高度，故B正確.

車輛轉(zhuǎn)彎模型

1、受力分析：如圖所示火車受到的支持力和重力的合力水平指向圓心，成為使火車拐彎的向心力。

2、動力學(xué)方程：根據(jù)牛頓第二定律得

V2

mgtan0=

其中〃是轉(zhuǎn)彎處軌道的半徑，方是使內(nèi)外軌均不受側(cè)向力的最佳速度。

3、分析結(jié)論：解上述方程可知

1=JgrtanO可見，最佳情況是由,、廠、。共同決定的。

當(dāng)火車實際速度為v時，可有三種可能，

當(dāng)丫=、時，內(nèi)外軌均不受側(cè)向擠壓的力；

當(dāng)V>V°時，外軌受到側(cè)向擠壓的力（這時向心力增大，外軌提供一部分力方

當(dāng)V丫0時，內(nèi)軌受到側(cè)向擠壓的力（這時向心力減少，內(nèi)軌抵消一部分力）。

還有一些實例和這一模型相同，如自行車轉(zhuǎn)彎，高速公路上汽車轉(zhuǎn)彎等等

［例6］如圖所示為賽車場的一個水平“梨形”賽道，兩個彎道分別為半徑R=90m的大圓弧和r=40m的小

圓弧，直道與彎道相切.大、小圓弧圓心O、。，距離L=100m.賽車沿彎道路線行駛時;路面對輪胎的最

大徑向靜摩擦力是賽車重力的2.25倍.假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運(yùn)動，在彎道上做勻速圓周運(yùn)動.要

使賽車不打滑，繞賽道一圈時間最短（發(fā)動機(jī)功率足夠大，重力加速度g=10m/s2,兀=3.14）,則賽車（）

A.在繞過小圓弧彎道后加速B.在大圓弧彎道上的速率為45m/s

C.在直道上的加速度大小為5.63m/s2D.通過小圓弧彎道的時間為5.58s

【答案】AB.

【解析】因賽車在圓弧彎道上做勻速圓周運(yùn)動，由向心力公式有尸=小三，則在大小圓弧彎道上的運(yùn)動速率

IX

分別為V,=;/=45m/s,v八=、店=-\J22^r=30m/s,可知賽車在繞過小圓弧彎

道后做加速運(yùn)動，則A、B項正確；由幾何關(guān)系得直道長度為B="上一（R—r）2=5gm,由運(yùn)動學(xué)公

式嗎一嗎=2ad,得賽車在直道上的加速度大小為a=6.50m/s2,則C項錯誤；賽車在小圓弧彎道上運(yùn)動時

間/=袈=2.79$,則D項錯誤.

3v

小

【變式】（2019?甘肅省蘭州一中模擬）在修筑鐵路時，彎道處的外軌會略高于內(nèi)軌.如圖所示，當(dāng)火車以規(guī)

定的行駛速度轉(zhuǎn)彎時,內(nèi)、外軌均不會受到輪緣的擠壓，設(shè)此時的速度大小為v,重力加速度為g,兩軌所

在面的傾角為。，則（）

42

A.該彎道的半徑rB.當(dāng)火車質(zhì)量改變時，規(guī)定的行駛速度大小不變

gtanf)

C.當(dāng)火車速率大于v時，內(nèi)軌將受到輪緣的擠壓D.當(dāng)火車速率大于v時，外軌將受到輪緣的擠壓

【答案】ABD

【解析】火車轉(zhuǎn)彎時不側(cè)向擠壓車輪輪緣，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得:

/z/^tan8=nry,解得：尸且工：夕故A正確；根據(jù)牛頓第二定律得：mgtan0=m^,解得：v=\Jgrtnnf）,可

知火車規(guī)定的行駛速度與質(zhì)量無關(guān)，故B正確；當(dāng)火車速率大于v時，重力和支持力的合力不足以提供向

心力，此時外軌對火車有側(cè)壓力，輪緣擠壓外軌，故C錯誤，D正確.

【題型演練】

1.（多選）公路急轉(zhuǎn)彎處通常是交通事故多發(fā)地帶.如圖所示，某公路急轉(zhuǎn)彎處是一圓弧，當(dāng)汽車行駛的速

率為匕時，汽車恰好沒有向公路內(nèi)、外兩側(cè)滑動的趨勢，則在該彎道處（）

A.路面外側(cè)高、內(nèi)側(cè)低

B.車速只要低于匕，車輛便會向內(nèi)側(cè)滑動

C.車速雖然高于匕，但只要不超出某一最高限度，車輛便不會向外側(cè)滑動

D.當(dāng)路面結(jié)冰時，與未結(jié)冰時相比，匕的值變小

【答案】AC

【解析】當(dāng)汽車行駛的速度為t時，路面對汽車沒有摩擦力，路面對汽車的支持力與汽車重力的合力提

供向心力，此時要求路面外側(cè)高、內(nèi)側(cè)低，選項A正確.當(dāng)速度稍大于匕時，汽車有向外側(cè)滑動的趨勢，

因而受到向內(nèi)側(cè)的摩擦力，當(dāng)摩擦力小于最大靜摩擦力時，車輛不會向外側(cè)滑動，選項C正確.同樣，速

度稍小于0時，車輛不會向內(nèi)側(cè)滑動，選項B錯誤.v,的大小只與路面的傾斜程度和轉(zhuǎn)彎半徑有關(guān)，與路

面的粗糙程度無關(guān)，D錯誤.

2.（多選）（2018?河北省“名校聯(lián)盟”質(zhì)量監(jiān)測一）如圖為過山車以及軌道簡化模型，過山車車廂內(nèi)固定一安全

座椅，座椅上乘坐“假人”，并系好安全帶，安全帶恰好未繃緊，不計一切阻力，以下判斷正確的是（）

A.過山車在圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動

B.過山車在圓軌道最高點(diǎn)時的速度應(yīng)至少等于屈

C.過山車在圓軌道最低點(diǎn)時，假人”處于失重狀態(tài)

D.若過山車能順利通過整個圓軌道，在最高點(diǎn)時安全帶對，假人”一定無作用力

【答案】BD

【解析】過山車在運(yùn)動過程中，重力勢能和動能相互轉(zhuǎn)化，即速度大小在變化，所以不是做勻速圓周運(yùn)

動，A錯誤；在最高點(diǎn)重力完全充當(dāng)向心力時，速度最小，故有"第=，"方，解得v=yj^，B正確；在最低

點(diǎn)，“假人”受到豎直向上指向圓心的加速度，故處于超重狀態(tài)，C錯誤；若過山車能順利通過整個圓軌道，

即在最高點(diǎn)重力充當(dāng)向心力，或重力和座椅對“假人”的支持力的合力充當(dāng)向心力，所以安全帶對“假人”一定

無作用力，D正確.

3.（2019?湖南懷化聯(lián)考）質(zhì)量為m的小球由輕繩”和b分別系于一輕質(zhì)細(xì)桿的B點(diǎn)和A點(diǎn)，如圖所示，繩a

與水平方向成。角，繩人在水平方向且長為/,當(dāng)輕桿繞軸AB以角速度。勻速轉(zhuǎn)動時，小球在水平面內(nèi)做

勻速圓周運(yùn)動，則下列說法正確的是（）

A.。繩的張力可能為零B.。繩的張力隨角速度的增大而增大

C.當(dāng)角速度。＞寸誓，。繩將出現(xiàn)彈力D.若繩突然被剪斷，則。繩的彈力一定發(fā)生變化

【答案】C

【解析】由于小球，〃的重力不為零，a繩的張力不可能為零，力繩的張力可能為零，選項A錯誤；由于a

繩的張力在豎直方向的分力等于重力，所以a繩的張力隨角速度的增大而不變，。繩的張力隨角速度的增大

而增大，選項B錯誤；若方繩中的張力為零，設(shè)〃繩中的張力為尸，對小球FsinG=mg,Feos0=mco2l,

聯(lián)立解得：。=7s即當(dāng)角速度。＞八繩將出現(xiàn)彈力，選項c正確；若3=7sb

繩突然被剪斷，則“繩的彈力不發(fā)生變化，選項D錯誤.

4.如圖甲所示,輕桿一端固定在0點(diǎn)，另一端固定一小球,現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動.小

球運(yùn)動到最高點(diǎn)時，桿與小球間彈力大小為尸產(chǎn)小球在最高點(diǎn)的速度大小為小其F/W圖象如圖乙所示?則

)

R

A.小球的質(zhì)量為不B.當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮?/p>

C.v2=c時，在最高點(diǎn)桿對小球的彈力方向向上D.V2=2b時，在最高點(diǎn)桿對小球的彈力大小為2a

【答案】A

【解析】由圖乙可知當(dāng)小球運(yùn)動到最高點(diǎn)時，若V2=b,則外=0,輕桿既不向上推小球也不向下拉小球，

mv?h

這時由小球受到的重力提供向心力，即團(tuán)g=上，得P2=gR=b,故g=/，B錯誤；當(dāng)U2>b時，輕桿向下

拉小球，C錯誤；當(dāng)V2=0時，輕桿對小球彈力的大小等于小球重力，即。=,圖，代入g=/得小球的質(zhì)量〃7

=書A正確；當(dāng)v2=2b時，由向心力公式得尸+〃吆得桿的拉力大小F=〃?g,故尸="，D錯誤.

5.如圖，疊放在水平轉(zhuǎn)臺上的物體A、B、C能隨轉(zhuǎn)臺一起以角速度/勻速轉(zhuǎn)動，A、B、C的質(zhì)量分別為

3m,2m,m,A與8、B和C與轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)都為〃，AB整體、C離轉(zhuǎn)臺中心的距離分別為八1.5兀

設(shè)本題中的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說法正確的是（）

A.B對A的摩擦力一定為3〃mgB.B對A的摩擦力一定為3機(jī)”2r

C.轉(zhuǎn)臺的角速度一定滿足：、杵D.轉(zhuǎn)臺的角速度一定滿足：c區(qū)、管

【答案】BD

【解析】A做圓周運(yùn)動的向心力由B對A的摩擦力提供，由牛頓第二定律及向心加速度公式有：器

B項正確；AB整體恰好未發(fā)生相對轉(zhuǎn)臺的滑動時，"⑶〃+2,〃）g=（3,〃+2m）02r,解得角速度最大值為。=

C恰好未發(fā)生相對滑動時，〃"?g=L5m”2r,解得：”=、管，所以D選項正確.

6.如圖所示，兩根長度相同的細(xì)線分別系有兩個完全相同的小球，細(xì)線的上端都系于0點(diǎn)，設(shè)法讓兩個小

球均在水平面上做勻速圓周運(yùn)動.已知A跟豎直方向的夾角為60。，4跟豎直方向的夾角為30°，下列說法

正確的是（）

mI￥~；一」

A.細(xì)線4和細(xì)線4所受的拉力之比為?。?B.小球勺和巧的角速度大小之比為?。?

C.小球嗎和嗎的向心力大小之比為3：1D.小球嗎和飛的線速度大小之比為3小：1

【答案】AC

【解析】.對任一小球進(jìn)行研究，設(shè)細(xì)線與豎直方向的夾角為仇豎直方向受力平衡，則7cos0=,"g,解得7

=齡，所以細(xì)線A和細(xì)線4所受的拉力大小之比戒=笈茶=中，故A正確；小球所受合力的大小

vOoxJI，IUU1

為加gtan根據(jù)牛頓第二定律得加gtan0=mLco2sin仇得①2=7烹力，故兩小球的角速度大小之比為等=

*\Jcos60o=,故B錯誤；小球所受合力提供向心力，則向心力為F=，〃gtan仇小球和,電的向心力

大小之比為3=黑第=3,故C正確.兩小球角速度大小之比為：1,由i，=w得線速度大小之比為

V^/3:1,故D錯誤.

6.（2019?遼寧大連模擬）如圖所示，在雙人花樣滑冰運(yùn)動中，有時會看到被男運(yùn)動員拉著的女運(yùn)動員離開地面

在空中做圓錐擺運(yùn)動的精彩場面，目測體重為G的女運(yùn)動員做圓錐擺運(yùn)動時和水平冰面的夾角約為30。，重

力加速度為g，估算知該女運(yùn)動員（）

A.受到的拉力為GB.受到的拉力為2GC.向心加速度為3gD.向心加速度為2g

【答案】B

【解析】對女運(yùn)動員受力分析如圖所示，尸i=Fcos30。，F(xiàn)2=Fsin30。，F(xiàn)=G,由牛頓第二定律得儲=ma,

所以”=\/5g,F=2G,B正確.

7.（2019?北京東城區(qū)模擬）長為L的輕桿，一端固定一個小球，另一端固定在光滑的水平軸上，使小球在豎直

平面內(nèi)做圓周運(yùn)動.關(guān)于小球在最高點(diǎn)的速度v,下列說法中正確的是（）

A.當(dāng)丫=點(diǎn)時，輕桿對小球的彈力為零

B.當(dāng)v由癡逐漸增大時，輕桿對小球的拉力逐漸增大

C.當(dāng)v由雇逐漸減小時;輕桿對小球的支持力逐漸減小

D.當(dāng)u由零逐漸增大時，向心力也逐漸增大

【答案】ABD

【解析】在最高點(diǎn)輕桿對小球的作用力為0時，由牛頓第二定律得利?=貸，v=癡，A正確；當(dāng)v＞癡

時，輕桿對小球有拉力，貝ljF+，〃g=賢，v增大，下增大，B正確；當(dāng)病時，輕桿對小球有支持力，

則"g-^=臂，v減小，F(xiàn)增大,C錯誤；由尸面=詈知，v增大，向心力增大，D正確.

8.（2019?湖南衡陽模擬）輕桿一端固定有質(zhì)量為m=lkg的小球，另一端安裝在水平軸上，轉(zhuǎn)軸到小球的距離

為50cm,轉(zhuǎn)軸固定在三角形的帶電動機(jī)（電動機(jī)沒畫出來）的支架上，在電動機(jī)作用下，輕桿在豎直面內(nèi)做

勻速圓周運(yùn)動，如圖所示.若轉(zhuǎn)軸達(dá)到某一恒定轉(zhuǎn)速〃時，在最高點(diǎn)，桿受到小球的壓力為2