高考數(shù)學2022-2023學年福建省南平市提升仿真模擬試題（一模二模）含解析

【高考數(shù)學】2022-2023學年福建省南平市專項提升仿真模擬試題

(一模)

一、單項選一選：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知復數(shù)2+i,則復數(shù)z的虛部為()

812

-5D.T

A.B.5C.5

A二{X|T?X<3},集合8={x|x2a}

2.設集合一,若AC,則”的取值范圍為()

A.a>3B.一14。43C.a"1D.a-

3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，下列與“至少一枚硬幣正面朝上”互為對立的是()

A.至多一枚硬幣正面朝上B.只有一枚硬幣正面朝上

C.兩枚硬幣反面朝上D.兩枚硬幣正面朝上

4.《九章算術》中將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉席.如圖，在正方體

ABCD-AaCR中,當E分別與4,5i,G,"重合時，所形成的四面體中

5.在單位圓中，己知角a的終邊與單位圓交于點2I"2'，現(xiàn)將角a的終邊按逆時針方向

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7T

旋轉(zhuǎn)3，記此時角0的終邊與單位圓交于點。,則點。的坐標為()

<61、'1百、

<2,2>c（1，°）D.仲)

A.B.

6.在A題中,若t"+3）=“

貝ijtan2C=（）

_V2

c.OD.2V2

A.-2五B.2

7.若點是拋物線「=2px(P>0)上一點，點A到該拋物線焦點的距離為

6,則〃二()

A.B.2C.3D.4

X]-x2—"ln―->0

W(1，3］當王<工2時，3

8.時任意的X%恒成立，則實數(shù)。的取值范圍

是()

AI?，+00)(3,+8)C[9,+oc）D.（%+8）

B.

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.支氣管炎患者會咳嗽失眠，給患者日常生活帶來嚴重的影響.某醫(yī)院老年患者率為20%,中

年患者率為30%,青年患者率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青

年患者，則()

A.若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應抽取12人

4

B.該醫(yī)院青年患者所占的頻率為15

C.該醫(yī)院的平均率為28.7%

D.該醫(yī)院的平均率為31.3%

/■(x)=sin(6ox+^)|?>0,|^|<—|—

10.已知函數(shù).12J的任意兩條對稱軸間的最小距離為2,函數(shù)

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g（x）=/（x）+/'（x）

2的圖象關于原點對稱，則（）

A.函數(shù)/（X）在（5"）單調(diào)遞減

oVxpx2eR|/（網(wǎng)）-8。2）41+0

D.，

71

C.把g（x）的圖象向右平移W個單位即可得到,（X）的圖象

（3兀7兀

D.若/（X）在【°'"）上有且僅有一個極值點，則。的取值范圍為I8'8-

22

-5—■^"=1（Q>0,6>0）戶口

11.已知雙曲線C的方程為。b-,4,“分別為雙曲線C的左、右焦點,

過外且與X軸垂直的直線交雙曲線C于M,N兩點，又l"M=8a,則（）

A.雙曲線C的漸近線方程為丁=±2、

B.雙曲線C的頂點到兩漸近線距離的積的5倍等于焦點到漸近線距離的平方

C.雙曲線C的實軸長、虛軸長、焦距成等比數(shù)列

D,雙曲線。上存在點尸，滿足附卜3附21

12.如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點4（4必），其中i=L2,3,…,〃，…且知乂eZ

記%=%+”,如4（1，°）記為%=1,4（1，一1）記為的=0,4（0,-1）記為q=-1,…，

以此類推；設數(shù)列｛""｝的前〃項和為S".則（）

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,9

X

”11

■小2

a

A.2022=42BS2022=一87c"即？=2np

=3〃(〃+l)

An2+5n?

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

log,sin—=

13.計算：-4.

22H-1

14.已知產(chǎn)("'〃)為圓。：(1)+(尸1)=1上任意一點，則m+1的值為.

15.己知函數(shù)/O''"+9e"*+x--4x-2有零點，則實數(shù)”.

16.四面體NBC。中，ABLBC,CDLBC,BC=4,且異面直線N8與8所成的角

為60°.若四面體48co的外接球半徑為石，則四面體的體積的值為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①(a+6)(sin/_sin5)=(c_6)sinC；②2b—c—2acosC=0；③

cos28+cos2C+sin8sinC=l+cos2/這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并

解答問題.

在“BC中，角及，所對的邊分別是a、b、c，.

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(1)求角力；

(2)若NC=2,8C=2仃，點〃在線段四上，且△NCO與△8CO的面積比為3：5,

求辦的長.

(注：如果選擇多個條件分別解答，按個解答內(nèi)容計分)

%_"+1

19.已知數(shù)列也｝滿足q=L%〃.

(1)求數(shù)列｛"/的通項公式；

⑵若也｝滿足⑥=2an~24,%=2%-22,設5?為數(shù)列也｝的前〃項和,求$20

21.南平市于2018年成功獲得2022年第十七屆福建省運會承辦權(quán).為進一步提升第十七屆福

建省運會志愿者綜合素質(zhì)，提高志愿者服務能力，南平市啟動首批志愿者通識培訓，并于培訓

后對參訓志愿者進行了測試，通過隨機抽樣，得到100名參訓志愿者的測試成績，統(tǒng)計結(jié)果整

理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)由頻率分布直方圖可以認為，此次測試成績*近似于服從正態(tài)分布“(〃』15一)，〃近

似為這100人測試成績的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)，

①求〃的值；

自工，|中、士七五八七^,P(75.5<X<87)

②利用該正態(tài)分布，求,7；

(2)在(1)的條件下，主辦單位為此次參加測試的志愿者制定如下獎勵：①測試成績沒有低

于〃的可以獲贈2次隨機話費，測試成績低于〃的可以獲贈1次隨機話費；

②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：

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奉送話費的金額（元）1030

3

概率

44

今在此次參加測試的志愿者中隨機抽取一名，記該志愿者獲贈的話費為彳（單位：元），試根

據(jù)樣本估計總體的思想，求4的分布列與數(shù)學期望.

參考數(shù)據(jù)與公式：若工?爪〃，。）則。（〃-b<X"〃+b）=0-6826,

P（〃-2b<XW〃+2cr）=0.9544P（"-3cr<X4〃+3。）=0.9974

，?

23.如圖，四棱錐尸一力6co的底面N8CZ）是邊長為2的正方形，PA=PB,

NPBA=ZPBC

（1）證明：平面P8O；

旦

（2）若"為棱刃上的點，PM=2MD,且二面角尸-AB-C的余弦值為3,求直線所

與平面4CV所成角的正弦值.

22

=+二=1（口>6>°）rj?

25.已知橢圓C：b,尸2分別為橢圓C的左、右焦點，焦距為4.過

右焦點名且與坐標軸沒有垂直的直線/交橢圓C于業(yè)M兩點，已知△“N片的周長為4后，

點”關于x軸的對稱點為P,直線月V交x軸于點Q

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(1)求橢圓C的方程；

(2)求四邊形9N°面積的值

/(x)=—+lnx

27.己知函數(shù)x

(1)討論函數(shù)/G)的單調(diào)性；

11ZXXX-111

-<m<-g(x)=+—ex—十一

(2)若4e,求證：函數(shù)\nxm有兩個零點多，&且不/

【高考數(shù)學】2022-2023學年福建省南平市專項提升仿真模擬試題

(一模)

一、單項選一選：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

C1

z=2-1-____

1.已知復數(shù)2+i,則復數(shù)z的虛部為()

」1812

A.5B.5C.5D.5

[1題答案]

【正確答案】A

【分析】先由復數(shù)的運算求出z,再求出虛部即可.

z=2+，=2+2T=2+二乜，1

2+1

【詳解】(2+1)(2T)555,故虛部為5.

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故選：A.

2.設集合"=集合'={小'"},若/=8,則”的取值范圍為（）

A.&N3B.TWa?3。1D.a<-\

【2題答案】

【正確答案】D

【分析】直接由'I8求解即可.

【詳解】由可得。<一1

故選：D.

3.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，下列與“至少一枚硬幣正面朝上”互為對立的是（）

A.至多一枚硬幣正面朝上B.只有一枚硬幣正面朝上

C.兩枚硬幣反面朝上D.兩枚硬幣正面朝上

【3題答案】

【正確答案】C

【分析】由對立的概念直接判斷即可.

【詳解】由對立的概念知：“至少一枚硬幣正面朝上”的對立為“兩枚硬幣反面朝上”.

故選：C.

4.《九章算術》中將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉席,如圖，在正方體

4BCD-ATBCQI中,當￡分別與4.Bi,G,4重合時，所形成的四面體E—8C。中

鱉蠕共有（）

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C.3個D.4個

【4題答案】

【正確答案】B

【分析】當E與4,&重合時，由△E8D為等邊三角形即可判斷四面體沒有是鱉嚅；當

E與片,4重合時，證明四個面均為直角三角形即可.

【詳解】

如圖，當E與4重合時，易得EB=ED=BD,故△E8O為等邊三角形，此時四而體

后一88沒有是鱉席;

當E與與重合時，易得△EBCQBC。為直角三角形，又E8J.面NBC。，BDu面4BCD,

故石8_LBD,

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故△￡6。為直角三角形，同理AECD為直角三角形，此時四面體E—是鱉墻;

當E與G重合時，易得EB=ED=BD,故為等邊三角形，此時四面體￡一8。。沒

有是螯墻；

當E與A重合時，易得AESQBC。為直角三角形，又瓦）1面/BCD.BDu面4BCD,

故ED±BD,

故為直角三角形，同理△EBC為直角三角形，此時四面體E-8C。是鱉膈；故共有

2個.

故選：B.

（

■p*l_,?

5.在單位圓中，已知角°的終邊與單位圓交于點<22現(xiàn)將角0的終邊按逆時針方向

71

旋轉(zhuǎn)3,記此時角1的終邊與單位圓交于點°,則點。的坐標為（）

c(L0)(0,1)

【5題答案】

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【正確答案】B

乖)1

sina=——,cosa=—

【分析】先由三角函數(shù)的定義求得22,再由正余弦和角公式求得

cos(a+—)sin(a+—)

3，3即可求得點。的坐標.

^17T

sina=——,cosa=——

【詳解】由三角函數(shù)定義知：22,將角a的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)3,

71

CCH--

此時角變?yōu)?,

冗乃］

cos(a+—)=cosacos--sinasin—二——

故點0的橫坐標為3332,

./乃\71.nv3

csm(a+—)=sinacos—+cosasin—二——

點Q的縱坐標為3332,

叵

故點。的坐標為I22A

故選：B.

6.在“6C中，若tan(Z+3)=--,則tan2c=()

也

A.一2后B.2C.④D.2加

【6題答案】

【正確答案】A

【分析】由tanC=-tan('+8)=V^,利用正切的二倍角公式即可求解

【詳解】因為4+3=萬-C,所以tanC=—tan("+8)=&,

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2tanC

tan2C=二j

2

1-tanC1-

所以(0

故選：A

若點《"0）是拋物線V=2px（p>0）

7.I"上一點，點A到該拋物線焦點的距離為

6,則°=（）

A.1B.2C.3D.4

【7題答案】

【正確答案】D

【分析】先由點A在拋物線上得P=/,再拋物線的定義及A到拋物線焦點的距離即可解出P.

【詳解】由題意知：=23,解得P=f,拋物線的準線為x-2,由拋物線的定義

知，

t+f+JA

點A到該拋物線焦點的距離為22，解得p=4.

故選：D.

z-1X]-x2--In—>0

8.對任意的項當王時，3x2恒成立，則實數(shù)”的取值范圍

是（）

A[3,+8）B.（3,+°°）c艮+功D.（9,+°°）

【8題答案】

【正確答案】C

【分析】化簡沒有等式后構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解

x\~x2—>0&_@111再〉々一@111》2

【詳解】3乙,即33

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令/(x)-x§lnx,由題意得/(X)在(1,3］上單調(diào)遞減，

/(%)=1--<0

故3%,即aN3x在(1,力上恒成立，則a29,

故選：C

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.支氣管炎患者會咳嗽失眠，給患者日常生活帶來嚴重的影響.某醫(yī)院老年患者率為20%,中

年患者率為30%,青年患者率為40%.該醫(yī)院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青

年患者，則()

A.若從該醫(yī)院所有患者中抽取容量為30的樣本，老年患者應抽取12人

4

B.該醫(yī)院青年患者所占的頻率為15

C.該醫(yī)院的平均率為28.7%

D.該醫(yī)院的平均率為31.3%

【9題答案】

【正確答案】ABC

【分析】由分層抽樣即可判斷A選項；直接計算頻率即可判斷B選項：直接計算平均率即可判

斷C、D選項.

〃600,c

30x-------------=12

【詳解】對于A,由分層抽樣可得，老年患者應抽取600+500+400人，正確；

400_4

對于B,青年患者所占的頻率為600+500+40015,正確；

600x20%+500x30%+400x40%…標

------------------------------?28.7%

對于C,平均率為600+500+400,正確；

對于D,由C知錯誤.

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故選：ABC.

/(x)=sin(0x+e)(0>O，M<g]—

10.已知函數(shù)k2’的任意兩條對稱軸間的最小距離為2,函數(shù)

g(x)=/(x)+〈/'(x)

2的圖象關于原點對稱，則()

A.函數(shù)/(X)在(3")單調(diào)遞減

BVX)，X2GR；|/(x,)-g(x2)|<l+V2

71

C.把g(x)的圖象向右平移8個單位即可得到/(X)的圖象

(3兀7兀

D.若/G)在【°'")上有且僅有一個極值點，則。的取值范圍為I858-

【10題答案】

【正確答案】BD

【分析】由題意先解出口，。，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)對選項逐一判斷

T——x2=71

【詳解】由題意得“X)的周期為2，故0=2,

g(x)”吟+e)+c03+加后m(2x+"+?

又g(x)的圖象關于原點對稱，g(x)為奇函數(shù)，而“5,可得4,

即/(x)=sin(2x—；),g(x)=/sin2x

兀什)。兀/3兀7兀、(兀什]

xe不,兀2x-—G(—,—))不"

對于A,當2J時，444,正弦函數(shù)性質(zhì)知?/在12外殳有單調(diào),

故A錯誤，

對于B,VgwR,|/6)-gG)|41+0,故B正確

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71=V2sin(2x--^)

g（x）的圖象向右平移W個單位得函數(shù)

對于c,故C錯誤,

兀。兀

4---,2a--,-若/㈤在[°川上有且僅有一個極值點,

對于D,當“右乩。）時，44

兀_兀,3兀3萬，7萬

—<2a<———<a<——

則242,解得88,故D正確

故選；BD

~2---7=1（〃〉°，6〉0）萬口

11.已知雙曲線C的方程為如b-,02分別為雙曲線C的左、右焦點,

過工且與x軸垂直的直線交雙曲線C于機N兩點，又l"N|=8a,則（）

A.雙曲線C的漸近線方程為丁=±2"

B.雙曲線C的頂點到兩漸近線距離的積的5倍等于焦點到漸近線距離的平方

C.雙曲線°的實軸長、虛軸長、焦距成等比數(shù)列

D.雙曲線。上存在點P,滿足歸用用

[11題答案】

【正確答案】AB

【分析】先由=8"求得°=2。，即可求出漸近線判斷A選項，由點到直線的距離公式即

可判斷B選項，由實軸長、虛軸長、焦距等比中項即可判斷C選項，由雙曲線定義戶工1的范圍

即可判斷D選項.

V丁_〃2b2

【詳解】易知雙曲線C的方程為ab-，令X=c得4,故a，解

b

得b=2a,雙曲線C的漸近線方程為'a,即歹二士2%,故A正確；

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雙曲線c的漸近線方程為'=±2'，由雙曲線的對稱性，沒有妨取右頂點（七°）,右焦點

|2a|\-2a\4a2

（c'°），則頂點到兩漸近線距離的積為布％5

『％）=史

1122

焦點到漸近線距離的平方為又b=2a,c=a+b=5a故

叱=它、5

55,B正確;

（2〃）2=（44）2=16/，2a?2c=4屈2,顯然國丫*2a-2c,g錯誤;

若附|=3座I,又由雙曲線定義閥I一附1=2熙|=2a,解得

=A

\PF2\<=C-Q

故沒有存在點尸，滿足歸用=3|P片|,D錯誤.

故選：AB.

12.如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點4（*?）,其中'=1,2,3,…,〃，…且x”y,eZ

記%=%+外,如4（L0）記為.=1,4（LT）記為出=0,4（°，T）記為的=-1，…,

以此類推；設數(shù)列｛""｝的前n項和為S，.則（）

4

4

45

小4o廣

-X

Mil

出5小3小2

■42

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A,。2022=42B.$2022=.87C4”=2〃

D.

S：3"(〃+1)

47J2+5?/2

【12題答案】

【正確答案】ABD

【分析】由圖觀察可知第〃圈的8〃個點對應的這8〃項的和為0,則J"—""。，同時第"圈

的一個點對應坐標為（"'"），設％。22在第左圈，則左圈共有軟（％+1）個數(shù)，可判斷前22圈共

有2024個數(shù)，電。24所在點的坐標為（22,22）,向前推導，則可判斷A,B選項；當〃=2時,

時所在點的坐標為（一2,一2）,即可判斷c選項；借助SMX”。與圖可知

=

S.->.St~S2A—a+Q+…+Q

4〃-+5〃4〃-+5〃4〃+4〃4n2+4n+1即〃項之和，對應點的坐標為

++…，+即可求解判斷D選項.

【詳解】由題，圈從點°'0）到點°'1）共8個點，由對稱性可知$8=4+出+…+4=0；第

二圈從點（2」）到點（2,2）共16個點，由對稱性可知,24一=為+即）+…+&4=°,即

S-s0

‘24=°,以此類推，可得第”圈的8〃個點對應的這8〃項的和為0,即“十二

8+16+…+3k—

設”2。22在第％圈，則2,由此可知前22圈共有

2024個數(shù)，故$2024=0,則$2022=邑024一（。2024+出。23）,。2。24所在點的坐標為22）,

則，024=22+22=44,“2023所在點的坐標為（21,22）,則限=21+22=43,限所在

點的坐標為322）,則出022=20+22=42,故人正確;

‘2022=S2024一(。2024+。2023)=0一(44+43)=-87,故B正確.

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“8所在點的坐標為O1)，則％=1+1=2,”所在點的坐標為(-2,-2),則

%6=-2-2=-4,故c錯誤；

S“+5.=S4#+5「%+4“"即,對應點的坐標為(〃+L〃)，

(〃+L〃T),…，(〃+1，1),所以

S山/+5“=(〃+1+〃)+(〃+1+〃-1)-1---1-(77+1+1)=(2〃+1)+2〃-I---F(〃+2)

(2〃+l+w+2)〃+

22,故D正確.

故選：ABD

關鍵點點睛：觀察圖形，利用對稱性求解問題，對D選項，考慮已知的前"項和與所求的關系,

圖形，可適當先列舉找到規(guī)律，再求解.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

log2sin—=

13.計算：4.

【13題答案】

【正確答案】2##-0.5

【分析】直接由角的三角函數(shù)和對數(shù)運算求解即可.

2

log2sin-=log2—=log,2

【詳解】422.

故答案為.2

22〃一1

14.己知「(,％")為圓。：(1)+&T)=1上任意一點，則加+1的值為.

【14題答案】

第18頁/總67頁

【正確答案】3

77—1

【分析】將旭+1轉(zhuǎn)化為點？（"'"）和（7/）連線的斜率，由圖像可知當直線與圓相切時取得

值，由〃="解出斜率即可.

由于陽+1機一（一1）,故加+1表示「（私"）和（T1）連線的斜率，設“（T」），如圖所示,

n-1

當MP與圓相切時，加+1取得值，

設此時MP：Lx+D,即b7+"1=°,又圓心0」），半徑為1,故

I,V3

L±1--L---M-.1攵,=十

，解得一3,

〃一1V3

故m+1的值為3.

昱

故答案為.3

15.己知函數(shù)/（x）=e""+9e"f+--4x-2有零點，則實數(shù)”

【15題答案】

【正確答案】2-1113

第19頁/總67頁

【分析】先由基本沒有等式求得e""+9e"TN6,再由二次函數(shù)求得—-4》一22-6,要使

函數(shù)有零點，必須同時取等，即，x=2,解方程即可.

【詳解】由e'F>°可得,當且僅當

e""時取等，

又、2一以-2=6-2)-6'-6,當且僅當x=2時取等，

故/(x)=e'"+9e"'+x--4x-226+(-6)=0,當且僅當產(chǎn)"，x=2時取等.

要使函數(shù)有零點，則e'-"且x=2,化簡得e""=3,解得a=2—ln3.

故答案為.2-也3

16.四面體/8C。中，ABVBC,CD1BC,8c=4,且異面直線N8與CD所成的角

為60°.若四面體Z8CO的外接球半徑為右，則四面體N8C。的體積的值為.

【16題答案】

【正確答案】#

【分析】構(gòu)建直三棱柱/8￡一口8,找出球心及底面外心，正弦定理求得ZE,由

V

,A-BCD=A-BDE=七TBE表示出體積，再余弦定理及基本沒有等式求出值.

第20頁/總67頁

由ZB,BC,CDIBC,6c=4,且異面直線Z6與8所成的角為60。構(gòu)建直三棱柱

ABE-FCD,由5E||C￡)得NN8E=6(T,

易得四面體的外接球即為直三棱柱的外接球，取ACO'/'BE的外心”,G,易得岱的中點

OB=y[5,GO=-HG=2

。即為球心，又2,

則5G=，5-4=1,由正弦定理得ZEnZBGcinGO。=C,又^A-BCD~^A-BDE=^D-ABE

DE--BA-BE-smAABE=—BA-BE

323

AE2=BA2+BE2-2BA-BE-COS-

又由余弦定理得3,即

3=8/2+BE^-BABE>IBA-BE-BA-BE=BABE

3X—=6

當且僅當=時取等，故848E的值為3,四面體“8C。的體積的值為3.

故答案為.G

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①(a+b)(sinZ-sin8)=(c—6)sinC；②2b—c—2acosC=0；③

cos28+cos2C+sin6sinC=l+cos2N這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并

解答問題.

在ANBC中，角/、及，所對的邊分別是“上c,.

第21頁/總67頁

(1)求角4;

(2)若4C=2,8c=2百，點〃在線段四上，且△48與△BCD的面積比為3：5,

求6?的長.

(注：如果選擇多個條件分別解答，按個解答內(nèi)容計分)

【17題答案】

【正確答案】(1)3；

(2)2

【分析1(1)若選①，由正弦定理，得〃+c2—/=bc,再由余弦定理即可求出角心

若選②，由正弦定理得sinC=2cos/sinC,解得2,即可求出角力

若選③，先由平方關系得sin28+sin2C-sin8sinC=sin2N,再由正弦定理得

b2+c2-hc=a2,再由余弦定理即可求出角心

(2)在中，由余弦定理求得"8,由△ZCO與△8C。的面積比求得Z。，再在

4ACD中由余弦定理求得CD即可.

【小問1詳解】

222

選①,由正弦定理，得(a+b)("b)=(c-b)c,^b+c-a=bct故

COSJ=又北(。㈤,故-y

2bc2；

選②，由正弦定理，得2sin8—sinC-2sin4cosc=0,又A+C=LB,故

sinC=2sin(/+C)-2sin/cosC=2cos/sinC

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又sinCwO,故"s'-5,又八（0,乃），故'T.

選③，由cos2B+cos2C+sin5sinC=1+cos2A可得

2-sin2B-sin2C+sin5sinC=2-sin2A

即sin28+sin2C-sinBsinC=sin24,由正弦定理得〃—=/,故

b1+/―/1

cosA=

2bc萬，又故3；

【小問2詳解】

在△NSC中，由余弦定理得8c2=NB2+ZC2—2/8.ZCCOS”,因為

AC=2,BC=2瓜A=%、

3,所以12=次+4-2皿

解得/8=4或48=_2（舍），又△ZCD與△8C。的面積比為3：5,即4。：8。=3:5,

3

AD=-

所以2,在△力CO中，

CD1=AD2+AC2-2AD-ACcosA=[^\+22-3=—CZ）=-

由余弦定理得12J4,即2.

%_〃+1

19.已知數(shù)列｛qJ滿足％=L%".

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

24

⑵若也｝滿足瓦"=2%-,&T=2。“-22設Sn為數(shù)列也｝的前〃項和，求S20.

【19題答案】

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【正確答案】(1)%=〃

(2)-240

【分析】(1)利用累乘法即可求解；

(2)由(1)代入可得'2"+》2,1=4〃-46,利用并項法求和即可求解.

【小問1詳解】

%_〃+1

因為《=1,%〃，

a,a,a?23na

——=—x—x…x----=n

所以當〃N2時，4a2an-\12〃一1,則%,即%=〃，

當"=1時，也成立，所以⑸=〃.

【小問2詳解】

由⑴，邑=24-24=2〃-24,%_1=2%-22=2〃-22,

則J+di=4〃-46,

則S2o=(4+4)+(b3+64)+…+(49+b2o)=(4xl—46)+(4x2—46)+-+(4xlO-46)

(1+10)x10,

=4x^----L-----46x10=-240

2

21.南平市于2018年成功獲得2022年第十七屆福建省運會承辦權(quán).為進一步提升第十七屆福

建省運會志愿者綜合素質(zhì)，提高志愿者服務能力，南平市啟動首批志愿者通識培訓，并于培訓

后對參訓志愿者進行了測試，通過隨機抽樣，得到100名參訓志愿者的測試成績，統(tǒng)計結(jié)果整

理得到如圖所示的頻率分布直方圖.

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（1）由頻率分布直方圖可以認為，此次測試成績X近似于服從正態(tài)分布），〃近

似為這100人測試成績的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），

①求〃的值；

G工，P^,P（15.5<X<87）

②利用該正態(tài)分布，求''；

（2）在（1）的條件下，主辦單位為此次參加測試的志愿者制定如下獎勵：①測試成績沒有低

于〃的可以獲贈2次隨機話費，測試成績低于〃的可以獲贈1次隨機話費；

②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：

奉送話費的金額（元）1030

3j_

概率

44

今在此次參加測試的志愿者中隨機抽取一名，記該志愿者獲贈的話費為J（單位：元），試根

據(jù)樣本估計總體的思想，求片的分布列與數(shù)學期望.

參考數(shù)據(jù)與公式：若“?N（〃，b）,則。（〃-。<*<〃+。）=0.6826

P（〃-2b<X4〃+2cr）=0.9544P（〃-3。<X4〃+3cr）=0.9974

【21題答案】

【正確答案】⑴①75.5；②0.3413

（2）分布列見解析；2

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【分析】(1)①利用平均值的公式求解即可；②利用正態(tài)分布的對稱性即可求解;

P(X<pi}=P(X>=-g

(2)由2,所獲贈話費4的可能取值為10,

20，30，40，60，

表中數(shù)據(jù)，即可得到分布列，再利用期望公式即可求解.

【小問1詳解】

由題〃=55x0.1+65x0.2+75x0.4+85x0.15+95x0.15=75.5

因為b=lL5,

/、P(u-a<X<u+(y}0.6826

P(75.5<X<87)=-^------------[==0.3413

所以,722

【小問2詳解】

由題，

所獲贈話費4的可能取值為10,20,30,40,60,

F(^=10)=-x-=-F(^=20)=-x-x-=—pg=30)=1xL』

'7248,V724432,v7248,

PG=40)」x，l+，x!x3=ap(e=60)=LLx!」

'724424416,'724432,

所以J的分布列為:

g1020304060

3931

P

83281632

3913145

所以網(wǎng)力10x-+20x—+30x-+40x—+60x—=—

832816322.

23.如圖，四棱錐P—"SCO的底面46c。是邊長為2的正方形，PA=PB,

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NPBA=NPBC

(1)證明：NC,平面尸8。；

旦

(2)若M為棱以上的點，PM=2MD,且二面角尸-AB-C的余弦值為3,求直線氣

與平面4CV所成角的正弦值.

[23題答案】

【正確答案】(1)證明見解析

(2)5

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)可知NC，80,易證A