高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)16立體幾何經(jīng)典題型精練

微專題16立體幾何經(jīng)典題型精練

典型例題

例1.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖所示，三棱柱ABC-A4G中，所有棱長均為2,

ABAC=ZBAA,=ZC44,=60°,p,。分別在A8,AC上（不包括兩端），AP=A.Q.

B

(1)求證：「。//平面3。￡4；

(2)設(shè)與平面ABC所成角為夕，求sin。的取值范圍.

例2.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，在直三棱柱ABC—A4G中，AC±fiC,AC=8C=A4,,。為A4

的中點(diǎn)，G為⑨的中點(diǎn),E為G。的中點(diǎn)，3尸=3AF,點(diǎn)P為線段3G上的動點(diǎn)(不包括線段BJ的端點(diǎn)).

(1)若EPH平面CFG,請確定點(diǎn)P的位置；

(2)求直線CP與平面CFG所成角的正弦值的最大值.

例3.(2022?遼寧?大連市一。三中學(xué)高三開學(xué)考試)如圖，在四棱錐尸-ABC。中，BC=2,ADIIBC,E

為棱力的中點(diǎn)，BE//平面PCD.

1

p

(1)求4。的長；

(2)若PB=AB=BC=C：BE，平面PAB1?平面P8C,求二面角B-PC-O的大小的取值范圍.

例4.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，三棱柱ABC-A耳G的底面是邊長為4的正三角形，側(cè)面ACGA，

底面ABC,且側(cè)面ACGA為菱形，/AAC=60.

(1)求二面角\-AB-C所成角0的正弦值.

(2)KN分別是棱AG，8c的中點(diǎn)，又2AP=B戶.求經(jīng)過M,N,P三點(diǎn)的平面截三棱柱ABC-AgG的

截面的周長.

2

過關(guān)測試

1.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知正方體

(1)若正方體的棱長為1,求點(diǎn)A到平面ARD的距離；

(2)在一個棱長為10的密封正方體盒子中，放一個半徑為1的小球，任意搖動盒子，求小球在盒子中不能達(dá)

到的空間的體積；

(3)在空間里，是否存在一個正方體，它的定點(diǎn)A、B、a。、A、4、G、R到某個平面的距離恰好為0、I、

2,3、4、5、6、7,若存在，求出正方體的棱長，若不存在，說明理由.

2.(2022?山東煙臺?一模)如圖，在四棱錐VT8CZ)中，底面N8CZ)為矩形，AB=2BC=4,E為CD的

中點(diǎn)，且△KBC為等邊三角形.

(1)若夕求證：AE±VE；

(2)若二面角N—8C—憶的大小為30,求直線力憶與平面所成角的正弦值.

3.(2022?陜西?一模(理))如圖，已知直三棱柱A8C-A4G，。，M,N分別為線段BC,網(wǎng)的

中點(diǎn)，P為線段AG上的動點(diǎn)，M=16,AC=8.

(1)若AO=gBC,試證GN1CM；

(2)在(1)的條件下，當(dāng)AB=6時(shí)，試確定動點(diǎn)P的位置，使線段與平面88CC所成角的正弦值最大.

3

4.(2022?安徽?蕪湖一中一模(理))如圖所示，已知矩形438和矩形AOE尸所在的平面互相垂直,

AD=2AF=2AB=2,M,N分別是對角線8￡),AE上異于端點(diǎn)的動點(diǎn)，且8W=4V.

(1)求證：直線MN//平面CDE；

(2)當(dāng)?shù)拈L最小時(shí)，求二面角A-MN-。的余弦值.

5.(2022?天津?一模)如圖，在四棱錐中，底面A8CD為直角梯形，其中AO〃BC,AD=3,

AB=BC=2,叢_L平面ABC。，且尸4=3,點(diǎn)M在棱PD上，點(diǎn)N為8c中點(diǎn).

⑴證明：若DM=2MP,直線MN〃平面RW；

(2)求二面角C-PD-N的正弦值；

(3)是否存在點(diǎn)M,使NM與平面PCD所成角的正弦值為半？若存在求出老■值；若不存在，說明理由.

6.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，四棱錐P—的底面/2CD是邊長為2的正方形，PA=PB=3.

(1)證明：NPAD=NPBC；

(2)當(dāng)直線PA與平面PC。所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)二面角尸一8—C的大小.

4

7.(2022?貴州貴陽?高三期末(理))如圖，在四棱錐P-43C。中，底面ABCD是矩形，24,平面

ABCD,AFLPB,尸為垂足.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上移動時(shí)，判斷AEF是否為直角三角形，并說明理由；

(2)若「4=A8=2,EF〃PC,且PB與平面PAE所成角為30,求二面角C-PE-O的大小.

8.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，四邊形中，NAOC=],AD=2CZ)=4,AE=EC,沿對角線

/C將△/CD翻折成△AC。，使得BE_LC。'.

(1)證明：BD'=BC；

(2)若為等邊三角形，求二面角。'-A8-C的余弦值.

5

9.（2022?江蘇泰州?高三期末）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=2,PB=BC=4,PA=PC=AC=2y/3.

⑴平面/MCJ?平面ABC；

(2)點(diǎn)。是棱BC上一點(diǎn)，比＞=43C，且二面角B-PA—。與二面角C-P4-O的大小相等，求實(shí)數(shù)2的值.

10.(2022?江蘇揚(yáng)州?高三期末)如圖，在三棱臺N8C—/山Q中，底面△48C是等腰三角形，且8c=8,

AB=AC=5,。為8c的中點(diǎn).側(cè)面8CG8/為等腰梯形，且以。=。。=4,〃為8/G中點(diǎn).

(1)證明：平面/8C_L平面ZOM；

(2)記二面角/—8C—8/的大小為仇當(dāng)始吟，自時(shí)，求直線岫平面/4C/C所成角的正弦的最大值.

11.(2022?遼寧營口?高三期末)在三棱柱ABC-44G中，側(cè)面的C。和側(cè)面44由8是都是邊長為2的菱

形，。是中點(diǎn)，BC=0ZGL4,=ZBM=60O

6

(I)求證：平面BCD；

(2)求二面角B-AC-A，的余弦值.

12.(2022?全國?高三專題練習(xí)(理))如圖，四棱錐S-A8C。的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長

的五倍，P為側(cè)棱上的點(diǎn).

(1)求證：AC1SD；

(2)若SDJ.平面P4C,求二面角P-AC-S的大??；

(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)￡,使得BE〃平面B4C?若存在，求SC:SE的值；若不存

在，試說明理由.

13.(2022?浙江?高三專題練習(xí))如圖，4后_1平面4次》,。///424￡>〃比1,

ADA.AB,AB=AD=\,AE^BC^2.

⑴求證：OE〃平面8C尸;

7

(2)若二面角E-8D-F的余弦值為求直線尸3與平面ABCD所成角的正切值.

14.(2022?全國?高三專題練習(xí)(理))如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=2值，E、F分別為PB、PD

的中點(diǎn)，平面AE廠與棱PC的交點(diǎn)為G.

(1)求異面直線AE與尸尸所成角的大??；

(2)求平面AEGF與平面ABC。所成銳二面角的大小;

(3)求點(diǎn)G的位置.

15.(2022?山西運(yùn)城?高三期末(理))在①AE=2,②ACJ.8D,@ZEAB=ZEBA,這三個條件中選擇一

個，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答

如圖，在五面體ABCQE中，已知,ACLBC,ED//AC,且AC=BC=2E￡>=2,DC=DB=C.

(1)求證：平面ABEJ_與平面ABC；

8

(2)線段BC上是否存在一點(diǎn)尸，使得平面AM與平面ABE夾角的余弦值等于也，若存在，求黑的值;

43BC

若不存在，說明理由.

16.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，四棱錐中，△PAB是等邊三角形，底面A8CD是直角梯

形，AB//CD,ABLAD,AB=BC=2,ZABC=,F,G分別是PC,A。的中點(diǎn).

⑴求證：FG〃平面PAB；

(2)若PC=3,求直線FG與平面PBC所成角的正弦值.

17.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，AABD為

底面圓。的內(nèi)接正三角形，且邊長為石,E在母線PC上，且AE="CE=1,EC，BD.

⑴求證：平面陰%)J_平面AB￡＞；

(2)設(shè)線段PO上動點(diǎn)為M,求直線DM與平面ABE所成角的正弦值的最大值.

18.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PADJ_底面ABCD,

E,尸分別為PA8。中點(diǎn)，PA=PD=AD=2.

9

(1)求證：EF〃平面PBC；

(2)求二面角￡一。尸—A的余弦值；

(3)在棱PC上是否存在一點(diǎn)G,使G/_L平面切產(chǎn)？若存在，指出點(diǎn)G的位置；若不存在，說明理由.

10

微專題16立體幾何經(jīng)典題型精練

典型例題

例1.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖所示，三棱柱中，所有棱長均為2,

ABAC=ABAA,=ZCAA,=60°,p,。分別在AB,AG上(不包括兩端)，AP=\Q.

(1)求證：尸?！ㄆ矫鍮CGM；

(2)設(shè)P。與平面ABC所成角為凡求sin。的取值范圍.

【解析】

(1)作PD//AC,交BC于點(diǎn)。，設(shè)＞Q=AP=fe(O,2),則BP=2T,

"D"：哭嗯,即等號一日2"

PD//QQSLPD=QC\,連接DC,,

所以四邊形GQPD為平行四邊形，.?.PQ〃CQ,

,/PQ(Z平面BCCM,且G。u平面8CC圈，

二PQ"平面

(2)取AC中點(diǎn)M,連接AM、BM、\B,

1

VAM=^AC=],M=2,"AM=60。，

根據(jù)余弦定理得：A.M1=+AM1-2AA,-AM-cos60o=4+l-2x2xlx1=3,

AM=6,則4例J_AC,

ABC是等邊三角形，ABMLAC,

'：\MryBM=M,；.AC,平面ABM,ACu平面ABC

平面ABC_L平面48M,

在△ABM中，AM=BM=K,AB=2,

作交BM于點(diǎn)H,因?yàn)槠矫鍭3。平面43M=BM,

所以A”，平面ABC,

如“=誓=歷=叵盧，3呼，

?；AQ〃平面ABC,所以點(diǎn)Q到平面ABC距離〃=A"=哈，

QP=Q\+AA+AP,

QP'=(Q\+\A+AP^

2

=t+4+r+2QA]-AiA+2AiA-AP+2QAi-AP

+2xfxfx

=尸+4,

；?QP=4+4.

2V2

.八環(huán)20

sin0=二一=——==

J-+4百?5/產(chǎn)+4

Vre(0,2),.?.〃+4e(2,+2@,

2

例2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC—A4G中，AC±BC,AC=BC=AA,,。為4心

的中點(diǎn)，G為例的中點(diǎn)，E為G。的中點(diǎn)，8F=3AF，點(diǎn)P為線段BQ上的動點(diǎn)（不包括線段BQ的端點(diǎn)）.

D\

（1）若EPH平面CrG,請確定點(diǎn)P的位置；

（2）求直線CP與平面CFG所成角的正弦值的最大值.

【解析】

如圖，連接叨，

BBX=2AG,BQ=2AF,：.Rt^FAG^Rt^DB.B,

NBDB、=ZAFG,

,/.ZBDB、=NABD,

ZAFG=ZABD.：.GFUBD,

「GFu平面CPG,平面CFG,80〃平面CFG,

若EP〃平面CFG,又由EP,8。＜=平面8。和，

平面CFG與平面8CQ相交，必有EP//BD,

又；?！?比；，.?.尸為86；的中點(diǎn)；

（2）因?yàn)锳C,BC,CR兩兩垂直，

我們可以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量0，CB，CC方向分別為x,y,z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐

3

標(biāo)系，

不妨設(shè)AC=4,可得各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

C(0,0,0),A(4,0,0),8(0,4,0),C,(0,0,4),G(4,0,2),尸(3,1,0).

設(shè)BP=ABC1(0<2<l),有BP=4(0,-4,4)=(0,-42,44),

又由CP=C8+8P，有CP=(0,4,0)+(0,-4%4/1)=(0,4-42,42),

設(shè)平面CFG的法向量為，〃=(x,y,z),

m-CF=3x+y=0

由C尸=(3,1,0),CG=(4,0,2),有

m-CG=4x+2z=0

取x=l,y=-3,z=-2＞可得平面CPG的一個法向量為，〃=(1,-3,-2),

設(shè)直線CP與平面CFG所成的角為6,

由CP?機(jī)=-3(4-4X)-84=42-12,

|CP|=^(4-42)2+16/12=4,2萬-2/1+1,時(shí)=加，

京inoJbT|<3],

'|CP|-|/M|Vi4x4V222-2x+l舊x，2萬-22+1'

設(shè)”=3+'(-3<'<-2)‘有、由二收」；.2(,+3*'

.kii

sin0n=————/=■=-------.=

V14xj2/+10f+13歷*F+：+2'

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)1=-整時(shí)，f=W，

t265

]Q?_________?__________V182

4=3-■=￡時(shí)，sin。的最大值為r—/4xl3x2-10014

55VUxJ------------------

V4x13

例3.(2022?遼寧?大連市一0三中學(xué)高三開學(xué)考試)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，BC=2,AD//BC,E

為棱以的中點(diǎn)，BE//平面PCD.

4

p

(1)求的長；

(2)若PB=AB=BC=OBE，平面PABL平面P8C,求二面角5-PC-D的大小的取值范圍.

【解析】

(1)如圖所示：

過E作EM//AO,交PD于點(diǎn)M,連接CM,

因?yàn)?E//平面尸CO.8￡u平面BCME,

平面PCD平面BCME=MC,

所以BE〃MC,

又因?yàn)镋M"AD,AD"BC,

所以,

所以四邊形8cMe是平行四邊形，

所以3c=EM,又因?yàn)镋M=JAD,

所以A￡)=28C=4.

(2)因?yàn)镻B=AB=BC=6BE，E為棱陽的中點(diǎn)，

所以且/ABE=%,

4

所以AB_L3P,又因?yàn)槠矫嫫矫媸?C,平面尸ABc平面P8C=8P,

所以A3L平面P8C,

又因?yàn)锽Cu平面P8C,

所以A8_L8C,

5

則以點(diǎn)8為原點(diǎn)，分別以84,8c所在直線為x,y軸，以經(jīng)過點(diǎn)8且垂直與平面/8CD的直線為z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則C(0,2,0),D(2,4,0),CD=(2,2,0),由題意設(shè)P(O,a,b),a2+b2=4,as(-2,2),6w0,

則CP=(O,a-2,b),設(shè)平面CDP的一個法向量為質(zhì)=(x,y,z),

CDm=O[2x+2y=0

則，即(in，

CPm=O(a-2)y+te=0

令y=b,得z=2-a,x=-b,則m=（_/?也2_“）,

易知平面8c尸的一個法向量為3=（1,0,0）,

4-/

plljlcos/w,n\l=?-]

刈\；|H-H依+(2-a2-4a+12

因?yàn)椤皜(-2,2),

所以卜。5

7T37r

所以二面角8-PC-。的大小的取值范圍是

例4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，三棱柱ABC-AAG的底面是邊長為4的正三角形，側(cè)面ACG4,

底面ABC,且側(cè)面ACGA為菱形，ZAAC=60.

（1）求二面角A-A8-C所成角，的正弦值.

（2）M,N分別是棱AG，4G的中點(diǎn)，又2Ap=8尸.求經(jīng)過M,MP三點(diǎn)的平面截三棱柱A8C-A耳G的截

6

面的周長.

【解析】

(1)。為AC的中點(diǎn)，連接。A，側(cè)面ACGA為菱形，ZAAC=60。，

.?.△447為正三角形，，4。，4<^,

側(cè)面ACC|A，底面ABC,側(cè)面ACGA底面ABC=AC,A|Ou側(cè)面ACC|A，

A。，底面ABC,

底面ABC為正三角形，。為AC的中點(diǎn)，二80,AC,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以0B，0C，04的方向?yàn)閤軸，》軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系.

底面ABC是邊長為4的正三角形，

.?.0(0,0,0),A(0,-2,0),8(2百,0,0),C(0,2,0),4(0,0,2折，

AB=(2百,2,0),/L4,=(。，2,2揚(yáng)，BC=(-2百,2,0),

設(shè)平面AA3的一個法向量為n=。,y,z),

n-AB=02岳+2y=0x=l

由得《r-'令y=-上,得

=0[2y+2任=0Z=1

?,?與=(1,-31),

又易知。4=(0,0,26)為平面ABC的一個法向量.

cos0=|cos〈OA，〃〉卜

網(wǎng)同2V3XV555

所以二面角A-AB-c所成角e的正弦值為管.

(2)連接MN,MA,NB,M,N分別是棱AG，4c的中點(diǎn)，二,

又因?yàn)?g//AB,.?.MN//A5,.?.經(jīng)過M,N,尸三點(diǎn)的平面截三棱柱A3C-4耳G的截面即為平面MNB4,

其中MN=gA耳=g48=2,AB=4,在^AA.M中,因?yàn)槿庵鵄BC-4旦6的底面是邊長為4的正三角形，

7

側(cè)面ACGA為菱形，幺AC=60。，

22

由余弦定理得AM=yl(AAt)+(AtM)-2AAtxAtMxcos120°=2近,

取AB的中點(diǎn)b,連接M”，.?.四邊形仞NBH為平行四邊形，=BN,

又因?yàn)閭?cè)面4CCA為菱形，-LCA，△CAC為兩個全等的等邊三角形，

連接用C,8二例(：_144，又因?yàn)?0〃4。，，吹_14。，

又因?yàn)閭?cè)面ACGAJ?底面ABC,且側(cè)面AC￡A底面ABC=AC,.?.MCL平面ABC,

又。7勺平面4861,.,.知(7_1〃(;，

又因?yàn)?，MC=2瓜CH=2+,AMH=?MCy+(CH，=,12+12=2C,

即BN=MH=2",所以截面的周長為：/=6+2(6+77).

過關(guān)測試

1.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知正方體ABCD-A4G0.

(1)若正方體的棱長為1,求點(diǎn)A到平面A3。的距離：

(2)在一個棱長為10的密封正方體盒子中，放一個半徑為1的小球，任意搖動盒子，求小球在盒子中不能達(dá)

到的空間的體積；

(3)在空間里，是否存在一個正方體，它的定點(diǎn)A、B、C、D、4、B,C「。到某個平面的距離恰好為0、1、

2、3、4、5、6、7,若存在，求出正方體的棱長，若不存在，說明理由.

【答案】(1)理

8

(2)104——")

(3)存在，棱長為

【解析】

【分析】

(1)利用等體法：匕-W=匕一曲即可求解.

(2)求出小球在正方體的8個頂點(diǎn)以及12條棱處不能到達(dá)的空間，利用球的體積公式以及柱體體積公式即

可求解.

(3)設(shè)平面a為符合題意的平面，夕過點(diǎn)C,延長分別交平面a于點(diǎn)及F,G,由題意可得

G￡:3G:87：Z)C:R￡:AG：A尸=123:4:5:6:7,設(shè)正方體的棱長為4〃，根據(jù)分一四=@￡＞，求出點(diǎn)C1

到平面a的距離，進(jìn)而得出正方體的棱長.

(1)

正方體的棱長為1,設(shè)點(diǎn)A到平面AB。的距離為加，

由匕-A/D=^At-ABD，

則§SABD.%=]SABD,AA,,

EP—X—X5/2XV2X=—X—xlxlx1,

32232

解得〃邛.

(2)

在正方體的8個頂點(diǎn)處的單位立方體空間內(nèi)，

小球不能到達(dá)的空間為：8廠中爭1訃8-午，

除此之外，以正方體的棱為一條棱的12個1x1x8的正四棱柱空間內(nèi)，

小球不能到達(dá)的空間共12Ixlx8-l(^xl2)x8=96-241，

其它空間小球均能到達(dá)，

故小球不能到達(dá)的空間體積為：8-：4乃+96-24/=1047-611(5？)

(3)

設(shè)平面。為符合題意的平面，a過點(diǎn)C,

延長D￡，AB"B分別交平面a于點(diǎn)E,RG,

由圖可知，點(diǎn)C，G，8,81,￡),￡)|，A，A

與平面a的距離分別應(yīng)為0、1、2、3、4、5、6、7,

因?yàn)椤ㄍ?尸，。仁46互相平行，所以它們與平面。所成角相等，

9

故由比例關(guān)系得GE：8G:4/：。C：2E:AG:4尸=1:2:3:4:5:6:7.

設(shè)正方體的棱長為4a,則C、E=a,BG=2a,B、F=3a,

用幾何方法可解得￡尸=26〃，EC=y/ila,CF=y/^a,

故S=2V2T6Z2,

由CG，平面AgCQj知CG為四面體C-EG尸的底面EG尸上的高,

所以由^Cy-ECF=%-￡C|F，算得點(diǎn)G到平面a的距離，

,SECFJCC][2a2,4ci4V2T

Cl=----------=--]—c=----Q,

SECF2同？21

實(shí)際上已知d=l,所以生旦〃=1,從而可得。=叵，

214

所以正方體的棱長為4〃=夜T，由圖可知，該正方體存在.

2.(2022?山東煙臺?一模)如圖，在四棱錐MT8C。中，底面488為矩形，AB=2BC=4,E為CQ的

中點(diǎn)，且△"(?為等邊三角形.

(1)^VBLAE,求證：AE±VE-

(2)若二面角N—8C—V的大小為30,求直線“產(chǎn)與平面-8所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵叵

14

【解析】

【分析】

(1)先證明線面垂直，再證明線線垂直即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，以向量的方法去求直線工廠與平面河⑦所成角的正弦值.

(1)

因?yàn)镋為8的中點(diǎn)，所以AO=DE=2,所以△ZOE為等腰直角三角形，

10

所以ZAED=45.同理，NBEC=45°.所以

又因?yàn)榍襐BcBE=B,VBu面"E,BEu面PBE,

所以1后,面VBE.

因?yàn)閂￡u面gE,所以

⑵

取8c中點(diǎn)。，NO中點(diǎn)G、連接。G,VO,則OGLBC.

又△〃C為等邊三角形，所以9J_8C,

所以NGOU為二面角/一8。一修的平面角.所以NGOV=30

以08，G。方向分別作為x，y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。一平.

(3

于是4(1,—4,0),C(—1,0,0),D(—1,—4,0),V05——,

3⑸,AV=(-1,-,—

0c=(0,4,0),CV=

‘一"[22J

令〃=（x,y,z）為平面-CZ）的一個法向量,

4y=0

n-DC=0

則,即nn＜3y/3，令z=2,得〃=(一百,0,2).

n-CV=0X-----VH-------Z=0

22

設(shè)直線/廠與平面-C。所成的角為c,則

|AV."|2G夜

sina二卜os(AV,n

|AV|.|/?|"V7X^/8"IT'

故直線與平面-CD所成角的正弦值為叵.

14

3.（2022?陜西?一模（理））如圖，已知直三棱柱A5C-ABC，0,M,N分別為線段8C,4A，BB1的

中點(diǎn)，P為線段AG上的動點(diǎn)，M=16,AC=8.

11

A

(1)若A0=；8C,試證GN1CM；

(2)在(1)的條件下，當(dāng)AB=6時(shí)，試確定動點(diǎn)P的位置，使線段MP與平面88CC所成角的正弦值最大.

【答案】(1)證明見解析

3

(2)P為AG的中點(diǎn)時(shí)，sin0取得最大值:

【解析】

【分析】

(1)先證A3,平面ACC0,得AB_LCM,結(jié)合已知條件得出CM_LMN,根據(jù)八勘〃：三△AMg及

勾股定理的逆定理，得出CM_LGM,進(jìn)而得出CM,平面GMN,即證GNJ.CM.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)平面的法向量和直線的方向向量，再由向量的夾角公式可求出線面角，

在利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解該問題.

(1)

在A3C中，

???。為BC中點(diǎn)且AO=；BC,

AB1.AC.

,/平面48c1平面ACG4交線為AC,

：.A8，平面ACC；A..".AB1CM.

'：M,N分別為憾，8月的中點(diǎn)，

MN//AB.

：.CMLMN.

在直角AMC和直角△MAG中，

VAM=A,M=S,AC=AG=8,

：./\AMC=/\\MCx,

：.CM=GM=J64+64=8及，

222

/.CM+CtM=128+128=16=CC；,

12

/.CM1C}M,MN\}C,M=M,

平面CMN,GNu平面GAW,

/.CM1C.N.

⑵

AA,_L平面ABC,由（1）得A3,AC,4A三線兩兩垂直，以A為原點(diǎn),

以AB,AC,AA為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則A（0,0,0）,8（6,0,0）,C（0,8,0）,C,（0,8,16）,M（0,0,8）,B,（6,0,16）,

ABC=（-6,8,0）,BBt=（0,0,16）,

設(shè)平面B8CC的一個法向量為"=（x，），z）,

-6%+8y=0

16z=

令x=4得y=3,〃=（4,3,0）,

設(shè)P（x,y,z）,AP=mAC］（<0<m<l）,則（x,y,z）=/n（0,8,16）,

/.P（0,8m,16w）,MP=（0,8/n,16m-8）,

設(shè)直線MP與平面BB℃所成的角為e,

ri?八24胴3m

則Sin6=-j—n--r=/^=~=—/.

5小64〉+（16加-8）25m2-4m+1

若〃2=0,sin，=0此時(shí)點(diǎn)P與A重合，

i.333

若…'令'=日訓(xùn)，則n="不

當(dāng)f=2,即〃?=；,P為AG的中點(diǎn)時(shí)，Sin。取得最大值|.

4.（2022?安徽?蕪湖一中一模（理））如圖所示，已知矩形ABC。和矩形AOEF所在的平面互相垂直,

AD=2AF^2AB=2,M,N分別是對角線3Z）,A￡上異于端點(diǎn)的動點(diǎn)，且=

13

E-E

^7D

(1)求證：直線MN〃平面CDE；

(2)當(dāng)MN的長最小時(shí)，求二面角4-MV-。的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)--

9

【解析】

【分析】

(1)利用線面平行的判定定理即可證得；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)之間距離公式求出MN的長最小時(shí)，各點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間向量求

面面角，即可得解.

(1)

過N作NN，"AD與ED交于N'點(diǎn)、,過M作W//AD與8交于“點(diǎn)，連接UN'.

由8M=AN,易知NN'=MM：

又NN'11ADIIMM\則四邊形MNN'M'為平行四邊形，

所以MNUN'M'

?：MN<t平面CDE,M'N'u平面CDE,

⑵

由平面平面AOE/L平面ABC。平面ADM=AD,

又AFu平面ADEF,AF1AD,AF±￥ffiABC￡>.

以A為原點(diǎn)，分別以AB,AD,AF為%,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

過/點(diǎn)作MG,AD,垂足為G,連接NG,易知NG_LAD,設(shè)4G=a(0<a<2)

14

E

可得何，\MN\=

可知當(dāng)。=1時(shí)，MN長最小值為也.

2

此時(shí)呢,1,0),N(0,lij,又4(0,0,0),￡>(0,2,0),

2

MN=,DM=(-p-l,0

設(shè)平面/MN的法向量為m=（X|，M，ZJ,

m-AM=0一5玉+,=0

由，可得《?，令演=2,可得m=(2,-l,2)

mMN=G

---X.H---Zi=0

I2121

設(shè)平面MND的法向量為"=（々，必,z2）,

|x2-y2=0

幾DM=0…

由，可得；,令12=2,可得"=(2,1,2)

nMN=0

_產(chǎn)+/=0

乙N

m-n7

.?.cos(m,n)=-=

rrFT99

7

易知二面角A-MN-O為鈍二面角，則二面角4-削-￡＞的余弦值為-工.

5.（2022?天津?一模）如圖，在四棱錐P-A8CE）中，底面A8CZ）為直角梯形，其中AO〃8C,AD=3,

AB=BC=2,P4_L平面438,且尸A=3,點(diǎn)〃在棱尸。上，點(diǎn)N為BC中點(diǎn).

15

⑴證明：若DM=2MP,直線MN〃平面PA8；

(2)求二面角C—PD—N的正弦值；

(3)是否存在點(diǎn)"，使M0與平面PC。所成角的正弦值為正？若存在求出現(xiàn)值；若不存在，說明理由.

6PD

【答案】(1)證明見解析

喈

⑶存在，器裳或器=1

【解析】

【分析】

(1)利用面面平行證明線面平行；

(2)利用坐標(biāo)法求二面角余弦值與正弦值；

(3)設(shè)PM=2PD，可表示點(diǎn)"與MN，再根據(jù)線面夾角求得義的值.

如圖所示，在線段AD上取一點(diǎn)2,使4Q=gA。，連接MQ,NQ,

DM=2MP,

:.QM//AP,

又AD=3,AB=BC=2,

：AQ吵,四邊形48NQ為平行四邊形，

NQ//AB,

16

又NQMQ=Q,AB\AP=A,

所以平面MNQ〃平面"8,

.MNu平面MNQ,

MN〃平面PAB：

如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A8為x軸，AO為丫軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,3,0),尸(0,0,3),

又N是8C中點(diǎn)，則N(2,l,0),

所以PZ)=(O,3,-3),CD=(-2,1,0),ON=(2,-2,0),

設(shè)平面PCD的法向量用=(3,y,%),

則［普3令…則”0,2,2),

CD-4=-2玉+y=0

設(shè)平面PM)的法向量對工吃,為?)，

PD-=3v,-3z,=0人.e/…

則［。M〃；=2；「2%=?！顒t〃2=0」」），

1+2+25立

所以COS〈4，〃2)=

2229-

71+2+2-VP+1

則二面角C-PO-N的正弦值為_V6.

一9’

(3)

存在，也=1或生=】

PD3PD

假設(shè)存在點(diǎn)"，設(shè)P制M=義，即尸加

="O，

由(2)得。(0,3,0),H(0,0,3),N(2,l,0),且平面PCD的法向量％=0,2,2),

17

則PZ)=(O,3,-3),PM=(0,32,-32),

則M(0,32,3-3/1),

W=(2,1-32,32-3),

)

sine=kos(MN,"]'=2+2(1-34)+2(34-3

>/12+22+22-^22+(1-32)2+(32-3)2一6

解得2=g或4=1,

故存在點(diǎn)A1,此時(shí)萬方=§或萬萬=1

6.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，四棱錐尸一"BCD的底面48co是邊長為2的正方形，PA=PB=3.

(2)當(dāng)直線PA與平面PC。所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)二面角P—C的大小.

【答案】(1)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)直線與平面位置關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為全等三角形問題即可證明：

(2)用等面積法建立二面角與線面角關(guān)系，當(dāng)線面角滿足正弦最大時(shí)，即可求二面角大小.

(1)

證明：分別取A8,CD的中點(diǎn)E,F,連接PE,EF,PF,

因?yàn)镻A=P8,所以PE_LA8,

又因?yàn)锳BCD,所以C￡>_LP￡,

又因?yàn)镃OD,PEcEF=E,所以?！?gt;，平面尸￡尸，

因?yàn)镻Pu平面PEF,所以C￡>_LPF,

在PCD中,因?yàn)槭怪逼椒諧D,所以PC=P￡),

又因?yàn)镻A=P3,AD=BC,所以PADSPBC,

從而可得NPAD=NPBC；

⑵

18

解：由（1）知，NPEF是二面角P-AB-C的平面角，設(shè)NPEF=a,aw（O,%）,

在PEF中，PF-=PE2+￡F2-2-PE-￡Fcosa=12-872cosa,

過點(diǎn)E作EG_LPF于G,則EG'=(PE.唱sina『=象

rr3—202cosa

因?yàn)镃O_L平面PEF,COu平面PC。，所以平面PC￡>,平面PEF,

又因?yàn)槠矫鍼C。i平面PE尸=P/LEGLPF,EGu平面PM,

所以EG，平面PC。，

因?yàn)锳B平面PCO,所以點(diǎn)A到平面PC。的距離等于點(diǎn)E到平面PC。的距離，即為EG,

FG1

設(shè)直線PA與平面PCD所成角為。，所以sin*啟=§EG,

令Z=3—20cosa，re(3-2及，3+2夜)，

8sin2a8—(3—ty..L.

則EG1-------------=6-(/+y)?4,

3-2V2cosa

71

當(dāng)且僅當(dāng)f=l,即a=：時(shí)，EG有最大值2,

4

EG1

此時(shí)直線PA與平面PCO所成角為6的正弦值sin9=果=彳EG最大,

PA3

TT

所以當(dāng)直線尸4與平面PCO所成角的正弦值最大時(shí)，二面角尸-AB-C的大小為二.

7.（2022?貴州貴陽?高三期末（理））如圖，在四棱錐P-中，底面A8CO是矩形，平面

ABCD,AF±PBf尸為垂足.

19

(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上移動時(shí)，判斷A"是否為直角三角形，并說明理由；

(2)若尸A==〃尸C,且PB與平面R4E所成角為30，求二面角C-尸的大小.

【答案】(1)AE5是直角三角形，理由見解析

⑵30

【解析】

【分析】

(I)利用線面垂直的判定定理證明平面P8C,即可得結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，先根據(jù)心與平面P4E所成角為30，可求得8c的長，再根據(jù)空間向量的夾角

公式即可求得答案.

(1)

AM是直角三角形.

叢1.平面A8CD,

：.PA1BC,

又「底面A8C。是矩形，

.-.ABA.BC,且PAAB=A,

.?.3。_1_平面248,又AFu平面PAB,

：.BC1AF,

又AFLPB,且PBcBC=B,

A尸，平面PBC,又EFu平面P8C,

AF1EF,即ZAFE=90,

,當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上移動時(shí)，AEF是直角三角形.

⑵

因?yàn)锳4=A8=2,則F為PB的中點(diǎn)，

20

因?yàn)镋F//BC,

所以點(diǎn)E是8c的中點(diǎn).

%_1_平面488,且平面438是矩形,

所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)BE=a,則3C=2a,

所以A（0,0,0）,B（0,2,0）,P（0,0,2）,E（a,2,0）,D（2a,0,0）,C（2a,2,0）,F（0,l,l）；

則尸8=（0,2,-2），尸E=（a,2,-2）,AP=（0,0,2）,

“.AP—0

設(shè)平面PAE的法向量為機(jī)=5,丫0,々））,則由|,

m-PE=0

[2z=0

即《（），

l^o+2>'o-2zo=O

令%=1,則%=-￡,z（）=0,所以機(jī)=（1,4,0）；

依題意得PB與平面R4E所成角為30，

所以，￡（2,2,0）,D（4,0,0）,C（4,2,0）

則PC=（4,2-2）,PE=（2,2,-2）,PO=（4,0-2）,

設(shè)平面PCE的法向量為〃=（X1,y,zJ,

J〃-PQ=0j4x,-2z,=0

由<即<