高中數(shù)學(xué)2023新高考二輪復(fù)習(xí)12導(dǎo)數(shù)解答題之證明不等式問題（原卷版）

微專題12導(dǎo)數(shù)解答題之證明不等式問題

【秒殺總結(jié)】

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)>g(x)(或〃x)<g(x”轉(zhuǎn)化為證明〃x)-g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),進而構(gòu)造輔助函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)；

(2)適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).

(4)對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友

(5)凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題

(6)同構(gòu)變形

【典型例題】

例1.(河南省南陽市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期中質(zhì)量評估理科數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/\x)=Inx,

g(x)=x+GR).

⑴若/(x)Vg(x)恒成立，求實數(shù)加的取值范圍；

(2)求證：當x>0時，+&二二12[nx+1.

例2.(2023屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx-x,g(x)=x+f,且函數(shù)/(x)與g(x)有相同的極值

點.

(1)求實數(shù)。的值；

(2)若對Wx,wetj],不等式恒成立,求實數(shù)上的取值范圍；

_eJ〃+1

(3)求證：/")+g(x)<e」cosx

例3.(云南省昆明市2023屆高三摸底考試數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)f(x)=x-sinx,xe(0,+s).

(1)求曲線y=/(x)在點《,/《))處的切線方程;

(2)證明：2ex-f(x)+cosxex>1.

例4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'sinx-"zsin(x-；)xw[0,7i].

(1)若判斷函數(shù)/J)的單調(diào)性;

(2)證明：ev(?r-x)+l>sinx-cosx.

例5.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=W衛(wèi),aeR.

⑴若x=l是〃x)的極值點，求公

⑵當a4-1EI寸，證明：/(x)<ex-2-l.

例6.(2023?江蘇南京?南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測)設(shè)/(x)=ln(x+l)-x-f,g(x)=aV,xe-pl

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當時，/(x)4g(x).

例7.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)="-4x+2lnx(aeR).

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若a=2,證明：/(x)+(2x-2)-Inx<2(e,-2x).

例8.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e'-x-l.

⑴求/(x)的最小值；

(2)證明：/(x)>e2lnx+x2-3x.

【過關(guān)測試】

1.(2023秋?山東德州?高三統(tǒng)考期末)設(shè)函數(shù)/'(x)=e"-ex-ax(lnx-l)(aeR),g(x)=/'(x)+e其中e為自

然對數(shù)的底數(shù).

⑴當”<0時，判斷函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性；

(2)若直線P=e是函數(shù)y=g(x)的切線，求實數(shù)。的值：

(3)當a>0時，證明:g(x)>2a-a\na.

2.(2023秋?貴州銅仁?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=x-aln高aeR).

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性及極值，并判斷方程b-2x-lnx=0的實根個數(shù);

(2)證明：eY+4x4lnx>x5+x4.

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(司=迎詈.

(1)求函數(shù)/")的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當X>0時，都有〃x)ln(x+l)<(+臺.

4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(力=笑皿.

⑴討論/*)在區(qū)間(1,+8)上的單調(diào)性；

(2)當a=1時，證明：x-es",Jt>x-/(x)+sinx.

5.(2023秋?遼寧?高三校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(x)=e'-4x-l(aeR).

⑴若〃x)20在xe(-*+8)上恒成立，求實數(shù)。的值：

(2)證明：當xe(O,l)時，x(lTnx)<x+12.

6.(2023秋?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ei+ox.

(1)若/(x)20恒成立，求。的取值范圍；

(2)當〃?2/時，證明\nx+-------sinx>l恒成立.

x

7.(2023?四川成都?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=lnr+QTaER.

(1)若求。的取值范圍；

⑵當"(0』時，證明：/(x)4七里.

8.(2023?四川德陽?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/("二號，xe(0,+8).

e—1

(1)判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)性；

(2)證明：1</(x)<l.

e+1

9.(2023秋?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ei-lnx(其中e=2.71828…是自然對數(shù)底數(shù)).

⑴求/(X)的最小值；

a2

(2)若過點(〃,b)(ax0)可作曲線/(尤)的兩條切線，求證：h<2e-'-2\n\a\-a+2a-^.(參考數(shù)據(jù)：

ln2?0.693l,ln3=1.0986,ln5?1.6094)

10.(2023秋?河北張家口?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(X)=-猶"1

(I)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性:

(2)證明:lnx+ar-1>——

/W

11.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xln(x+l).

(1)判斷0是否為/(x)的極小值點，并說明理由；

(2)證明：§>-gx+l.

12.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/。)=62，-取2一_1,8(》)=2/(/-/+幻

(1)若/(x)在R上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)當。=一1時,證明：/(x)>g(x).

13.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=21nx-ax+l

⑴若/(x)存在零點，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若%是/(x)的零點，求證：

X。X,

14.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Hnr+x2,其中aeR.

⑴當。=-2時，求〃x)的極值；

(2)當a=1時，證明：j(-V)^x2+x—\；

15.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xhrt+“(a€R).

⑴若/(x)最小值為0,求。的值；

(2)g(x)=-^--x--+l(x>0)>若a》N,g(b)<0,證明/(x)>b.

8xe

16.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=axlnx+x2,g(x)=er+x-l,tzeR.

(1)討論函數(shù)/(x)極值點的個數(shù)；

(2)若0<a41,求證：/(x)<g(x).

17.(2023秋?河南?高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e;；--ax-1,若/(x)=當"H"*,

22

其中g(shù)(x)為偶函數(shù),〃(x)為奇函數(shù).

⑴當4=1時，求出函數(shù)g(x)的表達式并討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性；

⑵設(shè)/'⑺是/(x)的導(dǎo)數(shù).當"