高中數(shù)學(xué)競賽真題9平面幾何（學(xué)生版+解析版50題）

競賽專題9平面幾何

（50題競賽真題強化訓(xùn)練）

一、填空題

1.（2018?天津,高三競賽）凸六邊形ABCDEF的6條邊長相等,內(nèi)角A、B、C分別為

134。、106。、134。.則內(nèi)角E是（用度數(shù)作答）.

2.（2020?江蘇,高三競賽）在平面直角坐標系-中，直線）=人與圓C：

&-27『+（），-36）2=5交于人，8,則|。4|0目=

3.（2021.全國?高三競賽）在“8c中，NA8c所對的旁切圓與邊八C相切于點。，

乙48所對的旁切圓與邊A8相切于點E.若|A8|=1」AC|=2,則史面積的最大值

為.

4.（2021?浙江?高三競賽）在“8c中，AB>AC>BC,在例，N為A8上兩點，且

AN=AC,BM=8C,點,P為AABC的內(nèi)心.若NMPN=75°,則/AC8=.

5（2021?全國?高三競賽）設(shè)三個不同的正整數(shù)“、氏c成等差數(shù)列，且以久、護、c5

為三邊長可以構(gòu)成一個三角形，則?的最小可能值為

6.（2019?貴州侑三競賽）如圖，在△/WC中，八/3=3（）,八C=20,S?C=2）0,I）、E

分別為邊43、八C的中點，N/3AC的平分線分別與“￡、8c交于點AG,則四邊形

liGi'D的面積為--------

7.（2018?山東?高三競賽）若直線6*-5.\-28=0交橢圓*+與=1（“>〃>（）,且

crb-

a\〃為整數(shù)）于點A、C.設(shè)8（0,。）為橢網(wǎng)的上頂點，而"8c的重心為橢圓的右

焦點人，則橢圓的方程為.

8.（2018?河北?高三競賽）在AABC中,AC=3,sinC=<siiM（k>2）,則△ABC的

面積最大值為.

9.（2021?全國?高三竟賽）已知直角梯形A8c。中，ABHCD,對角線AC、8。相交于

O,NOA8=90。，P、Q分別是腰A。、8C上的點，且

4BPA=NDPC,NAQB=NOQC,若2AB=3CD,則而=.

10.（2019.山東?高三競賽）△A8c中，A8=16,8C=56,C4=9.在AABC外部,到點

8、C的距離小于6的點蛆成的集合，所覆蓋平面區(qū)域的面積是.

二、解答題

II.（2021,全國?高三競賽）已知△A8C滿足乙4=60°,E、F分別為A8、AC延長線上

的點，且8E=C尸=8CAAC￡的外接圓與Ek交于不同于E的點K證明：點K在

NMC的角平分線上.

12.（2021?全國?高三競賽）如圖，在平行四邊形A8C。中，A、G分別是邊A8、反'上

的點，線段AG、CA交于點P,&A47和ACCf的外接圓的第二個交點。位于

△48的內(nèi)部.證明：NPDAMQBA.

13.（2021?全國高三競賽）如圖，設(shè)0、〃分別為△/48c的外心與垂心，M、N分別為

BH、CH的中點.88'是AA8C的外接圓的一條直徑，如果是一個圓的內(nèi)接四

邊形，證明：B'N=-AC

2

14.（202卜全國.高三競賽）如圖，已知銳角AA8c的外接圓為「，過8、C分別作圓「

的切線交于點尸，?在直線3C、AC.A8上的投影分別為。、￡、F,A。防的外接

圓與8c交于點N（不同于點D）,A在8c上的投影為M.求證：BN=CM.

A

r

ND

E

15.（2021?全國高三競賽）如圖，已知等腰三角形ABC中，A8=AC,M為8c的中

點.。為線段8"上一點，E、F分別為AC、A8上的點，且四邊形AE。尸為平行四邊

形.80交DE千點.P.CO的延長線交。廠的延長線于點。，d8C的外接圓。。交

△ADM的外接圓于A、K兩點.

求證：K、Q、P、。四點共圓.

16.（2021?全國俗三競賽）如圖，AE.人尸為圓的兩切線，A8c為圓的一條割線,

E/,.為切點連線，。為過C、8關(guān)于圓的切線的交點，證明：。、E、尸共線.

17.（2021.全國高三競賽）如圖，在心AA8c中，N4C8=90。，C為重心，P為射線

AG上一點，滿足ZCM=NC48,。為射線8G上一點，滿足/CQB=NA8C,證

明：AAQG、ABPG的外接圓的另一個交點在AB上.

18.（2021?全國高三競賽）如圖，設(shè)圓內(nèi)接四邊形/WC7）的對角線八C與/"）交于點

P,并且/M與C8交于Q.若PQ.LAC,且￡是八8的中點.求證：PE1BC.

19.（2021,仝國?高三競賽》如圖，在AA8c中，BC最短,D、￡分別在48、4C上滿

足BD=CE=BC,設(shè)/是AA8c內(nèi)心，。是AAOE夕卜心，求證：O!1.BC.

20.（2021?全國?高三競賽》如圖，銳角AA8c中，D為邊BC中點、.△A8D內(nèi)切圓與

邊/W切一點￡AAC。的內(nèi)切圓與邊AC切于點F,若四邊形以）"；為平行四邊形，求

證：G在用C的平分線上.

21.（2021?全國高三競賽）如圖，已知圓。是“WC的外接圓，切線8P、CP交于點

匕。是8c的中點，K、4分別在線段A&AC上，過滿足切」一ZJD,連結(jié)KP、LP.

求證：NBPC=2NKPL.

A

D

P

22

22.（2021.全國?高三競賽）點P為肺例「+與=1（〃>八0）外一點，過。作橢圓兩條

a'b'

切線而、PB,切點分別為A、8,連結(jié)A8,點例、N分別為南、A8中點，連結(jié)

M2并延長交Iffi圓于點C，連結(jié)PC交橢圓于另一點。，連結(jié)M）并延長交戶8于。，證

明：。為P8的中點.

23.（2021?全國?高三競賽）如圖，在銳用4A8C中，AB>AC,D、E分別是八/八

AC的中點，的外接圓與A8（芯的外接圓交于點P（異于E）,“力"的外接圓

與△8C7）的外接圓交于點Q（異于D）,證明：AP=AQ.

24.（2019?江西?高三競賽》如圖所示,BE、CF分別是銳角三角形A48C的兩條高,以

4,為宜徑的圓與直線CF相交于點M、N,以AC為直徑的圓與直.線/明相交于點P、

25.（2019?山東府三競賽）已知：正方形A8C/）的邊長為1點”是邊A。的中點以“

為圓心A/）為直徑作圓，點A在線段4,上，且直線?！昱c圓相切.求△。用的面積.

26.（2018?江西島三竟賽）如圖，AABC的內(nèi)心為/,D、E、G分別是邊8C、

CAsA3的中點，證明：直線。平分△/）■'的周長.

27.（2018?福建?高三競賽）如圖，在銳角”8。中，￡、￡是邊8c上的點，“8C、

△ABD、AA/）C的外心分別為0、P、Q.證明：

（1）“尸QSAABC；

（2）若EOJ.PQ,IAHQO.LPE.

28.（2019?全國高三競賽）在A48c中，設(shè)/C=90。，CD1AB,垂足為D,P、Q分

別為AWC、&3QC的內(nèi)心，PQ與CD交于點K,記AA8C的面積為S.證明：

11_I

CKr~ciy='s'

29.（2018?全國?高三競賽）如圖，OQ與。。：的半徑相等，交于X、Y兩點.A48C內(nèi)

接于。且其垂心H在。。?上，點Z使得四邊形CXZY為平行四邊形.證明：AB、

XY、HZ三線共點.

30.（2021?全國高三競賽）如圖，以48為直徑的圓上有C、。兩點，AC,8。兩點

的中點為《、”，直線￡廠與宜線人/）、8C'分別交于G、H,求證：以由為直徑的圓

和以“為直役的圓有一交點在8匕

H

D

31.（2021.全國兩三競賽）如圖所示，在等腰“8c中，A8=AC,設(shè)點。是邊人C

I二一點.點E是線段/"）的中點,延長AE與底邊3C交于點尸.證明：若BF=EF,求

證：AE2=ABAD.

32.（202卜全國?高三競賽）如圖，在銳角6ABe'中，已知點D反尸分別是點A、及C在

邊AC、C4、A8上的投影，.AEF、。尸的內(nèi)心分別為L、％,“。門的外心

分別為Q、q,證明：

33.（202卜全國兩三競賽）如圖,A8是。O的一條弦，A8的垂直平分線交（3。于

M、N兩點，交AB于點/）.尸為OO內(nèi)一點，△/）歷戶外接圓交PN于點E.AABE的外

接留交"P于點且點M、P、瓜尸在宜線A8同側(cè).證明：EF1.PN.

M

34.（2021?全國向三競賽）如圖，銳角AA8C的外接圓為「.。是A在8c上的射影，

假設(shè)A￡>=8C,點M為。C中點，/AOC的角平分線與八C交于點N,「上一點P滿

足8戶"AC.直線。N與AM交于點兒直線/V?'與圓「再交于點Q.直線人C與

VPNQ的外接圓再交于點￡證明：NOQE=90。.

35.（2021?浙江?高三競賽）如圖，。。是“18c的外接圓，。是弧8c（不含A）上一

點，S為弧8八C的中點./>為線段5。上一點，過戶作08的平行線交A8于點￡,過〃

作。。的平行線交AC于點尸，過。作S。的平行線交弧8OC于點兀已知。。上的點

。滿足NQA。被A7?平分.證明：QE=QF.

36.（2021?全國高三競賽）在銳角AA8C中，。為邊8c上一定點，P為4）邊上一動

點，直線CP交43千點Q,DQ交BP于點X..BCX、ACAX、”AX的三個外接圓

分別交。。于X外的另三點X、X、匕，過X、為、八分別作。。垂線4、4、4,證

明：4、4、/,均過定點.

37.（2021?全國?高三競賽）在A/WC中，點9、Q、K分別位于邊8C、CA,A8上，

%、為、氣分別是“Q＜、△BRP、A"Q的外接圓，線段的與以、%分別

38.（2021?全國?高三競賽）點。是A/WC的外接圓圓心，含點A的/3c的中點為S,點

7在不包含點A的8c上.點M在圓。上且SM〃。了.點，在線段SM上.過點/,作MB的

平行線交A8于點/：過點。作MC的平行線交AC于點E.點Q在圓。上，使得A7.是

NPAQ的角平分線.證明：QE=QF.

A

M

39.（2021?仝國?高三競賽）如圖，在“8。中，N4NN8NNC,且為“。邊上的

高，M為/1C邊上的中線，CP'為NC的平分線，人D與CA塊:‘分別交于P、K兩點,

BE與CF交于Q點,令》=2.求證：且，是最好的界（即可以無限接近

566

40.（2021?全國?高三競賽）設(shè)△A8C的內(nèi)心為點/,內(nèi)切園分別切8C、C4、A8于

。、E、F.直線。廠與/?/交于點N.連結(jié)并延長/加，交AC于點用.求證：M是

AC中點.

41.（2021.全國高三競賽）已知。。上依次四點A、4（、。，射線A8、ZX;交于點P.射

線,4。、8c交于點Q,弦4C、8￡?交于點R,點M為線段PQ的中點.過點。作MR的

垂線，分別/'Q、MR于點、U、R過點。作。。的切線UK,與。。切于點K.

u

證明:(l)匕明KOBI點共圓:

(2)K、M、K三點共線.

42.(2020?全國?高三競賽》如圖，在等腰“8C中，A8=8C,/為內(nèi)心，M為由的

中點，戶為邊人C匕一點，滿足A尸=3pC,P/延長線上一點，滿足胸/_LP〃，Q為

△A8C的外接圓上劣弛A8的中點.證明：BH1QH.

43.(2020?全國兩三競賽》如圖，在銳角△A8c中，M是8c邊的中點點P在△/WC

內(nèi)，使得人P平分N8八C.直線MP與^ABP、△ACP的外接圓分別相交于不同于點P

的兩點。、￡證明：若l)E=MP,則8c=28P.

44.(2019.江蘇.高三競賽)如圖所示，。是△/U3C中，邊8c的中點，K為AC與

△八8”的外接圓。的交點，EK平行于AH且與網(wǎng)0交于E,若A1HDE、求證：

AB+AK=KC.

K

C

45.（2019,廣西高三競賽）如圖所示，AI）.人”分別是△A8C（其中43>AC）的角平

分線、高線，點M是AO的中點，△MOH的外接圓交CM于點￡求證：ZA￡B=90°.

46.（2019?福建?高三競賽）如圖，O、H分別為銳知△A8c的外心垂心，AZ）_L8C于

D,G為4”的中點點K在線段G“上，且滿足GK="O,連結(jié)K。并延長交人8于點

E.

（1）證明：EKJ/HC；

（2）證明：GELGC.

47.（2019,全國?高三競賽）如圖，點人從C、/）芭在一條直線上順次排列,滿足

BC=CD=yjABDE.點?在該直線外，滿足P8=PD點KL分別在線段P8、P。上，滿

足KC平分Z.BKE,LC平分ZALI).

證明：4KLK四點共圓.

48.（2021?全國?高三競賽）如圖，給定兩個相交的圓。Q與。。2，A、B為的、。②

的交點，一動直線經(jīng)過8與OQ交于點C,與。仇交于點■，且B在線段C。內(nèi)，過C

的。。/KJ切線與過D的。。2的切線相交于點M,連結(jié)AM交C。于點E,過點E作

DM的平行線交A。于點K,求點K的軌跡.

A/

（2021?全國?高三競賽）AA8C的外接圓與內(nèi)切圓分別為「、Q.C”為A-旁切圓.

49.證明：存在唯一圓叫,叫與a內(nèi)切、與Q?外切,并且與「內(nèi)切于點A.

50.設(shè)圓電與Q,、Q的切點分別為P、Q.如果N%IQ=NC4P,求證：AB=AC.

競賽專題9平面幾何

(50題競賽真題強化訓(xùn)練)

一、填空題

I.(2()18?天津高三競賽)凸六邊形ABCDEF的6條邊長相等，內(nèi)角A、B、C分別為

】34。、106°>134。.則內(nèi)角E是(用度數(shù)作答).

【答案】134。

【解析】

【詳解】

不妨設(shè)邊長為I,設(shè)AC、DF的中點分別為M、N,且A在DF上的射影為K,則

ZBAM=37°,NM4F=97°,ZA?K=83°,即PK=cos83°,AW=AM=cos370

乂設(shè)乙EFN=.v,則FN=cosx,利用FN=FK+KN,

我們有cost=cos830+cos37°=2cos60°cos23°=cos230.

因此x=23°.即等腰ADEF的底加為23。，可見其頂加E為134。.

故答案為134。

2.(202()?江蘇?高三競賽)在平面直角坐標系屹)-中，苴線門息與圓C：

(x-27f+(.y-36y=5交于A,B,則|(洶|0埋=.

【答案】202()

【解析】

【詳解】

解析：=202().

故答案為:202().

3.(2021?全國?高三競賽)在AA8c中，Z/18C所對的旁切圓與邊人C相切于點。，

ZAC8所對的旁切圓與邊A8相切于點￡.若［A8|=1」AG=2,則“AZ把面積的地大值

為

【答案】迎

8

【解析】

【詳解】

設(shè)邊BC、C4、A8的長度分別為“、6、則

IAO|=；(“+〃-c)JAE|=+c-/>),

故S,.,戊=^\AD\\AE\^nA

-S-c)[sinA

(a2-b2-c

=1.+1sinA-2/?c

8I2bc

=-(l-cosA)sinA-4=1.2sin2-2cos-sin-=2sin*4cos-

8222222

.2A.3A.?>A

“，AAsin-snr-stir-4

入(S亞)2=4sin6—cos2—=4x27x-----x-----x-----xcos2—'

'皿〃223332

.->A.,A.,A

sin"—sin"——sin'—

2722AA

---------十--------4+------上+COS—27

<4x27x3332

464

故3乎（等號在A*時取到）.

故答案為：—

8

4.（2Q2I-浙江高三競賽）在AA8C中，AB>AC>BC,在何，N為A8上兩點，且

AN=AC,BM=BC,點P為"BC的內(nèi)心若NMPN=75°,則/AC8=

【答案】105

【解析】

【分析】

【詳解】

證明：連接例、PB、PC及PM、PN.

山已知易證MPCW/MPN,MPC注ABPM.

從而PC=PN,PC=PM,即PM=PN=PC.

故P為△CMN的外心，此時有4MPN=2NMCN.

而/ACN=90°-!/A,ZBCM=900--ZB,

22

故NACN+ZBCM=y80°-；(NA+N8),

即NMCN+NACB=180°-1(ZA+ZB),

則ZMCN=ZMCN+NACli-ZACB

=(180。-Z4Cfi)--(/A+NB)

=(NA+/8)-g(NA+N8)

=g(/A+NB).

故乙”夕心2NMCN=NA+N/，=180°-NC

所以NC=180°-NMPN=180°-75°=105°.

故答案為：105°.

5.(2O2I?全國而三競賽)設(shè)三個不同的正整數(shù)“、氏c成等差數(shù)列,且以2、h\e

為三邊長可以構(gòu)成一個三角形，則。的最小可能值為

【答案】I0

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)“M-A,c=〃+A為正整數(shù)，由于以八按、o'為三邊長可以構(gòu)成一個三角形，

則S-Q'+hs>(h+A)5ob'>10〃*+20/rk3+2ks,

所以〃'>l0Z/A">10?,

于是,a=l，-k>9k，U|：W?>9A-+I>)0.

故答案為：10.

6.(2019?貴州?高三競賽)如圖，在△ABC中,48=30,八C=20,SMQ210,1)、E

分別為邊A3、AC的中點，NBAC的平分線分別與?！?、8C交于點八G則四邊形

8G/'/)的面積為

【答案】等

【解析】

【詳解】

如圖,在"BC中，由AG平分N/3AC知=:.故聲改=照=]

BGAH35“如BC5

G

DB

33

又SAA3C=210,則“的=/皿=^x210=126.

由。、E分別為邊A8、AC的中點知48c.所以8G.

由聲2^=得到￡.8=奧,故"邊船刖二=126-警=等.

Q"〃G422.2.

故答案為：號.

7.（2018.山東.高三競賽）若直線6x-5y-28=0交橢圓工+與=1且

“-b-

"、/,為整數(shù)）于點A、C.i殳8（0,〃）為橢圓的上頂點，而AAAC的重心為橢圓的右

焦點6,則橢圓的方程為

洛案】

【解析】

【詳解】

設(shè)A(s),c(±M，

由題意AABC的重心為橢圓的右焦點號，整理得出+%=3r，/+H=-〃.

由A（qX）,C（三,⑼布直線6X-5.V-28=0上,得到：二？=’,

由哈3CHM在橢圓今/叱〃＞。）上，得到「+營印，

(丹+乂6

兩式相減并整理得-7■=

(x2+X))(,v:-.V))3c5

整理得2/=5"①

因為A(.r”yj,C(.r2,力)在直線6A-5J-28=0±.

所以有6人-5y-28=0,6x2-53-2-28=0.

將*+a=3c,凹+.*=-〃代入得6x3c-5(-%)-56=0,

整理得18c+5〃=56.②

聯(lián)立①②，且注意到。、b為整數(shù)，解得c=2,6=4,/=20.

故所求的橢圓方程為二+￡=I.

2016

8.（2018?河北?高三競賽）在AABC中,AC=3,sinC=AsinA（k>2）,則AABC的

面積最大值為.

【答案】3

【解析】

【詳解】

山正弦定理將sinC=AsinA變形為c=A?.其中c=AB.a=BC

以線段AC所在直線為x軸,以AC的中點O為坐標原點建立平面自用坐標系，則

兩邊平方整理得伊-1卜2+伊-1）』_（3《+3）\+萍一1）=0

因為北.2,所以上述方程川化為為d+/_（3七+3）,+2=o

k2-\4

3k

由此可知點B的軌跡是以扣胃.（）為圓心，以〃=日為半徑的圓所以當點B在

3*

圓上運動時，點B到x軸的最大距離為半徑所以金C的面枳

c?°3Z乙9I?9I

S'xBxg伏二^^丁丁在八2上單調(diào)遞減,所以九、=^[[=3

k

~l2-2

9.（202卜全國?高三競賽）已知出用梯形A8CO中，ABHCD,對角線AC、8。相交于

O,Z￡MB=90°,P、Q分別是腰A。、8c上的點，且

OP

NBPA=ZDPC,2AQB=NDQC,若2A8=3C。，則而=

【答案】I

【解析】

【分析】

【詳解】

如圖所示，記尸為過。點在A/）上的垂線的垂足,。為過戶點在BC上的垂線的垂

足，下證兒。即為所求.

對。,白?布=--1所以有ACDP^GBAP,從而NCPD=ZBPA.

APOBAB

對Q,PQ工BC,所以P、。、C、/）,P、。、8、A均四點共圓，

所以VlNDQC=乙CPD=ZBPA=NAQ8.

設(shè)A。、8c交于T,K為7P的中點.不妨設(shè)AD=5,

則DT=10,DP=2.AP=3.TP=12.KP=6.K1)=4,TK=6,

從而蕓=舁=￡，所以O(shè)K〃BT,所以。

KTOB3

OP

由KP=KQ,所以O(shè)P=O。，從而右而=I.

故答案為：I.

10.（2019?山東?高三競賽）△A8C中,八/，=】6'院?=5五,。八=9.在乙48。外部，到點

8、C的距離小于6的點組成的集合，所覆蓋平面區(qū)域的面積是.

【答案】54萬+四叵

4

【解析】

【詳解】

分別以點8、C為圓心，6為半徑作圓，交于三角形外一點“，連結(jié)/"）、CD-.

5353

cos4=—.cosZflDC=,故A、B、■、C四點共圓，所以NA8O+/AC￡）=".

7272

乂易知人8與圓C相而，故所求的面積為2個圓的面積去掉半個圓的面積再加上4

8。的面積等于54萬+龍變.

4

故答案為：54”+力陛.

4

二、解答題

11.（2021?全國?高三競賽）已知，8。滿足4=60。，￡、F分別為A8、AC延長線上

的點，且BE=CT=8CAACE的外接圓與上/「交于不同于￡的點K.證明：點K在

皿。的角平分線上.

【答案】證明見解析

【解析】

【詳解】

設(shè)BF與CE相交F點7.連結(jié)題、CK.

由NBCE+NBEC=NABC,及BC=BE,得NBCE=LNABC,

2

類似可得NC8F=；NAC8.故

ZCTF=NBCE+Z.CBF=-(ZABC+ZACB)=6()。，

2

因此，八、B、T、C四點共圓.

進而，4EBF=Z4CE=ZAKE.〃8尸=180°-ZEBF=180O-NAKE=NAKF.

所以A、8、K、/；四點共圓.

山乙EBK=NCFKNBEK=aFCK,及BE=FC,得^KBE'KFC.

干辿KC=KE.因此，KC=KE,即AK是N8AC的角平分線.

12.(2021?全國?高三競賽)如圖，在平行四邊形A8CO中，A、G分別是邊A8、8c上

的點，線段AC,、C4交于點尸，AAA/和△CC7的外接圓的第二個交點。位于

△ACO的內(nèi)部.證明：NPDA=NQBA.

【答案】證明見解析

【解析】

【詳解】

對完全四邊形8GCPAA,用密克定理，知Q、A、民C四點共圓，所以

Z.QC13=ZAA.Q=ZAPQ.

又因為ZPAQ=NPAQ=NC8Q,所以APAQSAC"。

,,APBCAD

因此而=加=丁,

結(jié)合NPAD=NPCIB=APQC知^PAD^^PQC.

因1）匕NPDA=NPCQ=N48Q.

13.（2021?全國?高三競賽）如圖，設(shè)0、〃分別為的外心與垂心，M.N分別為

BH、CH的中點.88'是AA8c的外接圓的一條直徑，如果〃ON仞是一個圓的內(nèi)接

四邊形，證明：B'N=-AC.

2

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

如圖，設(shè)尸為AC的中點.連接9/、4?',8匕片0,9。尸,0仞,0〃.可證尸、A、0、

〃四點共陰，從而可證明四邊形8'WC為等腰梯形.故可證8'N=，AC.

2

【詳解】

如圖，連接A〃,A8'.8'CAO,^AHLBC.B'CLBC,故AH//B'C，同理A?〃HC,

故四邊形AHCB）為平行四邊形

設(shè)/?,為AC的中點,故。'、F、，共線,且尸為的中點，

連接FMOF,結(jié)合N為CH的中點可知，F(xiàn)NUffC.

連接。例?！?則?！啊?'〃，故二FHO=NHOM=兀一4HNM=加一4HCB.

另一方面，容易得到NB4O=]-NA8C=N〃C8,故NFHO+NFAO=萬，

從而八八、。、〃四點共圓，

從而可知NFB'C=ZFHA=AFOA=ZA8C=1-ZAB'C=ZNCB'.

從而四邊形rwc為等腰梯形，進而8'N=CF=；AC，證畢.

【點睛】

思路點睛：競賽中的平面幾何，大多數(shù)與四點共圈相關(guān)，因此需要結(jié)合三角形中各類

角的性質(zhì)進行大小關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

14.（2,21?全國?高三競賽）如圖，已知銳角d8C的外接圓為「，過8、C分別作畫「

的切線交于點尸，P在直線8C、AC.A8上的投影分別為。、E、F,"）所的外接

圓與BC交于點N（不同于點D）,A在8c上的投影為M.求證：BN=CM.

A

*

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

【詳解】

連結(jié)AP、EF、DE、FN.

因為叩_L8C,P”1A8,所以NDP〃=48C.

因為P8、〃。與。。相切，所以N8AC=NgCP=NC8P.

因此Z.PCE=1800-ZAC8-"CB=1800-ZAC?-N8AC=Z.AHC=4DPF.

又因為戶。，8c.PELAC,所以NPCE=NPDE.

所以PF//DE,因此ZPFE=ZDEF.

乂因為尸、￡/）、N四點共圓，所以N8N尸=N。上方.

乂因為戶、E、八、/??四點共圓，所以NBNF=NPFE=NPAC.

乂因為NPCE=48C,所以NACPnNMBU,

故ABFN^hCPA1所以=石,

[5]j）tBN=—AC=—AC=ACcosZPBF=ACcosNAC8=GW.

CPBP

15.（2。21?全國誨三競賽）如圖，已知等腰三角形A8C中，AB=AC，M為8c的中

點.“為線段8M上一點，E、F分別為AC、A8上的點，且四邊形AED廠為平行四邊

形.BO交DE于點P*CO的延長線交/）尸的延長線于點Q,AA8c的外接圓。。交

△ADW的外接圓于八、K兩點.

求證：K、Q、P、。四點共圓.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

【詳解】

因為08=OA.AE=尸￡>=BF.NOBA=Z.OAB=ZE40.

所以AOAEgAOBF,所以Zfi/'O=ZAEO，

所以八、￡、F、。四點共頃I,記該圓為

乂NOPE=NOBA=NOAE,故行尸在做上，同理。也在回匕

ZSADM的外接圓圓心/V為AD的中點，即EF的中點.

乂OE=OF,故有。V.L￡F，所以（入N與”的圓心共線.

所以三圃關(guān)于直線OZ對稱，故人?也在”上.

所以K、Q、P、。四點共圓.

16.（2021?全國?高三競賽）如圖，AE,行為圓的兩切線，A8c為例的一條割線,

￡廠為切點連線，/）為過C、8關(guān)于圓的切線的交點，證明：/）、E、F共線.

￡

A

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】

【詳解】

法一：共同證法.

作圓心0,連結(jié)A0nEF=例，連結(jié)M3、0C.

由于DC、為圓。的切線，故?、C、/）、8四點共圓.

對Rt^AOF用射影定理nAM-AO=AF2.

y.AF2=ABAC=>AMAO=ABAC,即“、0、C、8四點共圓.

=>（）、C、/）、從例五點共圓，故。、C、例、8四點共圓.

=>ZAMB=ZOCB=ZOBC=ZOMC=/W'平分NCMB.

乂CD=BD=MF過D，即。、E、F共線.

法二：塞瓦定理.

sinZBDFsinZFCDsinNCBF

對F及△0）8用塞瓦定理,------------X--------------X--------------=1

sinZ.CDFsinZBCFsinZFBD

sinZ^EsinZDCEsinZEfiC

對上及久加）用塞瓦定理,xx=1

sinZCDEsinZECBsinZEBD,

sinZBDFfsinZFBD\

由｝-Z.FCD=4CBF/BCF=Z.FBDn[ainZCBF)

sinZCDF

由于ZDCE=180。一NEBCZEBD=180。一NECB=wi/BDE(絲/E8c

sinZCDE(sin/￡C8

sinZFBD__sinZ.EBCCF二CE

sinZCBF-sinZ.ECB=茄一族’

CFACACCF

由AA8FSAAFC.AA8￡SAA￡C=曰=3=2=匕.

BFAFAEBE

從而D、￡、F共線.

17.（2021.全國高三競賽）如圖，在肋“8C中，NAC8=90°,G為重心，P為射線

AG上一點，滿足NCa4=NC48.Q為射線8G上一點，滿足NCQ8=NA8C,證

明：AAQG、A8&的外接網(wǎng)的另一個交點在A8上.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】

【詳解】

如圖，延長CG與A8交于點J,則/為A8的中點,故NC7%=N68=NACG.

從而“CGsdPCnAGAP=AC2.

同理，BG-HQ=13C2.

設(shè)A8PG的外接圓圓仞與AH的另一個交點為K.

由圓然定理知：AKABAG-APAC2<

所以CK.LA8,手拉BK.BA=BC?=BG-BQ.

因此八、K、G、Q四點共圓，所以AAQG、A8PG的外接圓的另一個交點在A3t.

18.（2021.全國?高三競賽）如圖，設(shè)圓內(nèi)接四邊形A8C。的對角線八C與8。交于點

P,并且/）人與CB交于Q.若PQ.LAC,且E是A8的中點.求證：PEi.BC.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

【詳解】

過B作BF/1PE交AC于F.連結(jié)FQ.

OC

則有”=/平，于是PQ是AF的中垂線,故。4=。尸，

ZQFA=NQAf=180°-ZDAC=180°—Z.DBC=NQBP.

因此。、P、F、8共同1,再山QRL/V-,得8F.L8Q.

而8/■〃柱..故PELBQ.即PELBC.

19.（2021?全國兩三競賽）如圖，在AA8c中，8c最短，/入￡分別在A8、AC上滿

足BD=CE=BC,設(shè)/是AA8c內(nèi)心，。是AAOE外心，求證：O!LBC.

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)AABC的外接阿凡M、N、。分別是弧48、AC.8c的中點.

如圖連結(jié)線段，則由8C=CE得A/8=A布.

又,M4=M8,所以M4=/W￡.于是用OJ.4K.

又/WL八C,所以/W0///W.同理NO〃PM.

再由0/W=/W,即知四邊形OMPN是菱形，

所以MNLOP,并.『LOP=2PMsin=QB=QI.

Q

另方面.山雞爪定理.乂有MN1.AI,所以O(shè)P//Q/且OP=Q1,

即四邊形。PQ/是平行四邊形,所以?！?PQ,所以O(shè)/J.8c.

20.（2021全國.高三競賽）如圖，銳角“8C中，。為邊8c中點，/XABO內(nèi)切圓與

邊A8切一點￡AAC￡＞的內(nèi)切圓與邊AC切于點F，若四邊形EZJ收;為平行四邊形，求

證：G在me的平分線上.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)△A3。的內(nèi)切圓分別與8。、A。切于〃、，兩點：△AC。的內(nèi)切圜分別與DC、AD

切于J、K兩點.

作平行四邊形AGFM,連結(jié)A/W,交八C于點心，則ZMG=NAE0.

HAM//GF//ED,AM=GF=ED,

所以AEDM是平行四邊形，所以A￡〃DM.

13

HDJC

又AG〃MF、所以ZE4G=NDMF、

所以要證明ZE4G=ZFAGoZFML=z^FMoLF=LM.

因為。是8c的中點，AE//DM,所以ZJ也AC的中點，RDL=-AB

2

因此：2LM=2DM-2DL=2AK-AB=AE-EB=AI-BH

=Al-BD+HD=AI-BD+DK+KI

2LF=2AF-2AL=2AK-2AL=2AK-AC

=AK-FC=AI+IK-CF=AI+IK-C/

Al+IK-CD+DJ=AJ+IK-BD+DK,

所以乙仞=乙".所以AG是的C的平分線.

21.（2021?全國?高三競賽）如圖,已知圓。是AASC1的外接圓，切線BP、b交于點

P,/）是8c的中點，K、乙分別在線段A8、AC上，且滿足KD_LZ_D,連結(jié)KRLP,

求證：ZBPC^2ZKPL.

B

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】

【詳解】

如圖，過尸作。例」-A87N.LAC,垂足分別為M、N.

首先，山題意知則/?、M、P、/）共圓，C、MP、。共圓.

而ZKMD=NBPD=Z.CPD=NLND=90。一A,則NMKD+4KDM=90。+A,

而NMKD+NNLD=900+A,故ZNLD=ZKDM,UPAKDM^DLN,

,,KMDN

因此——=——

MDNL

乂因為NPMD=NPBD=ZPCD=NPND,

ZMPN=180°-A=180°-（NMKD+NKDM-900）

=360°-9()°-ZLDN-NKDM=ZMDN.

故四邊形心而為平行四邊形’即得而=而=而r而'

結(jié)合百角，&RtAKMP^RgPNL,即N"何+NUW=90。.

則Z.KPL=4MPN-900=(180°—4)-90°=90°~4.

而NBPC=180°-2A,故NBPC=2aKPL.

22.（2021?全國?高三競賽）點P為橢圓^+￡=】（“＞。＞0）外一點，過。作橢圓兩條

crlr

切線附、用，切點分別為A、B,連結(jié)A8,點M、N分別為總、A3中點，連結(jié)

MN并延長交橢圓于點C,連結(jié)PC交橢圓于另一點。，連結(jié)N。并延長交依于Q,

證明：Q為的中點.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】

【詳解】

\PD\_\KD\

PC與43交于點K.首先證明：P、I）、K、C為調(diào)和點列，即宿一而.

"仇㈤，則宜線A8方程為首

\PD\_\K'1J\

設(shè)P、D、K'C為調(diào)和點列.

x1-2A\N+

-%=

-HT-1+九’

X+Z*

>0=

l-Ai