湖南省衡陽(yáng)市祁東縣過(guò)水坪中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

湖南省衡陽(yáng)市祁東縣過(guò)水坪中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等差數(shù)列{an}中的是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則（

）A.5 B.4 C.3 D.2參考答案：D【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到是方程的實(shí)根，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到答案.【詳解】由題意可知：，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴是方程的實(shí)根，由韋達(dá)定理可得.等差數(shù)列的性質(zhì)可得，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，函數(shù)的極值，對(duì)數(shù)運(yùn)算，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.2.參數(shù)方程（θ為參數(shù)）化為普通方程是（）A．2x﹣y+4=0 B．2x+y﹣4=0C．2x﹣y+4=0，x∈[2，3] D．2x+y﹣4=0，x∈[2，3]參考答案：D【考點(diǎn)】QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】由于cos2θ=1﹣2sin2θ，由已知條件求出cos2θ和sin2θ代入化簡(jiǎn)可得結(jié)果．【解答】解：由條件可得

cos2θ=y+1=1﹣2sin2θ=1﹣2（x﹣2），化簡(jiǎn)可得2x+y﹣4=0，x∈[2，3]，故選D．3.已知X的分布列如圖：則的數(shù)學(xué)期望E(Y)等于X﹣101P

A．

B．1

C．

D．參考答案：A4.下列式子正確的個(gè)數(shù)是

①a>ba3>b3

②log32<1<log23

③a>bac2>bc2

④不等式與不等式x－2>x－5解集相同.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4參考答案：B5.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（

）A.2 B. C.5 D.參考答案：D【分析】由已知可得，求出，再由模長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)乘除法間的關(guān)系、乘法運(yùn)算以及模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.已知平面α∩平面β=直線l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B，D∈β，且A，B，C，D?l，點(diǎn)M，N分別是線段AB，CD的中點(diǎn)．（）A．當(dāng)|CD|=2|AB|時(shí)，M，N不可能重合B．M，N可能重合，但此時(shí)直線AC與l不可能相交C．當(dāng)直線AB，CD相交，且AC∥l時(shí)，BD可與l相交D．當(dāng)直線AB，CD異面時(shí)，MN可能與l平行參考答案：B【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】對(duì)于A，當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共面且AC∥BD時(shí)，則M，N兩點(diǎn)能重合；對(duì)于B，AC∥l，此時(shí)直線AC與直線l不可能相交；對(duì)于C，直線AC平行于l時(shí)，直線BD可以與l平行；對(duì)于D，當(dāng)AB，CD是異面直線時(shí)，MN不可能與l平行．【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)|CD|=2|AB|時(shí)，若A，B，C，D四點(diǎn)共面且AC∥BD時(shí)，則M，N兩點(diǎn)能重合．故A不對(duì)；對(duì)于B，若M，N兩點(diǎn)可能重合，則AC∥BD，故AC∥l，此時(shí)直線AC與直線l不可能相交，故B對(duì)；對(duì)于C，當(dāng)AB與CD相交，直線AC平行于l時(shí)，直線BD可以與l平行，故C不對(duì)；對(duì)于D，當(dāng)AB，CD是異面直線時(shí)，MN不可能與l平行，故D不對(duì)．故選：B．8.若a>b>0，且>，則m的取值范圍是（

）A.mR

B.m>0

C.m<0

D.–b<m<0參考答案：D9.設(shè)α、β為兩個(gè)不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】直線與平面垂直的性質(zhì)；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】計(jì)算題．【分析】面面平行的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．根據(jù)題意由判斷定理得l⊥β?α⊥β．若α⊥β，直線l?α則直線l⊥β，或直線l∥β，或直線l與平面β相交，或直線l在平面β內(nèi)．由α⊥β，直線l?α得不到l⊥β，所以所以“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件．【解答】解：面面平行的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．因?yàn)橹本€l?α，且l⊥β所以由判斷定理得α⊥β．所以直線l?α，且l⊥β?α⊥β若α⊥β，直線l?α則直線l⊥β，或直線l∥β，或直線l與平面β相交，或直線l在平面β內(nèi)．所以“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件．故答案為充分不必要．【點(diǎn)評(píng)】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是判斷充要條件可以先判斷命題的真假，最好用?來(lái)表示，再轉(zhuǎn)換為是什么樣的命題，最后轉(zhuǎn)化是什么樣的條件．10.圓心在圓x2＋y2＝2上，與直線x＋y－4＝0相切，且面積最大的圓的方程為A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

B.(x－1)2＋(y－1)2＝2

C.(x＋1)2＋(y＋l)2＝18

D.(x－1)2＋(y－1)2＝18參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，若則實(shí)數(shù)x=

．參考答案：4【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用．【分析】利用向量垂直的性質(zhì)求解．【解答】解：∵，，∴=6﹣2﹣x=0，解得x=4．∴實(shí)數(shù)x的值為4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．12.下列4個(gè)命題

其中的真命題是_______參考答案：略13.在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則，推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為，外接球體積為，則____.參考答案：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，高為，四個(gè)面的面積為，內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為，則由，得；由相似三角形的性質(zhì)，可求得，所以考點(diǎn)：類比推理，幾何體的體積.14.如果任意實(shí)數(shù)x均使arctan≥–a成立，則a的取值范圍是

。參考答案：a≥015.如圖所示流程圖中，語(yǔ)句1(語(yǔ)句1與無(wú)關(guān))將被執(zhí)行的次數(shù)是

參考答案：25略16.直線的傾斜角是．參考答案：考點(diǎn)：直線的一般式方程；直線的傾斜角．專題：計(jì)算題．分析：利用直線方程求出斜率，然后求出直線的傾斜角．解答：解：因?yàn)橹本€的斜率為：﹣，所以tanα=﹣，所以直線的傾斜角為：．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的一般式方程與直線的傾斜角的求法，考查計(jì)算能力．17.已知兩直線的極坐標(biāo)方程和，則兩直線交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)_____________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）已知直線l與y軸交于點(diǎn)M，且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求的值.參考答案：（1）直線的直角坐標(biāo)方程為，C的普通方程；（2）.【分析】（1）利用將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程.利用將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程.（2）先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線的參數(shù)方程并代入的直角坐標(biāo)方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用直線參數(shù)的幾何意義求解出所要求的表達(dá)式的值.【詳解】解：（1）因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為，所以直線的直角坐標(biāo)方程為.因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線的普通方程.（2）由題可知，所以直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），代入，得.設(shè)，兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，..【點(diǎn)睛】本小題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，考查直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題.19.(本題滿分15分)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，直線：x＝－1將線段F1F2分成兩段，其長(zhǎng)度之比為1:3．設(shè)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中垂線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線l上．（I） 求橢圓C的方程；（II）求的取值范圍．參考答案：(Ⅰ)設(shè)F2(c，0)，則＝，所以c＝2．因?yàn)殡x心率e＝，

所以a＝．所以橢圓C的方程為．

…………6分(Ⅱ)當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，直線AB方程為x＝－1，此時(shí)P(，0)、Q(,0)．當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的斜率為k，M(－1，m)(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得

(x1＋x2)＋2(y1＋y2)＝0，則

－1＋2mk＝0，

故k＝．

…………8分此時(shí)，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為．即

．聯(lián)立消去y，整理得

．所以

，．…………10分20.（本小題滿分12分）如圖，已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且，，是的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到面的距離；（2）求異面直線與所成角的余弦值；（3）求二面角的余弦值．

參考答案：方法一:(1)以為原點(diǎn),、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則有、、、設(shè)平面的法向量為則由由，則點(diǎn)到面的距離為………4分<>所以異面直線與所成的角余弦值為2/5.……8分(3)設(shè)平面的法向量為則由知:由知:取由(1)知平面的法向量為則<>.結(jié)合圖形可知,二面角的余弦值為.………12分方法二:(1)取的中點(diǎn),連、、則面,的長(zhǎng)就是所要求的距離.、，，在直角三角形中，有………4分（另解：由(2)取的中點(diǎn)，連、，則∥是異面直線與所成的角.求得:

…8分(3)連結(jié)并延長(zhǎng)交于,連結(jié)、.則就是所求二面角的平面角.作于,則在直角三角形中,在直角三角形中,略21.（本題滿分12分）已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，側(cè)棱與底面所成角為，點(diǎn)在底面上射影D落在BC上．

（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若點(diǎn)D恰為BC中點(diǎn)，且，求的大??；（III）若，且當(dāng)時(shí)，求二面角的大小．參考答案：∴為側(cè)棱和底面所成的角，∴∴，即側(cè)棱與底面所成角．（III）以C為原點(diǎn)，CA為x軸CB為y軸，過(guò)C點(diǎn)且垂直于平面ABC的直線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（a,0,0），B(0,a,0)，，平面ABC的法向量，設(shè)平面ABC1的法向量為，由，即，

，

∵二面角大小是銳二面角，∴二面角的大小是.

22.某種汽車購(gòu)買(mǎi)時(shí)費(fèi)用為14.4萬(wàn)元，每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)及汽油費(fèi)共0.9萬(wàn)元，汽車的維修費(fèi)為：第一年0.2萬(wàn)元，第二年0.4萬(wàn)元，第三年0.6萬(wàn)元，……，依等差數(shù)列逐年遞增.（Ⅰ）設(shè)使用n年該車的總費(fèi)用（包括購(gòu)車費(fèi)用）為f(n)，試寫(xiě)出f(n)的表達(dá)式；（Ⅱ）求這種汽車使用多少年報(bào)廢最合算（即該車使用多少年平均費(fèi)用最少）.參考答