研究生數(shù)值分析(9)矩陣的條件數(shù)和病態(tài)線性方程組

§3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)線性方程組

判斷計算方法的好壞，可用算法是否穩(wěn)定、解的精確程度以及計算量、存儲量的大小(dàxiǎo)來衡量。然而，同一方法用于不同問題，效果卻可以相差很遠(yuǎn)。解為例如(lìrú)方程組①第一頁，共十五頁。編輯課件方程組

的解為它們的解變化很大，這樣的方程組稱為(chēnɡwéi)“病態(tài)”方程組。②

下面，我們(wǒmen)給出方程組“病態(tài)”，“良態(tài)”概念及其衡量標(biāo)準(zhǔn)，并介紹判斷近似解可靠性方法。第二頁，共十五頁。編輯課件為找出刻畫方程組AX=b①（A非奇異，b≠0）病態(tài)(bìngtài)程度的衡量標(biāo)準(zhǔn)，我們來分析A，b初始數(shù)據(jù)微小變化對解X的影響。由于方程組AX=b系數(shù)矩陣A與右端向量b的初始數(shù)據(jù)微小變化(biànhuà)引起解的很大變化(biànhuà)，這樣的方程組稱為“病態(tài)”方程組。1矩陣(jǔzhèn)的條件數(shù)與線性方程組的性態(tài)第三頁，共十五頁。編輯課件（1）僅b有小擾動(rǎodòng)δb設(shè)方程組AX=b+δb的解為即②-①得

即

于是(yúshì)有另一方面，由①得

且故②③④第四頁，共十五頁。編輯課件由③與④有表明解的相對誤差(xiānɡduìwùchà)不超過右端向量b的相對誤差的倍。⑤第五頁，共十五頁。編輯課件（2）僅有小擾動(rǎodòng)δA（設(shè)A+δA仍可逆）設(shè)方程組的解為即⑥-①得即于是(yúshì)有⑥第六頁，共十五頁。編輯課件因A+δA可逆且b≠0從而(cóngér)X+δX≠0，故由上式可得倍。⑦表明解的相對誤差(xiānɡduìwùchà)不超過系數(shù)矩陣A的第七頁，共十五頁。編輯課件分析表明，數(shù)反映了方程組AX=b的解對初始數(shù)據(jù)A，b擾動(rǎodòng)的靈敏度，可用來刻畫方程組的病態(tài)程度。我們稱數(shù)為矩陣(jǔzhèn)A的條件數(shù)，記作即第八頁，共十五頁。編輯課件與由線性代數(shù)(xiànxìnɡdàishù)知識，有

通常(tōngcháng)使用的條件數(shù)有在行模意義下的條件數(shù)與在譜模意義下的條件數(shù)，即第九頁，共十五頁。編輯課件定義

設(shè)A是非(shìfēi)奇異矩陣，若則稱方程組AX=b為病態(tài)(bìngtài)方程組；若相對(xiāngduì)地小，則稱方程組AX=b為比如矩陣及其逆矩陣良態(tài)方程組。第十頁，共十五頁。編輯課件在行模意義(yìyì)下的條件數(shù)因此(yīncǐ)稱方程組為病態(tài)(bìngtài)方程組。第十一頁，共十五頁。編輯課件

在實際計算中，常通過一些容易得到的信息來推斷方程組是否病態(tài)。例如，當(dāng)出現(xiàn)下列情況之一時，方程組很可能病態(tài)： （1）用選主元消去法消元中出現(xiàn)小主元； （2）系數(shù)行列式的絕對值相對(xiāngduì)地很??； （3）系數(shù)矩陣元素間在數(shù)量級上相差很大且無一定規(guī)律； （4）出現(xiàn)了相對地很大的解。

利用定義判斷一個方程組是否病態(tài)，需要計算矩陣的條件(tiáojiàn)數(shù)，從而涉及計算逆矩陣，極不方便。第十二頁，共十五頁。編輯課件

方程組的病態(tài)性質(zhì)，是方程組本身的特性(tèxìng)。對于病態(tài)方程組，用一般的求解方法不易求得較精確的解，而且病態(tài)越嚴(yán)重，求解越困難。第十三頁，共十五頁。編輯課件練習(xí)(liànxí):求矩陣A的條件數(shù)，其中第十四頁，共十五頁。編輯課件內(nèi)容(nèiróng)總結(jié)§3矩陣的條件數(shù)與病態(tài)線性方程組?！?矩陣的條件數(shù)與病態(tài)線性方程組。判斷計算方法的好壞，可用算法是否穩(wěn)定、解的精確程度以及計算量、存儲量的大小來衡量。然而，同一方法用于不同問題，效果卻可以(kěyǐ)相差很遠(yuǎn)。下面，我們給出方程組“病態(tài)”，“