微積分三大中值定理詳解課件

微積分三大中值定理詳解聰明出于勤奮，天才在于積累微積分(-)calculus第四章中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用§41{分中值定理§42洛必達(dá)法則§43用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、和最值44函數(shù)曲線的凹向及拐點§4曲線的漸近線與函數(shù)作圖§46導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用微積分(-)calculus§4.1微分中值定理、引言二、微分中值定理、羅爾(Rolle)定理2、拉格朗日(Lagrange)定理3、柯西Cauchy)定理小結(jié)微積分(-)calculus、引言(ntroduction導(dǎo)數(shù)刻劃函數(shù)在一點處的變化率,它反映函數(shù)在一點處的局部變化性態(tài);但在理論研究和實際應(yīng)用中,還需要把握函數(shù)在某區(qū)間上的整體變化性態(tài)。中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間上的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)某一點導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。中值定理既是利用微分學(xué)解決應(yīng)用問題的模型,又是解決微分學(xué)自身發(fā)展的理論基石。微積分(-)calculus微分中值定理TheMeanvalueTheorem在微分中值定理的三個定理中,拉格朗日①lagrange)中值定理是核心定理,羅爾中值定理是它的特例,柯西中值定理是它的推廣。下面我們逐一介紹微分中值定理。微積分(-)calculus1、羅爾(Rolle)定理(R-Th)1)在閉區(qū)間[a,b上連續(xù);若函數(shù)f(x)滿足:2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);3)f(a)=f(b則在(a,b)內(nèi)至少有一點占(a<<b,使f(5)=0y=f(x)Bb微積分(-)calculus幾何意義:在兩端點高度相同的連續(xù)光滑的曲線弧上,若除端點外處處有不垂直于x軸的切線,則此曲線弧上至少有一點處的切線是水平的或者說切線與端點的連線AB平行y=f(r)B微積分(-)calculus證明∵f(x)∈C[a,b]∴彐max(min)f(x)=M(m)∈[a,b]1)若M=m,即f(x)恒為常數(shù),f'(x)=0,可取(a,b)內(nèi)任一點作為9;=(,B2)若M≠m,由f(a)=f(b)知,M,m至少有一個要在(a,b)內(nèi)取得不妨設(shè)M在(a,b)內(nèi)點處取得,qa即f()=M≠f(a)→∫(5+△r)≤f(5)∫Ax)-f(2≥0,Ar<0、J(22A≤0Ax>0[f(2所以,f()=0.證畢微積分(-)calculus注意:羅爾定理的條件組是結(jié)論成立的充分條件,任一條都不是必要條件。若函數(shù)不滿足條件組,則不一定有羅爾定理的結(jié)論。例如y=x在-1l端點的函數(shù)值不相等,即f(-1)≠∫(1,但存在=0,使得f"(O)=0微積分(-)calculusI≤x<1再如,∫(x)==1在右端點不連續(xù),但存在=0,使得f(O)=0微積分(-)calculus然而,y=x,x∈[,在x=0處不可導(dǎo)也不存在結(jié)論中的點5,使得r(5)=0.01x◆注意:零值定理求函數(shù)的零點(函數(shù)方程的實根,羅爾定理求導(dǎo)數(shù)的零點(導(dǎo)數(shù)方程的實根)。題型1:驗證定理的正確性。定理結(jié)論中的ξ客觀存在,且可能不唯一,但未給出其具體位置。令導(dǎo)數(shù)為零,求解方程的根,可確定其具體位置。題型2:找區(qū)間(比較復(fù)雜);◆題型3:找函數(shù)(由結(jié)論入手,求解微分方程)26、要使整個人生都過得舒適、愉快，這是不可能的，因為人類必須具備一種能應(yīng)付逆境的態(tài)度。——盧梭

27、只有把抱怨環(huán)境的心情，化為上進(jìn)的力量，才是成功的保證。——羅曼·羅蘭

28、知之者不如好之者，好之者不如樂之者。——孔子

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