投入產(chǎn)出系數(shù)和投入產(chǎn)出模型

關于投入產(chǎn)出系數(shù)和投入產(chǎn)出模型第1頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三2

⒈直接消耗直接消耗包括在生產(chǎn)經(jīng)營過程中直接的生產(chǎn)消耗、直接用于管理的消耗、直接用于勞動保護的消耗和直接用于中小修理的消耗等。

⒉直接消耗系數(shù)

⑴定義第j個部門（或第j種產(chǎn)品）的1個單位產(chǎn)出量所直接消耗的第i個部門（或第i種產(chǎn)品）產(chǎn)出量的數(shù)量。用aij表示。

一、直接消耗系數(shù)第2頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三3投入產(chǎn)出表基本表式第3頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三4

(2)計算

注意：計算公式中分母是Xj而不是Xi，為什么？第4頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三5﹤①②對于價值型投入產(chǎn)出表，存在﹤直接消耗系數(shù)的性質第5頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三63、直接消耗系數(shù)矩陣

將直接消耗系數(shù)按照投入產(chǎn)出表中部門（或產(chǎn)品）的順序排列而成的矩陣。用A表示，為一n階方陣。第6頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三7

表1假想的某年某國4部門價值型投入產(chǎn)出表

單位：億元

中

間

使

用

最

終

使

用

產(chǎn)出投

入部門1部門2部門3部門4合計消費資本形成合計總產(chǎn)出部門196224179160659894479411600部門21667277160925111819713152240部門3320336102432020002203405602560部門4483362561608004803208001600中間投入合計480156815368004384271290436168000折舊4015014080410勞動報酬9522694614002082稅利1282534233201124最初投入合計112067210248003616總

投

入16002240256016008000第7頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三8對于假想表1所表示的投入產(chǎn)出模型，有第8頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三9

對于1997年中國價值型投入產(chǎn)出表（6部門）有如下直接消耗系數(shù)矩陣第9頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三102000年中國價值型投入產(chǎn)出表（6部門）直接消耗系數(shù)矩陣第10頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三11

⒈完全消耗的含義任何產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中，除了各種直接消耗關系外，還有各種間接消耗關系。

二、完全消耗和完全消耗系數(shù)完全消耗=直接消耗+全部間接消耗

=直接消耗+一次間接消耗

+二次間接消耗

+三次間接消耗

+…2.完全消耗系數(shù)完全消耗系數(shù)反映了部門間（產(chǎn)品間）的完全消耗關系，用bij表示。第11頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三12例：鋼的生產(chǎn)中對電的消耗第12頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三13

3、完全消耗系數(shù)計算公式的推導

首先，j產(chǎn)品的生產(chǎn)要直接消耗i產(chǎn)品，即bij中應包括aij；

其次，計算j產(chǎn)品的生產(chǎn)中對i產(chǎn)品的全部間接消耗。

①j產(chǎn)品在生產(chǎn)中直接消耗了第k(k=1,2…n)種產(chǎn)品（包括對j產(chǎn)品自身的消耗）：akj

②而第k(k=1,2…n)種產(chǎn)品生產(chǎn)過程中全部消耗的第i種產(chǎn)品為:bik

③因此，j產(chǎn)品通過第k種產(chǎn)品而全部間接消耗的第i種產(chǎn)品為:bikakj第13頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三14

⑤最后，將第j種產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中直接消耗的第i種產(chǎn)品與全部間接消耗的第i種產(chǎn)品相加，即為第j種產(chǎn)品生產(chǎn)對第i種產(chǎn)品的完全消耗：

④于是，第j種產(chǎn)品生產(chǎn)中通過n種產(chǎn)品而全部間接消耗的第i種產(chǎn)品為第14頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三15

寫成矩陣形式第15頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三16

將完全消耗系數(shù)按照投入產(chǎn)出表中部門（或產(chǎn)品）的順序排列而成的矩陣。用B表示，為一n階方陣。

完全消耗系數(shù)矩陣第16頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三17對于表1所表示的投入產(chǎn)出表，可計算得到第17頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三18

同樣地，對于1997年中國全國價值型投入產(chǎn)出表（6部門），其完全消耗系數(shù)矩陣為：第18頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三19

4、完全消耗系數(shù)的性質

①某一個完全消耗系數(shù)不能單獨求得，必須同時求出所有的完全消耗系數(shù)。為什么？第19頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三20中國1992年實物型投入產(chǎn)出表部分產(chǎn)品的消耗系數(shù)比較第20頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三21

1、折舊系數(shù)

三、其他消耗系數(shù)Dj

表示j產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中的折舊額，則adj表示單位j產(chǎn)品中的折舊。其向量形式為

同樣地，可計算完全折舊系數(shù)向量：第21頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三222、勞動消耗系數(shù)Vj

表示j產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中所投入的勞動報酬，則avj表示單位j產(chǎn)品中的勞動報酬。其向量形式為同樣地，可計算完全勞動消耗系數(shù)向量：第22頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三23

3、社會純收入系數(shù)

Mj

表示j產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中所形成的社會純收入（利稅額），則amj表示單位j產(chǎn)品中的社會純收入。其向量形式為同樣地，可計算完全社會純收入系數(shù)向量：第23頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三24中國1997年6部門價值型投入產(chǎn)出表

其他直接消耗系數(shù)與完全消耗系數(shù)表第24頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三25四、基于消耗系數(shù)的經(jīng)濟數(shù)學模型

投入產(chǎn)出經(jīng)濟數(shù)學模型是在投入產(chǎn)出表的基礎上，通過引入各種消耗系數(shù)而建立起來的反映經(jīng)濟系統(tǒng)各“部分”（部門或產(chǎn)品）相互依存的“投入-產(chǎn)出”平衡關系式。

行模型：按行向平衡關系建立的模型

列模型：按列向平衡關系建立的模型其他各種復雜的投入產(chǎn)出應用模型，都是這兩個最基本的投入產(chǎn)出經(jīng)濟數(shù)學模型的擴展

第25頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三261.分配方程組和按行建立的模型

（1）分配方程組

對于投入產(chǎn)出表的每一行，不管是價值型還是實物型，都存在如下平衡方程：

引入直接消耗系數(shù)，可以寫成：

這就是分配方程組。它反映每個部門的總產(chǎn)出是如何分配與使用的。第26頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三27

用矩陣表示該方程組，有

AX+Y=X其中分別為直接消耗系數(shù)矩陣、最終需求矩陣、總產(chǎn)量矩陣第27頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三28

①模型形式

由AX+Y=X

，容易得到：

(I-A)X=Y

或X=(I-A)-1Y

這就是按行建立的投入產(chǎn)出基本經(jīng)濟數(shù)學模型。

（2）按行建立的經(jīng)濟數(shù)學模型其中：1)(--=AIB稱為“列昂惕夫逆矩陣”，其中的元素ijb表示生產(chǎn)單位j種最終產(chǎn)品對i產(chǎn)品的完全需要量，稱為列昂惕夫逆系數(shù)，或完全需求系數(shù)，因此，列昂惕夫逆矩陣也稱為完全需求系數(shù)矩陣。

第28頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三29

②

模型的經(jīng)濟意義

該模型揭示了最終使用量和總產(chǎn)出量之間的關系。即：已知：最終使用量，求出：保證經(jīng)濟系統(tǒng)各部分之間綜合平衡的總產(chǎn)出量已知：各部門總產(chǎn)出量，求出：各部門產(chǎn)品最終使用量第29頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三30

Ⅰ.兩者相差一個單位矩陣：完全消耗系數(shù)完全需要系數(shù)

③完全需求系數(shù)與完全消耗系數(shù)第30頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三31Ⅱ.二者的經(jīng)濟意義不同注意：

完全消耗系數(shù)是相對于1個單位最終使用而言的，而直接消耗系數(shù)是相對于1個單位的總產(chǎn)出量而言的。這是十分重要的區(qū)別。第31頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三32第32頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三33④實例中國1997年全國價值型6部門投入產(chǎn)出經(jīng)濟數(shù)學模型：第33頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三34

（1）.生產(chǎn)方程組

對于價值型投入產(chǎn)出表的每一列，存在如下平衡方程：

2.生產(chǎn)方程組與按列建立的模型

這就是生產(chǎn)方程組。它反映每個部門的總產(chǎn)出是如何形成的?？梢詫懗傻?4頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三35

用矩陣表示該方程組，有其中第35頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三36①模型形式

（2）按列建立的經(jīng)濟數(shù)學模型②

模型的經(jīng)濟意義該模型揭示了最初投入量和總產(chǎn)出量（總投入量）之間的關系。因此：

已知：最初投入量，求出：相應的總產(chǎn)出量。

已知：總產(chǎn)出量，求出：最初投入量。這就是按列建立的投入產(chǎn)出基本經(jīng)濟數(shù)學模型。第36頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三37五、投入產(chǎn)出模型的基本假設和求解條件

任何經(jīng)濟數(shù)學模型都是都實際經(jīng)濟活動的抽象，都是在若干基本假設下建立的，或者只有在若干基本假設下才能成立。關鍵在于所舍棄的是事物的本質方面還是非本質方面。

1.投入產(chǎn)出模型的基本假設

(1)同質性假定（不可替代假設）

投入產(chǎn)出模型假設一個部門只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，而且只采用一種技術生產(chǎn)；同時，一種產(chǎn)品只由一個部門生產(chǎn)。部門稱為“純部門”或“產(chǎn)品部門”。

第37頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三38Ⅰ.各“部門”投入量與產(chǎn)出量成正比，比例系數(shù)就是直接消耗系數(shù)。

Ⅱ.產(chǎn)品生產(chǎn)中各投入要素之間有固定比例，即投入要素的增減均呈現(xiàn)同一比例。

（3）系數(shù)不變假設投入產(chǎn)出模型假設直接消耗系數(shù)在一個周期內是不變的。（4）關于生產(chǎn)周期的假設投入產(chǎn)出模型假設每個部門的生產(chǎn)經(jīng)營活動，從生產(chǎn)要素的投入到產(chǎn)出的分配與使用，都在一個周期內完成。

（2）比例性假定（線性假設）第38頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三39

（1）投入產(chǎn)出模型能夠求解的條件

2、投入產(chǎn)出模型的求解條件

投入產(chǎn)出模型

X=(I-A)-1Y能夠求解的條件是矩陣(I-A)有逆，且逆矩陣的元素不為負。

這一條件是從數(shù)學和經(jīng)濟意義兩方面提出的。第39頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三40（2）價值型投入產(chǎn)出模型求解條件的證明

而在矩陣(I-A)中，主對角線元素為1-ajj，其它元素為-aij。所以該矩陣是主對角線元素占優(yōu)勢的矩陣。由線性代數(shù)知識可知，|I-A|0，所以矩陣(I-A)可逆。而且存在(I-A)的逆矩陣的元素都大于0。第40頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三41設有兩個部門的投入產(chǎn)出模型：（1-a11)X1-a12X2=Y1-a21X1+(1-a22)X2=Y2Y1/a12Y2/(1-a22)一個直觀的說明(霍金斯.西蒙(hawkinsSimon)條件)：X2X1

（1-a11)(1-a22)>a12a21

或（1-a11)(1-a22)-a12a21>0

要使該方程組有正解，必須使兩線交于第一象限，即可推出：

X2=(1-a11)/a12*X1-Y1/a12(1)X2=a21/(1-a22)*X1+Y2/(1-a22)(2)(2)(1)即必須：（1-a11)/a12>a21/(1-a22)第41頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三42數(shù)學證明第42頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三43第43頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三44第44頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三45第45頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三46六、分配系數(shù)投入產(chǎn)出表中，橫行表示各種產(chǎn)品的分配使用去向，分配系數(shù)表示部門之間產(chǎn)品的分配使用關系。

1.直接分配系數(shù)的含義：第i部門產(chǎn)品分配到第j消耗部門作中間使用的產(chǎn)品數(shù)量占第i部門總產(chǎn)品量的比重，稱為分配系數(shù)。第46頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三472.直接分配系數(shù)矩陣：

將直接分配系數(shù)按照投入產(chǎn)出表中部門（或產(chǎn)品）的順序排列而成的矩陣。用H表示，為一n階方陣。第47頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三483.完全分配系數(shù)

各個部門之間除了具有直接的分配關系外，還存在著間接的分配關系。

完全分配系數(shù)綜合反映了直接分配關系和間接分配關系。

設兩個部門（產(chǎn)品）間的完全分配系數(shù)為則

第48頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三49寫成矩陣形式，為整理，得

或

第49頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三503.引入直接分配系數(shù)的模型（1）行模型引入

系數(shù)，得代入上式，得該式也稱為分配方程組第50頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三51寫成矩陣形式其中第51頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三52當中間產(chǎn)品分配系數(shù)確定后，可在已知總產(chǎn)品的情況下，求最終產(chǎn)品。行模型形式

當中間產(chǎn)品分配系數(shù)確定后，可在已知最終產(chǎn)品的情況下，求總產(chǎn)品。①②第52頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三53（2）列模型引入

系數(shù)，得代入上式，得該式也稱為生產(chǎn)方程組第53頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三54寫成矩陣形式或者其中第54頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三55列模型形式①利用總產(chǎn)出求增加值利用增加值求總產(chǎn)出②第55頁，講稿共61頁，2023年5月2日，星期三56

稱為Ghosh供給驅動模型（Ghosh模型）。

(I-H)-1為Ghosh逆矩陣，也稱為完全供給系數(shù)矩陣，元素表示i部門增加1個單位初始投入，對第j部門完全供給的