2023學(xué)年完整公開課版數(shù)列的概念

數(shù)列的概念范永勝1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念.2.理解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項.3.對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前n項寫出它的通項公式．習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.數(shù)列的概念：1.數(shù)列與數(shù)列的項

按照一定次序排列的一列數(shù)叫作

，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的

.數(shù)列中的每一項都和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項(通常也叫做

項)，排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項，……，排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第

項.2.數(shù)列的表示方式

數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，…，an，…，簡記為

，an是數(shù)列的第n項，也叫通項.答案數(shù)列項首n{an}3.數(shù)列中的項的性質(zhì)：(1)確定性；(2)可重復(fù)性；(3)有序性.思考1

數(shù)列的項和它的項數(shù)是否相同？

數(shù)列的項與它的項數(shù)是不同的概念.數(shù)列的項是指這個數(shù)列中的某一個確定的數(shù)，是一個函數(shù)值，也就是相當(dāng)于f(n)，而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號，它是自變量的值，相當(dāng)于f(n)中的n.答案思考2

數(shù)列1,2,3,4,5，數(shù)列5,3,2,4,1與{1,2,3,4,5}有什么區(qū)別？

數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列5,3,2,4,1為兩個不同的數(shù)列，因為二者的元素順序不同，而集合{1,2,3,4,5}與這兩個數(shù)列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有無序性.答案2.數(shù)列的分類根據(jù)數(shù)列的項數(shù)可以將數(shù)列分為兩類：①有窮數(shù)列——項數(shù)

的數(shù)列.②無窮數(shù)列——項數(shù)

的數(shù)列.思考判斷正誤數(shù)列1,2,3,4，…，2n是無窮數(shù)列(

)解析數(shù)列是有窮數(shù)列，共有2n個數(shù).答案有限無限×3.數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的

與

之間的關(guān)系可以用一個式子an＝f(n)來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的

公式.思考數(shù)列的通項公式有什么作用？

(1)可以求得這個數(shù)列的任一項，即可以根據(jù)通項公式寫出數(shù)列；(2)可以確定這個數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列；(3)可以判斷一個數(shù)是不是數(shù)列中的項.答案第n項序號n通項返回例1下列各式哪些是數(shù)列？若是數(shù)列，哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？(1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3,4；(3)所有無理數(shù)；(4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6解析答案反思與感悟解(1)是集合，不是數(shù)列.(3)不能構(gòu)成數(shù)列，因為無法把所有的無理數(shù)按一定順序排列起來.(2)(4)(5)是數(shù)列，其中(4)是無窮數(shù)列，(2)(5)是有窮數(shù)列.反思與感悟答案跟蹤訓(xùn)練1

已知下列數(shù)列：(1)2004,2008,2012,2016；(6)3,3,3,3,3,3.其中有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是__________.(將正確答案的序號填在橫線上)(6)(2)(3)(4)(5)題型二觀察法寫數(shù)列的一個通項公式例2根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式.解析答案解分子均為偶數(shù)，分母分別為1×3,3×5,5×7,7×9，…是兩個相鄰奇數(shù)的乘積.解析答案(3)－1,2，－3,4，…；解該數(shù)列的前4項的絕對值與序號相同，且奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，故an＝(－1)n·n.(4)2,22,222,2222，….解析答案反思與感悟用觀察歸納法寫出一個數(shù)列的通項公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律，具體可參考以下幾個思路：①先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu)，如都化成分?jǐn)?shù)、根式等.②分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對應(yīng)序號間的關(guān)系式.③對于符號交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對值，再以(－1)k處理符號.④對于周期數(shù)列可以考慮拆成幾個簡單數(shù)列之和的形式或利用周期函數(shù)來解決.歸納總結(jié)：跟蹤訓(xùn)練2

已知數(shù)列的前幾項，寫出下面數(shù)列的一個通項公式.(1)1,3,7,15,31，…；解答案不唯一.觀察發(fā)現(xiàn)各項分別加上1后，數(shù)列變?yōu)?,4,8,16,32，…，新數(shù)列的通項為2n，故原數(shù)列的通項公式為an＝2n－1.解析答案(2)4,44,444,4444，…；解所給數(shù)列有這樣幾個特點：①符號正、負(fù)相間②整數(shù)部分構(gòu)成奇數(shù)列；③分母為從2開始的自然數(shù)的平方；④分子依次大1.綜合這些特點寫出表達(dá)式，再化簡即可.由所給的幾項可得數(shù)列的通項公式為：解析答案解析答案解析答案(5)1,2,1,2,1,2，….3.通項公式的應(yīng)用解析答案(1)計算a3＋a4的值；解析答案∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，∴n＝10或n＝－12(舍)，反思與感悟(1)利用數(shù)列的通項公式求某項的方法數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項.(2)判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法先假定它是數(shù)列中的第n項，然后列出關(guān)于n的方程.若方程解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝－n2＋n＋110.(1)20是不是{an}中的一項？解令an＝－n2＋n＋110＝20，即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，∴n＝10或－9(舍).∴20是數(shù)列{an}中的一項，且為數(shù)列{an}中的第10項.解析答案(2)當(dāng)n取何值時，an＝0.解令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)，∴當(dāng)n＝11時，an＝0.解析答案返回12345解析答案解析(1)、(2)是無窮數(shù)列，(3)、(4)是有窮數(shù)列.D檢測：12345解析答案解析當(dāng)n分別等于1,2,3,4時，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.A12345解析答案D12345解析答案C12345解析答案B1.觀察法寫通項公式的注意事項據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細(xì)觀察分析，抓住其幾方面的特征：①分式中分子、分母的