一類軌跡問題的探求(阿波羅尼斯圓與卡西尼卵形線)

專題：一類動點軌跡問題的探求專題來源：學習了“橢圓的標準方程”后，對于，我們可以進一步研究：，各自的軌跡方程如何引例：已知點與兩定點的距離之比為，那么點的坐標應滿足什么關系（必修2P103探究·拓展）探究已知動點與兩定點、的距離之比為，那么點的軌跡是什么背景展示阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一》類題1：(1994,全國卷)已知直角坐標平面上點Q(2，0)和圓C：x2+y2=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數λ(λ>0).求動點M的軌跡方程，說明它表示什么曲線.本小題考查曲線與方程的關系，軌跡概念等解析幾何的基本思想以及綜合運用知識的能力.解：如圖，設MN切圓于N，則動點M組成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常數λ>0. ——2分因為圓的半徑|ON|=1，所以|MN|2=|MO|2－|ON|2=|MO|2－1. ——4分設點M的坐標為(x，y)，則 ——5分整理得(λ2－1)(x2+y2)－4λ2x+(1+4λ2)=0.經檢驗，坐標適合這個方程的點都屬于集合P.故這個方程為所求的軌跡方程.——8分當λ=1時，方程化為x=，它表示一條直線，該直線與x軸垂直且交x軸于點(，0)，?當λ≠1時，方程化為(x－)2+y2=它表示圓，該圓圓心的坐標為(，0)，半徑為 ——12分類題2：（2008，江蘇）滿足條件AB2，ACeq\r(2)BC的ABC的面積的最大值是______類題3：（2002，全國）已知點到兩定點、距離的比為，點到直線的距離為1，求直線的方程解：設的坐標為，由題意有，即，整理得因為點到的距離為1，所以，直線的斜率為，直線的方程為將代入整理得解得，(則點坐標為或或，直線的方程為或．類題4：（2006，四川）已知兩定點如果動點P滿足條件則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于_________類題5：（2011，浙江）P,Q是兩個定點，點Ｍ為平面內的動點，且，點Ｍ的軌跡圍成的平面區(qū)域的面積為，設，試判斷函數的單調性．引例：（2011，北京）曲線C是平面內與兩個定點和的距離的積等于常數的點的軌跡.給出下列三個結論：曲線C過坐標原點；曲線C關于坐標原點對稱；…若點P在曲線C上，則的面積不大于其中正確命題的序號為_____________背景展示：在數學史上，到兩個頂點（叫做焦點）的距離之積為常數的點的軌跡成為卡西尼卵形線（CassiniOval），喬凡尼·多美尼科·卡西尼是一位意大利出生的法國籍天文學家和水利工程師，他是第一個發(fā)現土星的四個衛(wèi)星的人.1675年，他發(fā)現土星光環(huán)中間有條暗縫，這就后來以他名字命名的卡西尼環(huán)縫。他猜測，光環(huán)是由無數小顆粒構成，兩個多世紀后的分光觀測證實了他的猜測。為了紀念卡西尼對土星研究的貢獻，當代人類探測土星的探測器“卡西尼號”即以他的名字命名?？ㄎ髂崧研尉€是1675年他在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現的。探究：設兩定點為，且，動點滿足,取直線作為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系，設，則整理得：解得：（）于是曲線的方程可化為（）（對于常數,可討論如下六種情況：（1）當時，圖像變?yōu)閮蓚€點；（2）當時，圖像分為兩支封閉曲線，隨著的減小而分別向點收縮；（3）當時，圖像成8字形自相交叉，稱為雙紐線；（4）當時，圖像是一條沒有自交點的光滑曲線，曲線中部有凹進的細腰；（5）當時，與前種情況一樣，但曲線中部變平；（6）當時，曲線中部凸起。北京高考題的背景即為本研究的4—6里研究的結論；學有余力的同學可作進一步思考：】思考1：若將“兩定點”之一變?yōu)椤岸ㄖ本€”，那么距離之比為定值的動點軌跡是什么思考2：若將“兩定點”之一變?yōu)椤岸ㄖ本€”，那么距離之和為定值的動點軌跡是什么思考3：到定點的距離與到定直線的距離的倍之和為定值的定點軌跡是什么思考4：到定點的距離與到定直線的距離之差（的絕對值）為定值的定點軌跡是什么思考5：到定點的距離與到定直線的距離之積為定值的定點軌跡是什么在高考試題中常常以這類軌跡問題的探究為背景來設計考查綜合能力的試題，如1.（2009湖南）在平面直角坐標系xOy中，點P到點F（3,0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當P點運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和（Ⅰ）求點P的軌跡C；（Ⅱ）設過點F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點，求線段MN長度的最大值。'解（Ⅰ）設點P的坐標為（x，y），則3︳x-2︳由題設當x>2時，由①得化簡得當時由①得化簡得故點P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側部分與拋物線在直線x=2的左側部分（包括它與直線x=2的交點）所組成的曲線，參見圖1（Ⅱ）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點都是A（2，），B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.當點P在上時，由②知.④當點P在上時，由③知⑤若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為[（i）當k≤，或k≥，即k≤-2時，直線I與軌跡C的兩個交點M（，），N（，）都在C上，此時由④知∣MF∣=6-∣NF∣=6-從而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣=（6-）+（6-）=12-(+)由得則，是這個方程的兩根，所以+=*∣MN∣=12-（+）=12-因為當當且僅當時，等號成立。（2）當時，直線L與軌跡C的兩個交點分別在上，不妨設點在上，點上，則④⑤知，設直線AF與橢圓的另一交點為E#所以。而點A，E都在上，且有（1）知若直線的斜率不存在，則==3，此時綜上所述，線段MN長度的最大值為2.（2011,湖南文科高考試題）已知平面內一動點到點的距離與點到軸的距離的差等于1．（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；（Ⅱ）過點作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設與軌跡相交于點，與軌跡相交于點