第八講 的嚴(yán)格化

第十章分析的嚴(yán)格化實數(shù)理論的建立分析基礎(chǔ)的奠基極限理論的嚴(yán)格化微積分的創(chuàng)立，被譽(yù)為“人類精神的最高勝利”。然而牛頓和萊布尼茲的微積分在邏輯上并不夠嚴(yán)格，這使得他們的學(xué)說從一開始就受到懷疑和批評。微積分理論在使用無限小概念上的隨意與混亂，引起了所謂的“第二次數(shù)學(xué)危機(jī)”。為了消除早期微積分的邏輯缺陷，數(shù)學(xué)家們在其嚴(yán)格基礎(chǔ)的重建方面做出了種種嘗試。在18世紀(jì)的分析時代，先是達(dá)朗貝爾用初等的極限概念代替了牛頓含糊的首末比方法。后是歐拉提出了關(guān)于無限小的不同階零的理論。拉格朗日則主張用泰勒級數(shù)來定義導(dǎo)數(shù)。歐拉和拉格朗日的著作在分析中引入了形式化觀點(diǎn)，而達(dá)朗貝爾的極限觀點(diǎn)則為微積分的嚴(yán)格表述提供了合理內(nèi)核。10.1柯西與分析基礎(chǔ)經(jīng)過一個世紀(jì)的不懈努力，數(shù)學(xué)家們在嚴(yán)格化基礎(chǔ)上重建微積分的嘗試終于在19世紀(jì)初開始初見成效。其中最具影響力的先驅(qū)性人物當(dāng)推法國數(shù)學(xué)家柯西。他于1820年前后，在分析方法方面完成了一系列著作，它們以嚴(yán)格化為目標(biāo)，對微積分的基本概念給出了明確定義，并在此基礎(chǔ)上重建和拓展了微積分的重要事實與定理。

1．變量?！耙来稳≡S多互不相同的值的量叫作變量”。2．函數(shù)。“當(dāng)變量之間這樣聯(lián)系起來的時候，即給定了這些變量中的一個值，就可以決定所有其他變量的值的時候，人們通常想象這些量是用其中的一個來表達(dá)的，這時這個量就取名為自變量，而由這些自變量表示的其他量就叫作這個自變量的函數(shù)”。按照這個定義，不僅無窮級數(shù)可以規(guī)定一個函數(shù)，而且也突破了函數(shù)必須有解析表達(dá)式的要求。3．極限。“當(dāng)同一變量逐次所取的值無限趨向于一個固定的值，最終使它的值與該定值的差要多小就多小，那么最后這個定值就稱為所有其他值的極限”。4．無限小量?！爱?dāng)同一變量逐次所取的絕對值無限減小，以致比任意給定的數(shù)還要小，這個變量就是所謂的無限小或無限小量”。柯西的無限小不再是一個無限小的固定數(shù)。5．連續(xù)函數(shù)?？挛鞯谝淮谓鉀Q了函數(shù)連續(xù)性的定義問題。6．導(dǎo)數(shù)與微分。柯西把導(dǎo)數(shù)明確定義為差商當(dāng)無限地趨向于零的極限，函數(shù)的微分法則定義為7．積分?？挛魇紫戎赋?，在研究積分或原函數(shù)的各種性質(zhì)以前，應(yīng)先證明它們是存在的。也就是說需要首先對一大類函數(shù)給出積分的一般定義。在以上一系列定義的基礎(chǔ)上，柯西得以嚴(yán)格地表述并證明微積分基本定理，中值定理等一系列重要定理?？挛鬟€對無窮級數(shù)進(jìn)行了嚴(yán)格化處理，明確定義了級數(shù)的收斂性，并研究了判別級數(shù)收斂的條件?？挛鞯墓ぷ飨蚍治龅娜鎳?yán)格化邁出了關(guān)鍵的一步。他的許多定義和論述已經(jīng)相當(dāng)接近于微積分的現(xiàn)代形式。尤其是關(guān)于微積分基本定理的敘述與證明，幾乎與今天的教科書完全一樣。10扇.2分析猾的算駁術(shù)化柯西齊的工拴作在兇一定壞程度頁上澄扛清了菌微積虜分基繩礎(chǔ)問吉題上脆長期沿存在灣的混鞏亂，票但他站的理刪論還通只能理說是朝“比對較嚴(yán)納格”四，人效們不環(huán)久便左發(fā)現(xiàn)戀柯西劉的理航論實夢際上森也存轎在漏悟洞。組例如銀，他塊用了晚許多惡“無汽限趨河近”拘、“托想要未多小講就多梳小”忠等直閑覺描誓述的掏語言蒼。特怖別是盒，微團(tuán)積分揪計算條植根雷于實易數(shù)園河地，塑但直刊到19世紀(jì)曬中葉嗚，數(shù)斤學(xué)家冶們還轟沒有誓給出赤實數(shù)悶的明訓(xùn)確定給義。對實悄數(shù)系梨缺乏兆充分瘋的理窄解，捧不僅佩會造視邏輯閉上的桌間斷呢，有退時甚率至?xí)粚?dǎo)致卻結(jié)論院上的千錯誤宋。當(dāng)委時人奇?zhèn)儗o(jì)連續(xù)晴函數(shù)坐處處搶可微陣的看樓法就潔是一仁個典輕型。當(dāng)?shù)鲁邍鴶?shù)搜學(xué)家往魏爾壤斯特撞拉斯彼在18匠61年給賊出一鹿個處孕處連風(fēng)續(xù)但獨(dú)卻處牛處不堵可微歲的函將數(shù)時枝，整糠個數(shù)舊學(xué)界鈴大為尤震驚執(zhí)。魏爾我斯特蠻拉斯圓的例掙子是其中a是奇程數(shù)，b∈(0糞,1蔥)為常西數(shù)，覺使得，魏體爾斯贈特拉皆斯的永函數(shù)哥使人偶們迫丙切感瘋到徹壁底擺償脫對狐幾何駝直覺口的依瘋賴，幟重新做考察驕分析繞基礎(chǔ)假，基剃于純桶粹算掩術(shù)重限建分虎析學(xué)斬的必澇要性繼。由此庫引來壤了19世紀(jì)差后半沒葉的會“分保析算糟術(shù)化管”運(yùn)龍動，拘這場趟運(yùn)動晉的主毒將就雄是魏銷爾斯因特拉洲斯。至魏爾躍斯特吵拉斯土認(rèn)為讓實數(shù)板是全任部分丹析的留本源長。要畫使分結(jié)析嚴(yán)窯格化單，首化先就騾要使灰實數(shù)餓系本塑身嚴(yán)度格化貢。為股此最慢可靠桐的辦撓法是仇按照題嚴(yán)密欠的推濤理將豬實數(shù)均歸結(jié)夕為整脅數(shù)（影有理樓數(shù)）饞。這典樣，磨分析無的所雀有概販念便殲可由派整數(shù)樹導(dǎo)出濤，使和以往抽的漏愿洞和群缺陷席都能忌得以伍填補(bǔ)疊。這胸就是拆所謂寇“分塔析算朗術(shù)化駱”綱巧領(lǐng)。10扯.2揉.1魏爾路斯特犯拉斯在數(shù)政學(xué)史托上，傾魏爾尖斯特梅拉斯瘡因?qū)σ暦治鲋S嚴(yán)格呀化的游貢獻(xiàn)協(xié)而贏輸?shù)昧顺丁艾F(xiàn)爬代分疑析之稍父”片的稱煎號。秩這種掉嚴(yán)格撲化的熟突出餃表現(xiàn)失是-語言反的創(chuàng)儀立，盾還有盞一致值收斂屬性的瓶引進(jìn)立?？梢誀钫f，傷數(shù)學(xué)駝分析煩達(dá)到亡今天顛所具楊有的常嚴(yán)密古形式幼，本存質(zhì)上叢不能燦缺少幸魏爾絲式斯特跪拉斯獄的工師作。10忙.2看.2實數(shù)芹理論18況57年，儲魏爾右斯特濱拉斯譯給出問了第劫一個綁嚴(yán)格緞的實典數(shù)定育義，心這個渾定義雨大意砌是先嘴從自月然數(shù)兆出發(fā)掃定義貧正有最理數(shù)愉，然偉后通糟過無拳窮多企個有絕理數(shù)戚的集充合來集定義眠實數(shù)譯。但那沒有夫正式果發(fā)表源。18歸72年，跪戴德促金、跳康托珍爾、吊梅雷朱和?？淠塞惾藥啄樅跬葧r發(fā)遺表了房誠他們眉各自嘩的實餡數(shù)理烏論。雄戴德留金和線康托霜爾的嫁實數(shù)畢構(gòu)造月方法炭正是摟我們粗現(xiàn)在饅通常光所采押用的霜。戴德奸金的創(chuàng)方法場也稱慕為戴扒德金存分割晉，是雀將一究切有從理數(shù)匯的集鞠合Q劃分嗎為兩芝個非閉空不蚊相交臉的子削集A1和A2，使咬得A1中的拼每一腥個元鬧素小襪于A2中的歷每一抄個元絮素，斷這時歉戴德獸金把誤這個霸劃分絞定義曾為有放理數(shù)干的一內(nèi)個分秒割，設(shè)記為語（A1，A2）。悶有些轎分割撇是有酒理數(shù)掌產(chǎn)生民的，財在這掉樣的霸分割貌中，說要么A1有最勻大元睜素，診要么A2有最叨小元羨素。但有們些分臭割卻天不是朱，例瓣如，卡若A2是由杜滿足的一指切正羅有理燒數(shù)x組成技，A1是由稻一切閱其余元的有秧理數(shù)從組成償，則臟既不伍存在A1的最浮大元覺素，叔也不體存在A2的最院小元底素，貸因為牙不存令在有蜜理數(shù)x使得拔。戴德巨金說菌：每耀當(dāng)我拋們考艦慮一揮個不淚是由碌有理金數(shù)產(chǎn)紅生的有分割售（A1，A2）時汗，就棗得到響一個見新數(shù)遣即無蹲理數(shù)a，我山們認(rèn)仁為這胡個數(shù)考是由朵分割粒（A1，A2）完瓜全確泥定的杯。因括此，桂戴德隨金就臘把一露切實藏數(shù)組畫成的首集合R定義節(jié)為有灶理數(shù)謊集的罰一切嬸分割梅，而什一個抖實數(shù)a就是燃一個癢分割腦（A1，A2）?？低蟹翣柕娜杌局舅枷霋t是先把實鈔數(shù)a定義崗為滿彼足柯稅西收災(zāi)斂準(zhǔn)拖則的某有理里數(shù)基悄本序價列信。網(wǎng)康托棟爾把釋每個婚有理欄數(shù)基犧本序脈列與口一個蜜實數(shù)封等同無起來掃。而滋兩個打基本血序列永與皆，雁若紀(jì)，則蠶被看另成是鄉(xiāng)豐等價女的，手即它或們定裕義同須一個幕實數(shù)會。用現(xiàn)逮代語裂言說壞，康際托爾逮的定館義相題當(dāng)于摸把實則數(shù)集英合定追義為就有理姑數(shù)的待基本播序列惕的一芽切等呢價類鉆的集記合。如果r是一彎個有脾理數(shù)寺，則合序列拳就筆表示拋對應(yīng)晝于r的實述數(shù)。戴德仗金和毛康托宏爾在驅(qū)他們攻各自框的實數(shù)數(shù)定畏義下大都嚴(yán)程格證物明了么實數(shù)賠系的今完備根性。預(yù)這樣洽長期雜以來尚圍繞漿著實唱數(shù)概廳念的概邏輯庫循環(huán)脊得以遲徹底撲消除臨。實鹿數(shù)的撓定義櫻及其莊完備曉性的欄確立凱，標(biāo)懸志著等由魏岔爾斯糊特拉荷斯倡證導(dǎo)的遮分析邁算術(shù)潮化運(yùn)額動大載致宣擠告完肥成。10局.2樣.3集合勸論的慌誕生在分剛析的蛇嚴(yán)格虹化過獲程中驢，一惠些基炸本概碧念如禍極限融、實牌數(shù)、聞級數(shù)捐等的熱研究戴都涉歷及到掃由無揚(yáng)窮多兵個元冊素組耀成的覆集合劫，這邁樣就海導(dǎo)致稠了集治合論間的建鼠立。乓狄利垃克雷津、黎秧曼等皺人都玻研究虧過這病方面爽的問樓題，矩但只莊有康菌托爾妖在這酬一過嫌程中鄉(xiāng)豐系統(tǒng)幼發(fā)展托了一急般點(diǎn)吳集的儲理論但，并仔開拓熟了一剝個全伐新的罰數(shù)學(xué)喪研究算領(lǐng)域姑?？低性銧柺窍谘屑ぞ亢鈹?shù)的恩三角差級數(shù)礎(chǔ)表達(dá)紋式的時唯一掌性問漏題時功開始擴(kuò)接觸鴨無窮桌點(diǎn)集鎖的。狐他在18博72年發(fā)崖表的《關(guān)于獅三角銳級數(shù)娛中一備個定那理的充推廣》中定央義了湯一系傍列點(diǎn)幻玉集論壁的基榆本概捎念，成如極鳳限點(diǎn)帝、導(dǎo)股集等撞，奠冒定了梅無窮句點(diǎn)集通論的蓮初步戶基礎(chǔ)屋。在將鞭唯一秩性定氣理推繼廣到自允許仿無窮攀例外骨點(diǎn)等番的過去程中勁，康攔托爾驢認(rèn)識海到，訓(xùn)這些鋒例外據(jù)點(diǎn)的級集合謊及其總導(dǎo)集目所產(chǎn)懂生的鉗問題漢與全某體實攤數(shù)集爸合的俘構(gòu)造跪性質(zhì)藍(lán)密切處相關(guān)止。他物得出族結(jié)論墳：全編體有宏理數(shù)推的集偉合是省可數(shù)姐的，縫他還濱證明隸全體余實代鎖數(shù)數(shù)愁的集餅合也瘋是可嫩數(shù)的圈。有理誓數(shù)是蝕可數(shù)陪的…………………………每個暑正有全理數(shù)爬都出問現(xiàn)在包這個烘陣列秋中。耀如果昏我們?yōu)E按箭基頭所捷示次街序依惜次重吳新排丈列，餐略去御已經(jīng)偵出現(xiàn)化過的騾數(shù)，碰就得圍到全體正駕有理姑數(shù)的腦一個閉無窮籮序列{r1,r2,r3,r4,…測…}，于訪是序布列{0，-r1，r1，-r2,贊r2,-論r3，r3，……塊}就是徒包括顆了所旗有有寒理數(shù)墻的集東合。檢這樣蔑就證薦明了各有理纖數(shù)集鑒的可異數(shù)性躺。思考振：請的證明棚實數(shù)擾集不敢是可填數(shù)集宴。提示憑：證昂明（0，1]是不戲可數(shù)們的.康托嚇爾關(guān)述于實姐數(shù)不準(zhǔn)可數(shù)哄性的桐發(fā)現(xiàn)嗽，是戶為建蜜立超財窮集膊合論科而邁崖出的藥真正尊有意五義的好一步乘。18辦78年在元他發(fā)怨表的我文章肯中，棄康托桌爾明踏確提界出了長“基筐數(shù)”晶或“貪勢”般的概遞念：滾給定激兩個距集合M和N，如冷果能彼夠根私據(jù)某倒種規(guī)暢則在視它們丟之間暑建立溉起一朗一對夠應(yīng)的渡關(guān)系淺，就航稱這鄭兩個位集合凍有相蝕同的母“基棕數(shù)”或，或舍者說復(fù)“等忌勢”碰?？低兄聽栒J(rèn)槍為，載建立雁集合曠論重膽要的窮是把怪?jǐn)?shù)的看概念塞從有炸窮數(shù)跪推廣守到無娛窮數(shù)趁?？的w托爾姑在18膨83年的真一篇匹文章繩里提牧出了層良序辯集和歇序數(shù)蛾的概稅念，襪又在18阻91年發(fā)農(nóng)表的甩“集助合論降的一蟲個根妨本問腰題”富里，奴證明孩了著姜名的壺康托蚊爾定腫理：掙一集喇合的鍬冪集既的基揉數(shù)較仇原集合合的狐基數(shù)鹽大。10蜓.3分析絞的擴(kuò)谷展在分獸析嚴(yán)搏格化燒的同死時，憑數(shù)學(xué)著家開團(tuán)始更深自覺總地將克分析藥工具勸應(yīng)用祥于其跌他數(shù)漢學(xué)分撕支。10遺.3橫.1復(fù)分?jǐn)_析的脅建立直到19世紀(jì)浙初，呼復(fù)數(shù)奸的“杯合法紗性”葉仍是誓一個掌未解杰決的父問題我，盡廉管如救此，18世紀(jì)滴的數(shù)窯學(xué)家艦如達(dá)棒朗貝總爾和牌歐拉駁等人捕在他囑們的被工作衛(wèi)中大頭量地跨使用臣復(fù)數(shù)忽和復(fù)幣變量罷，并酬由此夫發(fā)現(xiàn)宵了復(fù)識函數(shù)造的一凳些重閣要性械質(zhì)。艙復(fù)分孤析真檔正作鍵為現(xiàn)右代分科析的萌一個喂研究醒領(lǐng)域排，是頃在19世紀(jì)抗建立綢起來重的，踩主要睜奠基誦人是弓柯西具、黎恒曼和碎魏爾熄斯特饒拉斯豈?？挛髟冈?8膽25年出時版的《關(guān)于攜積分山限為蔬虛數(shù)瘋的定伴積分禽的報演告》可以什看成呆是復(fù)擦分析御發(fā)展賄史上馳的第煌一座奮里程孟碑。柯西夾的積盤分理也論是支復(fù)分接析的滔開山氣利斧品，通馬過它惰可以扛導(dǎo)出竄與復(fù)授函數(shù)革的解辮析性育相關(guān)婆的一根系列借本質(zhì)兵結(jié)果伐。黎曼侮以題節(jié)為《單復(fù)壁變函抱數(shù)一旺般理控論基刮礎(chǔ)》的論單文在扔哥廷探根大值學(xué)獲喚得博豪士學(xué)并位。閃就復(fù)脖變函復(fù)數(shù)論六而言這，黎爬曼的析論文泛以導(dǎo)治數(shù)的末存在蛋性作擦為復(fù)句函數(shù)似概念何的基席礎(chǔ)。叢黎曼騎這篇舉論文鍬的突雀出特房誠征是摩其中蠟的幾串何觀要點(diǎn)。魏爾薪斯特混拉斯副為復(fù)油變函仙數(shù)論尿開辟侮了又鴉一條腥研究爬途徑慕。他義相信仗函數(shù)鞠論的享原理骨必須幣建立罩在代開數(shù)真姓理的若基礎(chǔ)胞上，慘所以物他把錫目光摸投向皂了冪胳級數(shù)酬，用情冪級你數(shù)定林義函授數(shù)在叨一點(diǎn)指鄰域放內(nèi)的減解析宇性，款并演綠出整勉個解義析函輝數(shù)理乳論。在19世紀(jì)盲末，級魏爾涼斯特惜拉斯艦的方倚法占春據(jù)了邊主導(dǎo)琴地位競，但倘后來過柯西陸和黎濱曼的款思想盟被融給合在礎(chǔ)一起齒，其農(nóng)嚴(yán)密格性也煉得到療了改滾進(jìn)，擊而魏漢爾斯唐特拉頌斯的店思想街也逐集漸從緞柯西——黎曼僵觀點(diǎn)企推導(dǎo)泰出來辛。這永樣，憲上述此三種是傳統(tǒng)膀便得宮到了膊統(tǒng)一土。10羞.3胸.2解析雪數(shù)論險的形由成19世紀(jì)壤分析肆方法符的一延個重訓(xùn)要應(yīng)廈用領(lǐng)吉域是券數(shù)論遣。事改實上扁，歐疫拉在小數(shù)論腎中已拉引進(jìn)器了分示析方述法。抹不過然這種攪方法藥在當(dāng)柳時還關(guān)顯得議十分婚有限恰而不神成熟再。解析嶺數(shù)論類作為胃有意至識使畢用分束析方壓法研驅(qū)究數(shù)兔論問朝題的露一門汗分支乓是從坑狄利植克雷棚開始仙的。18績37年，并狄利化克雷停利用鬧分析耕方法拔證明縣了歐專拉和溉勒讓谷德早蟻先提異出的帖一個畝猜想晌，即伶每一便個算健術(shù)序爪列a+n誓b（a,b互素范）中疊都有幟無窮顆多個饑素數(shù)晨。在證欣明中株，狄票利克解雷引益入了射后來濾隨其轉(zhuǎn)命名乏的L函數(shù)其中席是s復(fù)變警數(shù)，烈稱父為狄牢利克饑?yán)祝ㄊ鲜Ｓ囝^）特磁征標(biāo)忠。此繞后，洪狄利知克雷L函數(shù)誼成為玻研究沿數(shù)論雄問題祝的重份要工假具。不過東促使蝴解析遼數(shù)論害取得定長足圖進(jìn)展動的重洋要因迅素是查關(guān)于叢素數(shù)專分布壺問題鍛的研崇究。奶若以(x)表示菌不超缸過x的素局?jǐn)?shù)的虹個數(shù)憐。歐元拉、公勒讓鎮(zhèn)德、養(yǎng)高斯翠都曾鏡推測但他療們都志未能售給予社證明困。這康就是深著名怨的素安數(shù)定鬼理。最先江在這猾方面乎作出臉貢獻(xiàn)牌的是構(gòu)俄國面數(shù)學(xué)澤家切雹比雪嗓夫。慌他在18船50年給大出并通證明沙了當(dāng)x充分勒大時療，不傲等式成立恢，其矩中素數(shù)棚定理注也引僻起了吃黎曼效的興改趣。閣他在18欣59年發(fā)雙表文貞章，普從歐柜拉的留一個耍有關(guān)寒恒等希式中為引出蹄了黎汁曼函數(shù)尿的概評念，旱指出受素數(shù)仙性質(zhì)回可以聽通過卻復(fù)變袍函數(shù)(s)來探任討。俘他還喚建立牛了與(s)的零旱點(diǎn)有侍關(guān)的冤表示(x)的公么式。料因此稍，研嫂究素享數(shù)分炒布的鍵關(guān)鍵屬轉(zhuǎn)變楊為對叛函數(shù)(s)性質(zhì)究的討面論.黎曼槳開創(chuàng)陷了解拆析數(shù)殊論的赴新時葛期，妻并使竄復(fù)分涂析成泛為這獅一領(lǐng)洪域的愚重要對工具湊。在襪這篇田文章償中，斤黎曼握還提沸出一恢個猜持想：(s)在帶念形區(qū)梯域中的嫩一切撒零點(diǎn)課都位闖于這條壇線上少，其期中種表示丸復(fù)變晴數(shù)s的實蒜部。句這就施是著擱名的神黎曼矛猜想憂，至歪今沒化有解瓦決。18做96年，劈燕阿達(dá)還馬和吩瓦萊·普桑川根據(jù)沿黎曼購的方呆法和街結(jié)果宣，應(yīng)菊用整惱函數(shù)婆理論襖，終沙于證拘明了浸素數(shù)壟定理價，從該此解熔析數(shù)嫁論開陣始得夢到迅滾速發(fā)悲展，父并成紹為20世紀(jì)娃最為挎活躍承的數(shù)潮論分伍支之悶一。10冰.3鬼.3數(shù)學(xué)彼物理錄與微千分方換程物理浸問題戶從來副就是迷數(shù)學(xué)牽發(fā)展初的源猴泉。18世紀(jì)皺數(shù)學(xué)洪和物漆理的姑結(jié)合簽點(diǎn)主涂要是語常微剪分方腹程。精隨著考物理彩科學(xué)憲研究床的現(xiàn)摘象從芝力學(xué)閉向電而學(xué)以捏及電撈磁學(xué)鐵擴(kuò)展轎，到19世紀(jì)奏，偏仁微分骨方程蹈的求舒解為耗數(shù)學(xué)義家和貢物理侍學(xué)家耐關(guān)注蔑的重漢點(diǎn)。19世紀(jì)恐偏微鐮分方責(zé)程發(fā)專展的溜序幕御，由悔法國比數(shù)學(xué)固家傅躲里葉投拉開癢。他猛因研最究吸賴熱或釋放熱摧物體饑內(nèi)部獵任何衛(wèi)點(diǎn)處創(chuàng)的溫隊度隨衛(wèi)空間鏡和時眠間的皇變化秩規(guī)律枕，于18頂22年發(fā)礎(chǔ)表了《熱的帖解析壘理論》，這冷是數(shù)怎學(xué)史纏上的剃經(jīng)典駐文獻(xiàn)壓之一繼。傅銳里葉耍研究駛的主楊要問炭題是相吸熱置或放芳熱物筋體內(nèi)概部任倘何點(diǎn)妄處的眼溫度片隨空遞間和檢時間嫂的變哈化規(guī)掀律。傅里換葉的描工作繞在發(fā)謎展偏鮮微分綢方程懲理論慕的同怨時，廁解放斷了人菊們對竹函數(shù)袖概念鑰的固盈有認(rèn)追識，訂從此捏以后黨，函密數(shù)不材再僅剪僅局兄限于控解析遙函數(shù)宣或可旅展成松泰勒磁級數(shù)怕的函北數(shù)。19世紀(jì)與偏微飾分方餓程的區(qū)另一至個重佛要發(fā)脆展是油圍繞曬著位友勢方兄程來扛進(jìn)行敲的，巴這方季面的釋代表蜻人物失是格互林。趨位勢邊方程性也稱落拉普忘拉斯紙方程傻。拉勻普拉蘆斯曾筒采用六球面筒調(diào)和蔬函數(shù)映法解旱過這哄個方桑程，油不過陽他得氣出的拔是一篇個錯閣誤結(jié)世論。鋼“位腹勢”叼的名掉稱來德源于夢格林物，與鬼前人吵不同召的是匯，格校林充破分認(rèn)敵識到腎了位符勢方別程的走重要券性，原并發(fā)誤展了址位勢而函數(shù)閱的一菊般理核論。格林惑求解迷位勢脂方程牽的方舟法稱櫻為奇陷異點(diǎn)質(zhì)方法翅。18系28年，作格林親建立座了許退多有睛益于譯推動忽位勢行理論倦朝前近發(fā)展止的極舌為關(guān)障鍵的帳定理經(jīng)與概浴念。鄉(xiāng)豐其中攔以格技林公草式（n為物減體表辮面指牛向內(nèi)姻部的潤法向黃，dv是體礦積元怨，治是棉面積姿元）斷和作厲為一稀種帶良奇異鋤性的正特殊責(zé)位勢豬的格邪林函輸數(shù)概租念影姐響最暗為深墨遠(yuǎn)。格林撕是劍劇橋數(shù)澡學(xué)物欺理學(xué)是派的紀(jì)開山部祖師吵，他巖的工職作培第育了寺湯姆抬遜、僻史托湯克斯慈、麥?zhǔn)┛怂股耥f等曲強(qiáng)有識力的廢后繼選者。頃作為19世紀(jì)招典型貿(mào)的數(shù)抗學(xué)物替理學(xué)豪家。梅他們零的主滅要目卡標(biāo)，厚是發(fā)消展求含解重存要物餐理問膛題的逆一般謀數(shù)學(xué)艱方法酷，而驢他們巡壽手中狡的主父要武鏈器就楚是偏說微分眉方程鬼，以糾致于撤在19世紀(jì)慣，偏猜微分粉方程步幾乎匆變成翻了數(shù)慚學(xué)物號理的躍同義沉語。影就在過這一夏時期哄，通長過各甩種實挨際的滾物理樸問題布，數(shù)飄學(xué)家帖們建擴(kuò)立起廢了類洲型眾疏多的利微分槳方程歪。然而道，面換對自督己建川立的蠶微分漲方程胖，數(shù)毅學(xué)家疤們試本圖推博求其誤顯式火解的便努力殊卻屢進(jìn)遭敗拘績。搜這種泉情況損促使額他們僅轉(zhuǎn)而旦考慮庭解的撤存在堪性。萬柯西墨最先納在19世紀(jì)20年代既對一所類特如殊的跑常微塑分方店程給密出了務(wù)第一禽個存凳在性翁定理遙，接熟著，沫他又趣在18理48年的仍一系版列論腰文討蠟論了血偏微兇分方佳程解瘡的存授在性蠅并提撲出了額證明勵的長挖函數(shù)樸方法則?？挛髟S的工脆作在18括75年被品俄國德女?dāng)?shù)最學(xué)家擠柯瓦頭列夫觸斯卡枯婭獨(dú)不立地距發(fā)展射為包翻括擬肺線性串方程警和高翠階組防在內(nèi)狡的非集常一婦般的錫形式員。有傭關(guān)的嚷偏微山分方助程解犁的存爭在唯逼一性走定理元在現(xiàn)泊代文攻獻(xiàn)中剃常常站稱為?！翱鹿砦鳌峦呖炝蟹蛴箍帇I定汽理”肢。經(jīng)過沉長時壁期的籮相對察沉寂哨之后炊，到19世紀(jì)疏后半抱葉，羽常微刺分方辦程理洲論的氏研究網(wǎng)也日崖顯突換出，求并且耐在兩縫個大阿的方柱向上熄開拓丹了常認(rèn)微分芳方程少研究渡的新環(huán)局面熱，其過中的黎重大腸發(fā)展迅都與陰龐加劣萊的漸名字判聯(lián)系嶼在一坑起。第一為個方分向是豈與奇繳點(diǎn)問或題相萌聯(lián)系頑的常身微分寧方程慨解析嘩理論背。常壞微分套方程暈解析塘理論誰是由錦柯西姻開創(chuàng)線的，帳但柯擱西之改后，奪解析辦理論爬重點(diǎn)設(shè)向大要范圍田轉(zhuǎn)移寒。黎母曼和白福克芽斯發(fā)葉展了跨線性缸方程監(jiān)理論代，福仆克斯務(wù)與龐斯加萊逗探討謹(jǐn)了一亞階非稍線性倒方程中理論掌，到蠶龐加壤萊與炸克萊譽(yù)因的優(yōu)自守不函數(shù)驗理論序而臻混于頂己峰。龐加桑萊是宜在他18打82挺-1拖88政4年間球的一牽系列儉論文標(biāo)中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