經(jīng)濟數(shù)學(xué)微分方程的基本概念

一、問題的提出二、微分方程的定義三、主要問題—求方程的解四、小結(jié)思考題第一節(jié)微分方程的基本概念引言對自然界的深刻研究－－－－傅里葉微積分研究的對象是函數(shù)關(guān)系,但在實際問題中,往往很難直接得到所研究的變量之間的函數(shù)關(guān)系,卻比較容易建立起這些變量與它們的導(dǎo)數(shù)或微分之間的聯(lián)系,從而得到一個方程,即微分方程.通過求解這種方程,同樣可以找到指定未知量之間的函數(shù)關(guān)系.因此,微分方程是數(shù)學(xué)聯(lián)系實際,并應(yīng)用于實際的重要途徑和橋梁,是各個學(xué)科關(guān)于未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的是數(shù)學(xué)最富饒的源泉.進行科學(xué)研究的強有力的工具.如果說“數(shù)學(xué)是一門理性思維的科學(xué),是研究、了解和知曉現(xiàn)實世界的工具”,那么微分方程就是顯示數(shù)學(xué)的這種威力和價值的一種體現(xiàn).現(xiàn)實世界中的許多實際問題都可以抽象為微分方程問題.例如,物體的冷卻、琴弦的振動、電磁波的傳播等,都可以歸結(jié)為微分方程問題.這時微分方程也稱為所研究問題的數(shù)學(xué)模型.微分方程是一門獨立的數(shù)學(xué)學(xué)科,有完整的理論體系.本章我們主要介紹微分方程的一些基本概念,種常用的微分方程的求解方法,線性微分方程解的理論.幾解一、引例由題有且滿足：解代入條件后知故開始制動到列車完全停住共需微分方程:凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程，叫做微分方程.例實質(zhì):聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式.二、基本概念分類1:常微分方程,偏微分方程.我們把未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程.類似地,未知函數(shù)為多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.例如方程是偏微分方程.微分眉方程拉的階:微分煮方程筍中出倆現(xiàn)的算未知耗函數(shù)圾的最高階雄導(dǎo)數(shù)迷的階依數(shù).一階減微分港方程高階串微分澡方程分類2:常微店分方清程的洗一般茄形式帽是:其中為自變量,是未知函數(shù),在方程中,必須出現(xiàn),而其未余變堤量可以尸不出郊現(xiàn),微分方程中,其余枕變量都沒岔有出貝現(xiàn).能從方程中就得塊到微殲分方關(guān)程例如在階如果解出勒最高階喚導(dǎo)數(shù),以后隊我們爆討論疑的微戚分方起程主要是形如的微分方程,并且假設(shè)式右端的函數(shù)在所小討論五的范膽圍內(nèi)連續(xù).分類3:非線部性微削分方奏程.線性肯微分桑方程.如果方程可表示為如下形式:則稱方程為階線性微分方程.其中和知函數(shù).全是房誠一次龍冪。否則輕統(tǒng)稱遼為非線性微分頃方程.均為自變量的已即微頸分方梳程中誼所含障的未要知函喜數(shù)及持其各融階導(dǎo)隨數(shù)分類4:單個姑微分押方程慎與微涂分方拿程組.例3試指全出下盆列方艦程是視什么貞方程,并指蠟出微雖分方程的階祖數(shù).解(1將)是一身階線轎性微剩分方收程,因方程中含有的和都是一次.(2換)是一弊階非擊線性漠微分緞方程,因方程中含有的的平典方項.例3試指抖出下上列方賺程是息什么啦方程,并指咐出微音分方程的階各數(shù).解(3粥)是二型階非兩線性錦微分吹方程,因方程中含有的的三料次方.(4駝)是二演階非寬線性顛微分攝方程,因方奮程中焦含有述非線命性函數(shù)和微分涉方程歌的解:代入帽微分亡方程型能使攏方程竹成為獎恒等摔式的函證數(shù).微分宅方程響的解前的分鑒類：三、呢求方吐程的謙解(1陵)通解:微分露方程朵的解不中含稠有相寸互獨盞立的澇任意克常數(shù),且任伸意?？蓴?shù)的姐個數(shù)傘與微糞分方遵程的濱階數(shù)什相同.滿足(2督)特解:確定葉了通漂解中去任意云常數(shù)趴以后紡的解.解的窮圖像:微分府方程舌的積頭分曲歪線.通解鄉(xiāng)豐的圖砍像:積分烘曲線壘族.初始警條件:用來旅確定攪任意錫常數(shù)擋的條券件.過定銜點的宜積分室曲線;一階:二階:過定沈點且求在定陶點的星切線熱的斜銷率為椅定值尤的積餅分曲劑線.初值兆問題:求微山分方貸程滿肢足初桌始條傘件的確特解摟的問擦題.解：將達所求述特解頃為微分旋方程驚；微分址方程咽的階扒；微分靠方程裹的解嚼；通解;初始鄉(xiāng)豐條件叼；特解亭；初值濾