數(shù)列極限的收斂準(zhǔn)則

關(guān)于數(shù)列極限的收斂準(zhǔn)則第1頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列及其簡單性質(zhì)√二、數(shù)列的極限√三、數(shù)列極限的性質(zhì)√四、數(shù)列的收斂準(zhǔn)則第2頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三第3頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三3.保號性定理證由絕對值不等式的知識,立即得a<0的情形類似可證,由學(xué)生自己完成.第4頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三保號性定理的推論1：這里為嚴(yán)格不等號時此處仍是不嚴(yán)格不等號第5頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三保號性定理的推論2：

在極限存在的前提下,對不等式兩邊可以同時取極限,不等號的方向不變,但嚴(yán)格不等號也要改為不嚴(yán)格不等號.第6頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三例1證逆命題成立嗎？第7頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三例2證第8頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三第9頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三例3解利用函數(shù)的周期性,在{xn}中取兩個子數(shù)列:第10頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三1.單調(diào)收斂準(zhǔn)則

單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限.

單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限.一、數(shù)列極限收斂準(zhǔn)則

通常說成：單調(diào)有界的數(shù)列必有極限.第11頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三證由中學(xué)的牛頓二項式展開公式例1第12頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三類似地,有第13頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三第14頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三又

等比數(shù)列求和

放大不等式每個括號小于1.第15頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三

綜上所述,數(shù)列{xn}是單調(diào)增加且有上界的,由極限存在準(zhǔn)則可知,該數(shù)列的極限存在,通常將它記為e,即e

稱為歐拉常數(shù).第16頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三第17頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三

歐拉一身經(jīng)歷坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞爾，20年后卻永遠(yuǎn)離開了祖國。在他76年的生命歷程中，還有25年住在德國柏林（1741－1766年），其余時間則留在俄國彼得堡。歐拉31歲時右眼失明，59歲時雙目失明。他的寓所和財產(chǎn)曾被烈火燒盡（1771年），與他共同生活40年的結(jié)發(fā)之妻先他10年去世。

歐拉聲譽(yù)顯赫。12次獲巴黎科學(xué)院大獎（1738－1772年）曾任彼得堡科學(xué)院、柏林科學(xué)院、倫敦皇家學(xué)會、巴塞爾物理數(shù)學(xué)會、巴黎科學(xué)院等科學(xué)團(tuán)體的成員。第18頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三

歐拉成就卓著。生前就出版了560種論著，另有更多未出版的論著。僅僅雙目失明后的17年間，還口述了幾本書和約400篇論文。歐拉是目前已知成果最多的數(shù)學(xué)家。歐拉聰明早慧，13歲入巴塞爾大學(xué)學(xué)文科，兩年后獲學(xué)士學(xué)位。第二年又獲碩士學(xué)位。后為了滿足父親的愿望，學(xué)了一段時期的神學(xué)和語言學(xué)。從18歲開始就一直從事數(shù)學(xué)研究工作。歐拉具有超人的計算能力。法國天文學(xué)家、物理學(xué)家阿拉哥（D.F.J.Arago，1786－1853）說：“歐拉計算一點(diǎn)也不費(fèi)勁，正像人呼吸空氣、或像老鷹乘風(fēng)飛翔一樣。”

第19頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三

有一次，歐拉的兩個學(xué)生計算一個復(fù)雜的收斂級數(shù)的和，加到第17項時兩人發(fā)現(xiàn)在第50位數(shù)字相差一個單位。為了確定究竟誰對，歐拉用心算進(jìn)行了全部運(yùn)算，準(zhǔn)確地找出了錯誤。特別是在他雙目失明后，運(yùn)用心算解決了使牛頓頭疼的月球運(yùn)動的復(fù)雜分析運(yùn)算。歐拉創(chuàng)用a，b，c

表示三角形的三條邊，用A，B，C表示對應(yīng)的三個角(1748)；創(chuàng)用表示求和符號(1755)；提倡用表示圓周率（1736）；1727年用e表示自然對數(shù)的底；還用y表示差分等等。十八世紀(jì)四十年代，歐拉的一些著作就已傳到中國，如他在1748年出版的《無窮分析引論》。第20頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三2.數(shù)列極限的夾逼定理設(shè)數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足下列關(guān)系:(2)則(1)ynxnzn,nZ+(或從某一項開始);想想：如何證明夾逼定理?第21頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三第22頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三解由于例2想得通吧？第23頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三解例3第24頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三

夾逼定理例4解第25頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三例5解

夾逼定理第26頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三例6解除最大的一個外,其余的均取為零.第27頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三3.柯西收斂準(zhǔn)則

滿足此條件的數(shù)列,稱為“柯西列”.柯西準(zhǔn)則可寫為:第28頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三證由柯西收斂準(zhǔn)則可知,該數(shù)列是發(fā)散的.例6第29頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三

柯西

A.L.Cauchy(1789－1857)業(yè)績永存的數(shù)學(xué)大師第30頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三

柯西1789年8月21日出生于巴黎。父親是一位精通古典文學(xué)的律師，與當(dāng)時法國的大數(shù)學(xué)家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年時代柯西的數(shù)學(xué)才華就頗受這兩位大數(shù)學(xué)的贊賞，并預(yù)言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建議下，其父親加強(qiáng)了對柯西文學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)，使得后來柯西在詩歌方面也表現(xiàn)出很高的才華。

1805－1810年，柯西考入巴黎理工學(xué)校，兩年后以第一名的成績被巴黎橋梁公路學(xué)院錄取，畢業(yè)時獲該校會考大獎。1810年成為工程師。1815年獲科學(xué)院數(shù)學(xué)大獎，1816年3月被任命為巴黎科學(xué)院院士，同年9月，被任命為巴黎理工學(xué)校分析學(xué)和力學(xué)教授。第31頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三

由于身體欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師工作，致力于純數(shù)學(xué)研究?？挛髟跀?shù)學(xué)上的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了極限概念，并以極限為基礎(chǔ)建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發(fā)展史上的一個重大事件，也是柯西對人類科學(xué)發(fā)展所作的巨大貢獻(xiàn)。1821年柯西提出了極限定義的ε方法，把極限過程用不等式刻劃出來，后經(jīng)維爾斯特拉斯改進(jìn)為現(xiàn)在教科書上所說的極限定義或ε－δ定義。當(dāng)今所有微積分教科書都還（至少在本質(zhì)上）沿用柯西關(guān)于極限、連續(xù)、收斂等概念?？挛鲗Χǚe分作了系統(tǒng)的開創(chuàng)性的工作。他把定積分定義為和的極限，并強(qiáng)調(diào)在作定積分運(yùn)算前，應(yīng)判斷定積分的存在性。

第32頁，講稿共34頁，2023年5月2日，星期三

他首先利用中值定理證明了微積分基本定理。通過柯西以及后來維爾斯特拉斯的艱苦工作，使數(shù)學(xué)分析的基本概念得到嚴(yán)格化處理，從而結(jié)束了200年來微積分在思想上的混亂局面，并使微積分發(fā)展為現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)、最龐大的