數(shù)列求和常用方法

關(guān)于數(shù)列求和常用方法第1頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三常用的公式有：(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

Sn=

=

.(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和

Sn=

=

(q≠1)(3)12+22+32+…+n2=

.(4)13+23+33+…+n3=

.na1+dn(n+1)(2n+1)n2(n+1)21．公式法：直接應(yīng)用等差數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及正整數(shù)的平方和公式、立方和公式等進(jìn)行求和．常用求和方法第2頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)突破公式法如果所給數(shù)列是等差數(shù)列、等比數(shù)列或者經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃嗡o數(shù)列可化為等差數(shù)列、等比數(shù)列，從而可利用等差、等比數(shù)列的求和公式來(lái)求解．第3頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三(2010年高考陜西卷)已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn.【思路點(diǎn)撥】利用a1，a3，a9成等比數(shù)列，可求公差d，從而得出an.例1第4頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三第5頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三分組法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.第6頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三例2第7頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三第8頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三倒序相加法是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).第9頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三例3第10頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三裂項(xiàng)相消法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：第11頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求an及Sn；例4【思路點(diǎn)撥】由a3，a5＋a7的值可求a1，d，利用公式可得an，Sn.對(duì)于{bn}，利用裂項(xiàng)變換，便可求得Tn.第12頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三第13頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三第14頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三錯(cuò)位相減法對(duì)于形如{anbn}的數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的求法(其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列)，可采用錯(cuò)位相減法．具體解法是：Sn乘以某一個(gè)合適的常數(shù)(一般情況下乘以數(shù)列{bn}的公比q)后，與Sn錯(cuò)位相減，使其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題來(lái)解．第15頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三(2010年高考課標(biāo)全國(guó)卷改編)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＝2，a4＝128.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.【思路點(diǎn)撥】利用公式求得an，再利用錯(cuò)位相減法求Sn.例5第16頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三第17頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三

6.并項(xiàng)法

將數(shù)列的每?jī)身?xiàng)(或多次)并到一起后，再求和，這種方法常適用于擺動(dòng)數(shù)列的求和.例六：Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2第18頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，Sn=(12-22)+(32-42)+…+［(n-1)2-n2］=-3-7-…-(2n-1)=.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，Sn=1+(32-22)+(52-42)+…+［n2-(n-1)2］=1+5+9+…+(2n-1)=.故Sn=(-1)n-1(n∈N*).第19頁(yè)，講稿共21頁(yè)，2023年5月2日，星期三1．注意對(duì)以下求和方式的理解(1)倒序相加法用的時(shí)候有局限性，只有與首、末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和是個(gè)常數(shù)時(shí)才可以用．(2)裂項(xiàng)相消法用得較多，一般是把通項(xiàng)公式分解為兩個(gè)式子的差，再相加抵消．在抵消時(shí)，有的是依次抵消，有的是間