單擺的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)三單擺的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)單擺是由一擺線l連著重量為mg的擺錘所組成的力學(xué)系統(tǒng)，是力學(xué)基礎(chǔ)教科書中都要討論的一個力學(xué)模型。當(dāng)年伽利略在觀察比薩教堂中的吊燈擺動時發(fā)現(xiàn)，擺長一定的擺，其擺動'周期不因擺角而變化，因此可用它來計時，后來惠更斯利用了伽利略的這個觀察結(jié)果，發(fā)明了擺鐘。如今進(jìn)行的單擺實(shí)驗(yàn)，是要進(jìn)一步精確地研究該力學(xué)系統(tǒng)所包含的力學(xué)線性和非線性運(yùn)動行為。一實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、 學(xué)會使用計時器和米尺，測準(zhǔn)擺的周期和擺長。2、 驗(yàn)證擺長與周期的關(guān)系，掌握使用單擺測量當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊姆椒ā?、 初步了解誤差的傳遞和合成。二儀器與用具單擺實(shí)驗(yàn)裝置，計時器，米尺。三實(shí)驗(yàn)原理1利用單擺測量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎礸用一不可伸長的輕線懸掛一小球，作幅角0很小的擺動就是一單擺。如圖1所示。設(shè)小球的質(zhì)量為m，其質(zhì)心到擺的支點(diǎn)。的距離為l（擺長）。作用在小球上的切向力的大小為mgsin0，它總指向平衡點(diǎn)O'。當(dāng)0角很小，則sin0斗，切向力的大小為mg0，按牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為dt2這是解為式中,ma=—mgsin0， 艮口切因?yàn)閟in0dt2這是解為式中,ma=—mgsin0， 艮口切因?yàn)閟in0^0，所以ml^=—mgsin0，dt2簡諧運(yùn)動方程（參閱普通物理學(xué)中的簡諧振動），（1）式的—:g一弋l'（2）（3）P為振幅期。可見，單擺在擺角很?、?為角頻率（固有頻率），T為周

不計阻力時的擺動為簡諧振動，圖1單擺示意圖簡諧振動是一切線性振動系統(tǒng)的共同特性，它們都以自己的固有頻率作正弦振動，與此同類的系統(tǒng)有：線性彈簧上的振子，LC振蕩回路中的電流，微波與光學(xué)諧振腔中的電磁場，電子圍繞原子核的運(yùn)動等，因此單擺的線性振動，是具有代表性的。由（3）式可知該簡諧振動固有角頻率o0的平方等于g/1，由此得出⑷■/T⑷■/T=2兀」，g=4兀―，由（4）式可知，周期只與擺長有關(guān)。實(shí)驗(yàn)時，測量一個周期的相對誤差較大，一般是測量連續(xù)擺動n個周期的時間t，由（4）式得,n21g=4兀2, （5）式中兀和n不考慮誤差，因此（5）式的誤差傳遞公式為坐旦+2竺， ⑹g1t從上式可以看出，在M、At大體一定的情況下，增大1和t對測量g有利。四實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、分別用米尺和游標(biāo)卡尺，測量擺線長和擺球的半徑.擺長1等于擺線長加擺球的半徑。

1 ,2、 當(dāng)擺球的振幅小于擺長的1時，擺角9<5。。123、 如果用停表測量周期，當(dāng)擺錘過平衡位置。，時，按表計時，握停表的手和小球同步運(yùn)動，為了防止數(shù)錯n值，應(yīng)在計時開始時數(shù)“零”以后每過一個周期，數(shù)1，2,…，n。以減少測量周期的誤差。4、 如果用計時器測量周期，參見附錄2有關(guān)計時器的使用.5、 重力加速度g的測量實(shí)驗(yàn)方案一：率k=七—-2,由（4）式知x-x，改變單擺的擺長率k=七—-2,由（4）式知x-x，表1：改變擺長l，在9<5。的情況下，連續(xù)擺動20次時間t的測量結(jié)果擺長l(cm)60.0070.0080.0090.00100.00110.00周期T(s)周0期T(s)周期T(s)周期T（s）T2表1的測量數(shù)據(jù)，有二種處理方法:（1）作圖法:根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，作l--T2直線，在直線上取二點(diǎn)A和B,求直線斜（7）根據(jù)（7）式求重力加速度g.⑵計算法:根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，分別計算,不同擺長的重力加速度g,g,g,g,g5，g6,然后取平均，再計算不確定董實(shí)驗(yàn)方案二:不改變單擺的擺長l，測量在0<5。的情況下，連續(xù)擺動n次的時間t。參考“六測量舉例”處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。6測量同一擺長不同擺角下的周期T，比較擺角對T的影響。表2擺角對周期T的影響擺角e25101520253035404550556065707580(度)周期T(s)五回答問題1、設(shè)單擺擺角。接近0。時的周期為T,任意擺角。時周期T,二周期間的關(guān)0系近似為T=T(1+4sin22)，若在0=10。條件下測得T值，將給g值引入多大的相對誤差？2、 有一擺長很長的單擺，不許直接去測量擺長，你設(shè)法用測時間的工具測出擺長？六測量舉例用單擺測g表3用游標(biāo)卡尺測求的直徑dd(cm)2.695 2.690表4用米尺測擺線長x(cm)4.554.514.604.57x(cm)116.80116.75116.90116.857— ,dl=x—x+—113.60113.59113.65113.63表5 用電子秒表或,用計時器測n=50的t值t(s)106.84106.87106.95106.85106.82106.93l=1.1362土0.0001(m)，t=106.88土0.02 (s)，已知g=4兀2ln2/12,Ag/g=M/1+2xAt/1，結(jié)果g=9.817土0.005(m/s2)，上述結(jié)果中的0.005(m/s2)僅為標(biāo)準(zhǔn)偏差，未估計其它的不確定度。選作部分單擺的設(shè)計性實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、學(xué)會用相圖法探究單擺的運(yùn)動行為。

2、改變擺線和擺球,考查阻力對單擺運(yùn)動行為的影響。二實(shí)驗(yàn)原理單擺的線性振動是一種近似，實(shí)際上，單擺在振動的過程中，既受到阻力又與擺角有關(guān)，在小阻尼條件下，可認(rèn)為單擺所受到的阻尼力與擺的速度成正比，因此，在單擺的運(yùn)動方程中加進(jìn)了阻尼力項后，其動力學(xué)方程為：ml +丫l理+mgsin0=0， （8）dt2dt式中，第二項就是單擺受到的阻尼力，Y為阻尼系數(shù)，在小阻尼條件下，y可視為常數(shù)，取p=y，p為無量級阻尼系數(shù)，由（8）式，得2m-d^-+2。（dL+①sin0=0， （9）（9）式為一非線性方程。物體運(yùn)動的非線性行為比較復(fù)雜，下面我們討論（9）式的幾種特殊情況，介紹描述運(yùn)行行為的相圖法。1、小角度無阻尼單擺運(yùn)行的相軌圖sin0無阻尼情況下，y=0（p=0）sin0（10）在小角度情況下，忽略（10）式的高次項，有sin0=0，由（9）式退化到（1）式，并對（1）式進(jìn)行一次積分，得（d0）2+1①202=E， （11）dt20E為積分常數(shù)，設(shè)0-=當(dāng)為角速度，則有dt02+①202=2E， （12）0如果設(shè)（12）式中的x=0為橫坐標(biāo)，y=0為縱坐標(biāo)，（12）式表示的圖像如圖3所示。把以0?和0定義的平面稱為相平面（相空間），在相平面中，表示的運(yùn)動關(guān)系圖稱為相圖，由（12）式?jīng)Q定的單擺運(yùn)動行為的相圖，為一橢圓，這種在相平面上表示運(yùn)動狀態(tài)的方法，稱為相平面法。相圖上每一個點(diǎn)表示了系統(tǒng)在某一時刻的狀態(tài)，如圖3中的擺角與角速度運(yùn)動狀態(tài)圖，系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)則用相圖上的點(diǎn)的移動來表示，點(diǎn)的運(yùn)動軌道稱為軌線。這種用相空間里的軌線來表示系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的方法是法國數(shù)學(xué)家寵加萊（Poincare）于19世紀(jì)末提出的，己成為廣泛使用的一種描述系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的方法。對于小擺角無阻尼的單擺運(yùn)動，擺長l一定時，其橢圓軌線的長短軸不變，當(dāng)改變擺長l時，將得到不同的橢圓軌線。相軌線的測量：選定擺長l，使擺球作小角度擺動，調(diào)節(jié)光電門豎直和水平

控制桿，使擺球的檔光片經(jīng)過光電門，將光電門豎直桿調(diào)節(jié)到某一角度，測量擺球經(jīng)過該位置時，來回的即時速度V,角速度S=V/l。調(diào)節(jié)光電門到新的位置，測量結(jié)果填入表5中，根據(jù)表5的測量結(jié)果作6-0圖。較。2、小角度阻尼單擺的運(yùn)動行為研究將單擺的擺線加粗，擺球的質(zhì)量減小而體積增大，如用乒乓球，組成一個阻尼單擺，此時阻力對單擺的影響更加明顯，不能忽略，（9）式中的y，P不為零，由于是小角度，可近似認(rèn)為sin6=6。由（9）式得TOC\o"1-5"\h\zd26 d6 +2。 +①26=0， （13）dt2 dt 0設(shè)（13）式有如下形式的解6=e如， （14）式中，人為待定常數(shù)，將（14）式代入（13）式，得特征方程人2+2。人+①j=0， （15）解特征根方程（15）式，得取s=L：%2-。2，代入（16）式，人12=邛土J取s=L：%2-。2，代入（16）式，由于單擺是小阻尼，所以。2-W°2<0得（17）人=-?！溃?7）由此，可得（13）式的解為TOC\o"1-5"\h\z6=ce（-P+i?）t+ce（-。-伽）=e_Pt（ceist+ce-ist）， （18）1 2 1 2因?yàn)?為實(shí)函數(shù)，所以c「c2必須滿足條件c*e-ist+c*eist=ceist+ces，1 2 1 2由此得c=c*,c=c*,1 2 2 1將滿足這種條件的系數(shù)c「c2寫成指數(shù)形式，有p pc=eq，c=e一叩，1 2 2 2式中，p為它們的模，中為幅角，代入（18）式，得0=pe-&cos㈣+甲）， （19）可見，阻尼單擺是幅度pe-&隨時間作指數(shù)衰減的周期振蕩，且振動頻率".氣-。2，因阻尼p>0而減小。為了給出在相平面的圖像，對（19）式微分，得0=—pe-pt[pcos（①t+甲）+①sin（wt+甲）]。 （20）