控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2023/7/2主要內(nèi)容:數(shù)學(xué)模型根底控制系統(tǒng)的微分方程控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖信號(hào)流圖與梅遜公式第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2023/7/21.數(shù)學(xué)模型：用數(shù)學(xué)的方法和形式表示并描述系統(tǒng)中各物理量〔或變量〕的動(dòng)態(tài)關(guān)系。2.建立數(shù)學(xué)模型的目的建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是定量分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要工作〔或根底工作〕。不同類型自控系統(tǒng)可能具有完全相同的數(shù)學(xué)模型，可擺脫不同系統(tǒng)的外部特征，研究內(nèi)在的共性運(yùn)動(dòng)規(guī)律。2.1數(shù)學(xué)模型根底2023/7/23.建模方法微分方程〔或差分方程〕〔時(shí)域〕傳遞函數(shù)〔或結(jié)構(gòu)圖〕〔復(fù)域〕頻率特性〔頻域〕狀態(tài)空間表達(dá)式〔或狀態(tài)模型〕

4.常用數(shù)學(xué)模型2023/7/25.由數(shù)學(xué)模型求取系統(tǒng)性能指標(biāo)的主要途徑求解觀察線性微分方程性能指標(biāo)傳遞函數(shù)時(shí)間響應(yīng)頻率響應(yīng)拉氏變換拉氏反變換估算估算計(jì)算傅氏變換S=jω頻率特性2023/7/22.2控制系統(tǒng)的微分方程對單輸入、單輸出的線性定常系統(tǒng)，采用以下微分方程來描述。y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a0y(t)=bmx(m)(t)+bm-1x(m-1)(t)+…+b0x(t)其中：y(t)為系統(tǒng)輸出量，y(I)表示輸出的I階導(dǎo)數(shù)x(t)為系統(tǒng)輸入量，x(I)表示輸入的I階導(dǎo)數(shù)2023/7/2１、根據(jù)系統(tǒng)情況，確定輸入和輸出量；２、從輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，根據(jù)各變量所遵循的物理定律，列寫出各元器件的動(dòng)態(tài)方程，一般為微分方程組；３、消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程；４、微分方程標(biāo)準(zhǔn)化。建立微分方程的一般步驟：2023/7/22.2.1電氣系統(tǒng)由電阻、電容、電感、運(yùn)算放大器等元件組成的裝置。對于這類系統(tǒng)，要使用基爾霍夫電流和電壓定律，以及理想電阻、電感、電容兩端電壓、電流與元件參數(shù)的關(guān)系?；鶢柣舴螂妷憾桑簩τ谌我庖粋€(gè)集中參數(shù)電路中的任意一個(gè)回路，在任何時(shí)刻，沿該回路的所有支路電壓代數(shù)和等于零。

∑u=0基爾霍夫電流定律：對于任意一個(gè)集中參數(shù)電路中的任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)或閉合面，在任何時(shí)刻，通過該結(jié)點(diǎn)或閉合面的所有支路電流代數(shù)和等于零∑i=02023/7/22.2.1電氣系統(tǒng)[例2-1]：寫出RLC串聯(lián)電路的微分方程輸入輸出LRCi①②[解]：據(jù)基爾霍夫電壓定理：將②代入①得：這是一個(gè)線性定常二階微分方程。2023/7/2[例2-2]：求理想運(yùn)算放大器電路的微分方程RRUi(t)CUo(t)+-[解]：理想放大器正、反相輸入端的電位相同，且輸入電流為零。據(jù)基爾霍夫電流定理：整理后得，這是一階系統(tǒng)。2023/7/22.2.2機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)：存在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的裝置，遵循物理學(xué)的力學(xué)定律。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的方式，包括牛頓第二定律和牛頓轉(zhuǎn)動(dòng)定律等。牛頓第二定律：牛頓轉(zhuǎn)動(dòng)定律：2023/7/2直線運(yùn)動(dòng)物體受到的摩擦力：轉(zhuǎn)動(dòng)的物體受到的摩擦力矩：FB為粘性摩擦力，F(xiàn)f為恒值摩擦力，f為粘性阻尼系數(shù)。TB為粘性摩擦力，Tf為恒值摩擦力，KC為粘性阻尼系數(shù)，θ為角位移。2023/7/2[例2-3]求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移y(t)。[解]：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。mfmFF圖2圖1根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：這也是一個(gè)兩階定常微分方程。y為輸出量，F(xiàn)為輸入量。2023/7/2

同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。相似系統(tǒng)：具有相同的數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。例2-1與例2-3為力－－電荷相似系統(tǒng)。2023/7/2思考題：給出雙RC電路的微分方程uiuouC2C1ici1R1R2i2解答2023/7/2連續(xù)時(shí)間對應(yīng)的復(fù)頻域是用直角坐標(biāo)表示的復(fù)數(shù)平面，簡稱為S平面或連續(xù)時(shí)間復(fù)頻域〔s域〕。S平面上的每一個(gè)點(diǎn)s都代表一個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào),整個(gè)S平面上所有的點(diǎn)代表了整個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)集。S平面2.2.3拉普拉斯變換2023/7/2

①定義：如果有一個(gè)以時(shí)間t為自變量的函數(shù)f(t)，它的定義域t>0，那么下式即是拉氏變換式：將一個(gè)時(shí)間域的函數(shù)變換到s域的復(fù)變函數(shù)，式中s為復(fù)數(shù)。記作F(s)—-象函數(shù)，f(t)—-原函數(shù)

為反拉氏變換記2023/7/2⑴線性性質(zhì)：⑶積分定理：（設(shè)初值為零）②性質(zhì)：(2)微分定理：證明2023/7/2⑹終值定理：⑺卷積定理：⑸初值定理：⑷位移定理：實(shí)域中的位移定理，當(dāng)原函數(shù)沿時(shí)間軸平移T，相應(yīng)于其象函數(shù)乘以復(fù)域中的位移定理，當(dāng)像函數(shù)的自變量s位移a時(shí)，相應(yīng)于原函數(shù)乘以2023/7/2③常用函數(shù)的拉氏變換：單位階躍函數(shù)：單位脈沖函數(shù)：單位斜坡函數(shù)：單位拋物線函數(shù)：正弦函數(shù)：其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。2023/7/2研究控制系統(tǒng)在一定的輸入作用下，輸出量的變化情況經(jīng)典法，拉氏變換法和數(shù)字求解在自動(dòng)控制系統(tǒng)理論中主要使用拉氏變換法。

拉氏變換求微分方程解的步驟：①對微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換，將時(shí)域方程轉(zhuǎn)換為s域的代數(shù)方程。②求拉氏反變換，求得輸出函數(shù)的時(shí)域解。2.2.4線性方程的求解2023/7/2R1C1i1(t)ur(t)uc(t)例2-4R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求uc(t)解：零初始條件下取拉氏變換：2023/7/22.3傳遞函數(shù)

2.3.1傳遞函數(shù)的定義

在，線性定常系統(tǒng)元件輸出信號(hào)的拉氏變換式Y(jié)(s)與輸入信號(hào)的拉氏變換式X(s)之比。一定形式的傳遞函數(shù)對應(yīng)于一定的微分方程。有了傳遞函數(shù)，在許多情況下，可以不用解微分方程，而直接研究傳遞函數(shù)，就可以了解系統(tǒng)的重要特性。初始條件為零時(shí)2023/7/2[例2-5]求以下圖的傳遞函數(shù)：進(jìn)行拉氏變換2023/7/2整理得：2023/7/2傳遞函數(shù)的性質(zhì)適用于線性定常系統(tǒng)與線性常系數(shù)微分方程一一對應(yīng)與系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性一一對應(yīng)。不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)物理性質(zhì)和學(xué)科類別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。忽略了初始條件的影響。2023/7/2傳遞函數(shù)的性質(zhì)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)輸入無關(guān)只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系不反映中間變量的關(guān)系。主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)假設(shè)系統(tǒng)有多個(gè)輸入信號(hào)，求傳遞函數(shù)時(shí)，除了一個(gè)有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。是復(fù)變量s的有理分式，對實(shí)際系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的分母階次n總是大于或等于分子階次m，此時(shí)稱為n階系統(tǒng)。2023/7/2[傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式]：

有理分式形式：式中：—為實(shí)常數(shù)，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。2023/7/2

零點(diǎn)、極點(diǎn)形式：式中：稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。零點(diǎn)、極點(diǎn)可為實(shí)數(shù)，也可為共軛復(fù)數(shù)。－－－傳遞系數(shù)2023/7/2

零、極點(diǎn)分布圖零點(diǎn)，在s平面上用“O〞表示極點(diǎn)，在s平面上用“×〞表示例ReIm-1xx2s=jws-plane2023/7/2[例2-6]:已知傳遞函數(shù),試畫出系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布圖。其中，零點(diǎn)為－２，極點(diǎn)為－３，－１＋j，－１－j。0

j-2-3-11-1S平面2023/7/2

時(shí)間常數(shù)形式：2023/7/2稱為時(shí)間常數(shù)，K稱為放大系數(shù)。顯然：，

若零點(diǎn)或極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，則一般用2階項(xiàng)來表示。若為共軛復(fù)極點(diǎn)，則：或其系數(shù)由或求得；2023/7/2例2-7：將傳遞函數(shù)，用時(shí)間常數(shù)形式表示，并求出。由此，可得解：2023/7/22.3.2典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)：組成一個(gè)復(fù)雜的控制系統(tǒng)的假設(shè)干元部件構(gòu)成根本環(huán)節(jié)〔典型環(huán)節(jié)〕：從動(dòng)態(tài)方程、傳遞函數(shù)和運(yùn)動(dòng)特性的角度看，不宜再分的最小環(huán)節(jié)常見典型根本環(huán)節(jié)比例積分慣性振蕩微分延遲環(huán)節(jié)2023/7/2 K為放大系數(shù)實(shí)例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動(dòng)等。〔一〕比例環(huán)節(jié)〔放大環(huán)節(jié)〕：時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：KRC比例環(huán)節(jié)方框圖2023/7/2比例環(huán)節(jié)實(shí)例：①R0Ｒ1—＋②R1R2uiuo電位器2023/7/2〔二〕慣性環(huán)節(jié)〔非周期環(huán)節(jié)〕時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：RC慣性環(huán)節(jié)方框圖T為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，假設(shè)Ｔ＝０，該環(huán)節(jié)就變成了放大環(huán)節(jié)。2023/7/2①RＬ拉氏變換得：2023/7/2②RC其中T=RC拉氏變換得：2023/7/2〔三〕積分環(huán)節(jié)：時(shí)域方程：傳遞函數(shù)：RC積分環(huán)節(jié)方框圖2023/7/2積分環(huán)節(jié)實(shí)例：RC2023/7/2〔四〕振蕩環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)：時(shí)域方程：

Ｔ為該環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)，稱為無阻尼自振角頻率，而且，稱為阻尼比。只有當(dāng)時(shí)，該環(huán)節(jié)才能稱為振蕩環(huán)節(jié)，因?yàn)檫@時(shí)它的輸出信號(hào)具有振蕩的形式。振蕩環(huán)節(jié)方框圖RC2023/7/2如果時(shí)，可分為兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)相乘，兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)。傳遞函數(shù)有兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：可得2023/7/2〔五〕微分環(huán)節(jié)：包括純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)，對應(yīng)時(shí)域形式：相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：①②③微分環(huán)節(jié)沒有極點(diǎn)，只有零點(diǎn)。分別是零、實(shí)數(shù)和一對共軛零點(diǎn)〔假設(shè)〕在實(shí)際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)③②①2023/7/2一階微分環(huán)節(jié)uiRCio

一階微分環(huán)節(jié)是理想微分環(huán)節(jié)加比例環(huán)節(jié)，故又稱比例微分環(huán)節(jié)。2023/7/2〔六〕延遲環(huán)節(jié)：又稱時(shí)滯，時(shí)延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過一個(gè)延遲時(shí)間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)，如下圖。x(t)ty(t)t動(dòng)態(tài)方程：其傳遞函數(shù)為：2023/7/2〔七〕其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié)如等，它們的極點(diǎn)在s平面的右半平面，我們以后會(huì)看到，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的，稱為不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。2023/7/2

例2-8：已知傳遞函數(shù)，分析其組成環(huán)節(jié)。

因此，該系統(tǒng)由4個(gè)環(huán)節(jié)，比例，慣性，振蕩，和一階微分環(huán)節(jié)構(gòu)成。2023/7/22.3.3電氣網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)算阻抗與傳遞函數(shù)求取傳遞函數(shù)步驟 列寫微分方程式 進(jìn)行拉氏變換對于電氣網(wǎng)絡(luò)：采用電路理論中的運(yùn)算阻抗的方法，直接求出相應(yīng)的傳遞函數(shù)。2023/7/22.3.3電氣網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)算阻抗與傳遞函數(shù)電阻的運(yùn)算阻抗：電容的運(yùn)算阻抗：電感的運(yùn)算阻抗：各個(gè)元件的運(yùn)算阻抗，可以當(dāng)作普通電阻來運(yùn)算。2023/7/2例2-9、求RC及CR電路的傳遞函數(shù)②RC①RC①②2023/7/2例2-10、求如下圖無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)1RCiu2ROu并聯(lián)阻抗則2023/7/2思考題：用運(yùn)算阻抗的方法求出下面雙RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。uiuouC2C1ici1R1R2i22023/7/22.4方塊圖和傳遞函數(shù)方塊圖是用元件〔或子系統(tǒng)〕傳遞函數(shù)的組合來表示系統(tǒng)的一種圖形。方塊圖由函數(shù)方塊、信號(hào)線、相加點(diǎn)、分支點(diǎn)等構(gòu)成。函數(shù)方塊〔方框〕：表示對信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換，方框中寫入元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。信號(hào)線：表示信號(hào)傳遞通路與方向。相加點(diǎn)〔比較點(diǎn)〕：對兩個(gè)以上的信號(hào)進(jìn)行加減運(yùn)算，“+〞表示相加，“－〞表示相減。分支點(diǎn)〔引出點(diǎn)〕：表示信號(hào)引出或測量的位置。同一位置引出的信號(hào)數(shù)值和性質(zhì)完全相同。2023/7/2例：某系統(tǒng)的各傳遞函數(shù)如下：

C(s)=G(s)E(s)F(s)=H(s)C(s)E(s)=R(s)–F(s)2023/7/2繪制方塊圖的根據(jù)是系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)微分方程式〔它們組成系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)微分方程組〕，及其拉氏變換。整理方程組的方法：每個(gè)方程式左邊只有一個(gè)量以系統(tǒng)輸出量作為第一個(gè)方程左邊的量從第二個(gè)方程開始，每個(gè)方程左邊的量為前面方程右邊的中間變量輸入量至少出現(xiàn)在一個(gè)方程的右邊；除輸入量外，在方程右邊出現(xiàn)的中間變量一定要在某個(gè)方程的左邊出現(xiàn)列寫方程盡量用已出現(xiàn)的量2023/7/2

例2-11

繪出RC電路的結(jié)構(gòu)圖R1C1i1(t)ur(t)uc(t)Uc(s)Ur(s)I1(s)1/R11/C1s(-)繪圖詳解2023/7/2例2-12

繪出圖示雙RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖。uiuouC2C1ici1R1R2i2解：列寫系統(tǒng)方程式，可得：2023/7/2U(s)I2(s)Uo(s)(b)(-)IC(s)U(s)(c)I2(s)Uo(s)(a)2023/7/2IC(s)I1(s)I2(s)(-)(d)Ui(s)I1(s)U(s)(-)(e)Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)(f)動(dòng)畫演示2023/7/2二、方塊圖的變換：[定義]：用方塊圖求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，對其進(jìn)行的簡化。[類型]：①環(huán)節(jié)的合并； --串聯(lián)--并聯(lián)--反響連接②信號(hào)分支點(diǎn)或相加點(diǎn)的移動(dòng)。[原那么]：變換前后環(huán)節(jié)的輸入量、輸出量及其數(shù)學(xué)關(guān)系都保持不變。2023/7/2串聯(lián)環(huán)節(jié)的簡化：…C(s)G2(s)G1(s)V(s)R(s)(a)C(s)G2(s)G1(s)R(s)(b)2023/7/2

并聯(lián)環(huán)節(jié)的簡化：G1(s)+G2(s)-G3(s)(b)變換后R(s)C(s)(a)變換前R(s)C1(s)C3(s)

C2(s)(-)G1(s)G2(s)G3(s)C(s)2023/7/2反響回路的簡化：+—)()(1)(sHsGsG±前向通道傳遞函數(shù)：G(s)反饋通道傳遞函數(shù)：H(s)正反饋負(fù)反饋閉環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)推導(dǎo)過程2023/7/2

例①G4(s)(-)G2(s)G6(s)(-)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)G2(s)+G3(s)G4(s)(-)G6(s)(-)C(s)R(s)G5(s)G1(s)2023/7/2②③G4(s)(-)(-)C(s)R(s)(G2(s)+G3(s))G6(s)G5(s)G1(s)(-)C(s)R(s)(G2(s)+G3(s))G6(s)G5(s)-G４(s)G1(s)2023/7/2信號(hào)相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動(dòng)和互換①信號(hào)相加點(diǎn)的移動(dòng)：把相加點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端〔相加點(diǎn)的后移〕2023/7/2把相加點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端〔相加點(diǎn)的前移〕：2023/7/2

相臨的信號(hào)相加點(diǎn)位置可以互換，或者是進(jìn)行合并；2023/7/2②信號(hào)分支點(diǎn)的移動(dòng)：

分支點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端(分支點(diǎn)的后移)2023/7/2

分支點(diǎn)從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端(分支點(diǎn)的前移)：2023/7/2

相加點(diǎn)和分支點(diǎn)在一般情況下，不進(jìn)行互換。

同一信號(hào)的分支點(diǎn)位置可以互換2023/7/2例2-13

結(jié)構(gòu)圖化簡H1H2G1G2G3G4(-)(-)RY①②③㈠㈡㈢結(jié)構(gòu)圖化簡詳解2023/7/2(1)結(jié)構(gòu)圖化簡方案Ⅰ〔分支點(diǎn)③前移〕RH2+G3H1G1G2G3H2G4(-)Y(a)G4G3H2YR(b)G4YR(c)H1H2G1G2G3G4(-)(-)RY①②③㈠㈡㈢2023/7/2(2)結(jié)構(gòu)圖化簡方案Ⅱ:〔分支點(diǎn)②后移〕H1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4(-)RY(a)H2/G3G4RY(b)H1H2G1G2G3G4(-)(-)RY①②③㈠㈡㈢2023/7/2結(jié)構(gòu)圖化簡方案Ⅲ- 相加點(diǎn)㈡前移并于㈠合并，然后分支點(diǎn)②后移〕G1G2G3H1/G1G4RY(-)(a)G4G1G2G3YR(-)(b)H1H2G1G2G3G4(-)(-)RY①②③㈠㈡㈢2023/7/21.等效為單位反響系統(tǒng)〔三〕其它等價(jià)法那么R(s)(-)C(s)G(s)H(s)G(s)H(s)(-)C(s)R(s)2023/7/2〔三〕其它等價(jià)法那么G(s)H(s)R(s)C(s)-1E(s)C(s)R(s)G(s)-H(s)E(s)2.負(fù)號(hào)可在支路上移動(dòng)

E(s)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)+(-1)H(s)C(s)=R(s)+[-H(s)]C(s)2023/7/2反響回路的簡化原那么總結(jié)反響回路進(jìn)行簡化，最重要做到等價(jià)等價(jià)：保持輸入輸出的關(guān)系不變，簡言之，即保持傳遞函數(shù)不變進(jìn)行等價(jià)變換時(shí)，請注意考察簡化支路的傳遞函數(shù)是否保持不變2023/7/2例

雙RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖簡化。Ui(s)R1(-)(-)(-)Uo(s)(b)(c)Ui(s)(-)(-)Uo(s)R1Ui(s)(-)(-)(-)I1(s)IC(s)U(s)I2(s)Uo(s)(a)2023/7/2例

雙RC網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖簡化。

R1C2sUi(s)Uo(s)(-)(e)動(dòng)畫演示(d)Ui(s)R1C2s(-)Uo(s)(-)2023/7/2[解]：結(jié)構(gòu)圖等效變換如下：[例]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，求傳遞函數(shù)。-+相加點(diǎn)移動(dòng)-+①2023/7/2-+②③2023/7/2三、典型的閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)-+閉環(huán)控制系統(tǒng)〔也稱反響控制系統(tǒng)〕的典型結(jié)構(gòu)圖如以下圖所示：R(s)：輸入信號(hào)C(s)：輸出信號(hào)E(s)：系統(tǒng)偏差N(s)：系統(tǒng)擾動(dòng)〔不希望的輸入量〕R(s)-C(s):系統(tǒng)誤差由于傳遞函數(shù)只能處理單輸入、單輸出系統(tǒng)，因此，我們分別求R(s)對C(s)和N(s)對C(s)的傳遞函數(shù)，然后疊加得出總的輸出量C(s)2023/7/2-〔一〕給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)令N(s)=0，那么有前向通道傳遞函數(shù)：前向通道指從輸入端到輸出端沿信號(hào)傳送方向的通道開環(huán)傳遞函數(shù)：前向通道和反響通道的乘積，是主反響通道斷開時(shí)從輸入信號(hào)到反響信號(hào)B(s)之間的傳遞函數(shù)2023/7/2-〔一〕給定輸入作用下的閉環(huán)系統(tǒng)輸出對參考輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)輸出：2023/7/2偏差對參考輸入的閉環(huán)傳遞函數(shù)〔將偏差看作輸出〕-2023/7/2對于單位反饋系統(tǒng)H(s)=1，則有：開環(huán)傳遞函數(shù)=前向通道傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的偏差E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)就是系統(tǒng)誤差。2023/7/2此時(shí)輸入R(s)=0,結(jié)構(gòu)圖如下：輸出對擾動(dòng)的傳遞函數(shù)為：輸出為：-+〔二〕擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)2023/7/2一般要求由擾動(dòng)量產(chǎn)生的輸出量應(yīng)為零。系統(tǒng)的誤差為 0-C(s)=-C(s)，偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，偏差對擾動(dòng)輸入的傳遞函數(shù)為：〔二〕擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)：-+2023/7/2根據(jù)線性迭加原理：輸出：偏差：[提示]：各個(gè)傳遞函數(shù)都具有相同的分母，分母稱為控制系統(tǒng)的特征表達(dá)式。(三〕輸入和擾動(dòng)輸入同時(shí)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的總輸出2023/7/2信號(hào)流圖的根本性質(zhì)：1)節(jié)點(diǎn)標(biāo)志系統(tǒng)的變量，節(jié)點(diǎn)標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點(diǎn)信號(hào)的代數(shù)和，用“○〞表示；2)信號(hào)在支路上沿箭頭單向傳遞；3)支路相當(dāng)于乘法器，信號(hào)流經(jīng)支路時(shí)，被乘以支路增益而變成另一信號(hào)；4)對一個(gè)給定系統(tǒng)，信號(hào)流圖不是唯一的。1+R1C1s

x2x5x4

x6-1

x3

x7I(s)R21/R1

x12.5信號(hào)流圖及梅遜公式

信號(hào)流圖是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)。2023/7/2信號(hào)流圖中常用的名詞術(shù)語：源節(jié)點(diǎn)〔輸入節(jié)點(diǎn)〕：在源節(jié)點(diǎn)上，只有信號(hào)輸出支路而沒有信號(hào)輸入的支路，它一般代表系統(tǒng)的輸入變量。阱節(jié)點(diǎn)〔輸出節(jié)點(diǎn)〕：在阱節(jié)點(diǎn)上，只有信號(hào)輸入的支路而沒有信號(hào)輸出的支路，它一般代表系統(tǒng)的輸出變量。

混合節(jié)點(diǎn)：在混合節(jié)點(diǎn)上，既有信號(hào)輸出的支路而又有信號(hào)輸入的支路。a12a34a23a45a44a53a32a43a24a25x1x2x3x4x5x62023/7/2

前向通路：信號(hào)從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)傳遞時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只通過一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘積稱前向通路總增益，一般用Pk表示。

回路：起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，而且信號(hào)通過每一節(jié)點(diǎn)不多于一次的閉合通路稱回路?；芈飞细髦吩鲆嬷朔e稱回路增益，一般用La表示。

不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時(shí)，稱它們?yōu)椴唤佑|回路。a12a34a23a45a44a53a32a43a24a25x1x2x3x4x5x62023/7/22.5.1信號(hào)流圖的繪制

1.由系統(tǒng)微分方程繪制信號(hào)流圖1〕將微分方程通過拉氏變換，得到S的代數(shù)方程；2〕每個(gè)變量指定一個(gè)節(jié)點(diǎn)；3〕將方程按照變量的因果關(guān)系排列；4〕連接各節(jié)點(diǎn)，并標(biāo)明支路增益。2023/7/2例C1uiR1R2uoi1i繪制詳解2023/7/2

信號(hào)傳遞流程：2023/7/2結(jié)構(gòu)圖變換為信號(hào)流圖：信號(hào)流圖的節(jié)點(diǎn)數(shù)等于結(jié)構(gòu)圖的“主干道〞上：分支點(diǎn)+相加點(diǎn)+2〔2為一個(gè)輸入一個(gè)輸出〕結(jié)構(gòu)圖中的方框變?yōu)樾盘?hào)流圖的線段，方框中的傳遞函數(shù)變?yōu)橹吩鲆?。信?hào)流圖中的線段數(shù)大于或等于結(jié)構(gòu)圖中的方框數(shù)信號(hào)流圖的節(jié)點(diǎn)只表示變量的相加。2.由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖2023/7/2G(s)C(s)R(s)(節(jié)點(diǎn))C(s)R(s)G(s)(節(jié)點(diǎn))(支路)C(s)1R(s)E(s)G1(s)G2(s)-H(s)Y(s)D(s)V(s)11(b)信號(hào)流圖2.由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s)(-)(a)結(jié)構(gòu)圖2023/7/2例

繪制結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的信號(hào)流圖(1)。Ui(s)Uo(s)Uo(s)U(s)I2(s)IC(s)-1-1-11/R11/C1s1/C2s1/R2動(dòng)畫演示Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)2023/7/2結(jié)構(gòu)圖變換為信號(hào)流圖步驟：“化簡〞結(jié)構(gòu)圖〔將可合并的分支點(diǎn)和相加點(diǎn)合并〕由結(jié)構(gòu)圖“主干道〞上分支點(diǎn)、相加點(diǎn)和輸入輸出的數(shù)量畫出節(jié)點(diǎn)，并將其用線段連接起來標(biāo)出每個(gè)節(jié)點(diǎn)所代表的變量標(biāo)出每個(gè)線段上的支路增益將結(jié)構(gòu)圖上的“反響〞或“順饋〞支路按照規(guī)律變換到信號(hào)流圖中總結(jié)2023/7/2例

繪制結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的信

號(hào)流圖

。2023/7/22.5.2梅遜增益公式

用梅遜公式可不必簡化信號(hào)流圖而直接求得從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)