山西省大同市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題（卷）高二數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，分別是直線，的方向向量，若，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由，則兩直線的方向向量共線列式計(jì)算即可.【詳解】由題意可得：，解得：，.故選：B2.等差數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公差為（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則②-①可得：，所以.故選：A.3.如果橢圓上一點(diǎn)到此橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，是的中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A.6 B.10 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】由橢圓定義可得，再利用中位線的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，連接，，，由橢圓方程可得：，則，由橢圓定義可得，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，則由中位線可得：.故答案為：C.4.曲線在處的切線如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出切線方程，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出的值，利用切線方程求出的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】設(shè)曲線在處切線方程為，則，解得，所以，曲線在處的切線方程為，所以，，，因此，.故選：C.5.等比數(shù)列中，已知，，，則為（）A. B. C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求項(xiàng)數(shù)，利用前項(xiàng)和公式求解即可得答案．【詳解】等比數(shù)列中，，，．.故選：B．6.已知函數(shù)的圖象如圖所示，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象可以是A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：討論x＜﹣1，﹣1＜x＜0，0＜x＜1，x＞1時(shí)，的正負(fù)，從而得函數(shù)的單調(diào)性，即可得解．詳解：由函數(shù)的圖象得到：當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．由此得到函數(shù)y=f（x）的大致圖象可以是A．故選A．點(diǎn)睛：本題利用導(dǎo)函數(shù)的圖象還原函數(shù)的圖象，即根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．7.在數(shù)列中，，，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.6440 B.6702 C.6720 D.6740【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，，及遞推關(guān)系式，列舉歸納可得是以6為周期的周期數(shù)列，是以3為周期的周期數(shù)列，從而利用周期性可得的值.【詳解】∵，，∴，，依次得，，，，，……，故是以6為周期的周期數(shù)列，是以3為周期的周期數(shù)列，∴.故選：D.8.已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得，令，求導(dǎo)求最值即可.【詳解】若在上恒成立，則在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，令，則，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.(多選)關(guān)于雙曲線與雙曲線的說(shuō)法正確的是（）A.有相同的焦點(diǎn) B.有相同的焦距C.有相同的離心率 D.有相同的漸近線【答案】BD【解析】【分析】將兩個(gè)雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再逐一判斷.【詳解】?jī)煞匠叹癁闃?biāo)準(zhǔn)方程為和，這里均有，所以有相同的焦距，而焦點(diǎn)一個(gè)在軸上，另一個(gè)在軸上，所以A錯(cuò)誤，B正確；又兩方程的漸近線均為，故D正確；的離心率，的離心率，故C錯(cuò)誤；故選：BD.10.直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，分別是棱，的中點(diǎn)，過(guò)直線的平面分別與棱，交于，，下列表述正確的是（）A.平面平面B.四邊形的面積最大為C.當(dāng)時(shí)，線段平面D.四棱錐的體積恒為常數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】運(yùn)用面面垂直的判定定理可判斷A項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)B重合時(shí)，四邊形面積最大，計(jì)算其面積即可判斷B項(xiàng)，假設(shè)平面，可證得可判斷C項(xiàng)，運(yùn)用等體積法計(jì)算可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，如圖所示，連接AC，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?，所以，又因，，、面，所以平面，又因?yàn)槊妫云矫嫫矫?，即平面平面，所以A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，在，的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)B或點(diǎn)重合時(shí)，四邊形面積最大，此時(shí)是對(duì)角線長(zhǎng)分別為，的菱形，所以面積為，所以B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，假設(shè)平面，在平面中，，，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，即：O為、的中點(diǎn)，分別取、的中點(diǎn)P、Q，連接，則線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，如圖所示，設(shè)，則，，，在中，，即：，所以，所以，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，面，面，所以面，所以M到面的距離等于B到面的距離，因?yàn)椋?，，、面AEFC，所以面AEFC，即：面AEF，所以B到面的距離為，又因?yàn)椋?，所?故D項(xiàng)正確.故選：ABD.11.經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.當(dāng)與軸垂直時(shí)，最小 B.C.以弦為直徑的圓與直線相離 D.【答案】ABD【解析】【分析】先設(shè)直線的方程，聯(lián)立拋物線，可得D.用拋物線焦點(diǎn)弦公式表示，可得A.利用拋物線定義，可表示，可證B.利用拋物線定義，結(jié)合圖像位置關(guān)系可判斷C.【詳解】如圖，設(shè)直線為，聯(lián)立，得，即，所以，，故D正確，，將代入得，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線與軸垂直，故A正確，，代入，，得，故B正確，設(shè)的中點(diǎn)為，則以弦為直徑的圓的圓心為，半徑為分別過(guò)作拋物線的垂線，垂足分別為,由拋物線的定義知，，則,故以弦為直徑的圓與直線相切，C錯(cuò)誤，故選：ABD12.已知函數(shù)，，則（）A.函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)B.函數(shù)在上存在唯一極值點(diǎn)C.若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為D.若，則的最大值為【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)，二次求導(dǎo)，得到的單調(diào)性，得到答案；B選項(xiàng)，二次求導(dǎo)，得到在上單調(diào)遞增，從而判斷出無(wú)極值點(diǎn)；C選項(xiàng)，根據(jù)A選項(xiàng)得到的的單調(diào)性得到不等式，參變分離后，構(gòu)造函數(shù)，求出其最大值得到答案；D選項(xiàng)，結(jié)合AB選項(xiàng)求出的函數(shù)單調(diào)性及同構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A：，令，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B：，令，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由A得在上單調(diào)遞增，不等式恒成立，則恒成立，故恒成立.設(shè)，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則.由A，B可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，∵，∴，，且，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，設(shè)，則，令，解得，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，此時(shí)，故的最大值為，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，極值，最值，從而證明出結(jié)論，或者求出參數(shù)的取值范圍，經(jīng)常考察，也是難點(diǎn)之一，要能結(jié)合函數(shù)特征，合理構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_____________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題中所給的，類比著寫出，兩式相減，整理得到，從而確定出數(shù)列為等比數(shù)列，再令，結(jié)合的關(guān)系，求得，之后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求得的值.【詳解】根據(jù)，可得，兩式相減得，即，當(dāng)時(shí)，，解得，所以數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以，故答案是.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的求和問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，需要先利用題中的條件，類比著往后寫一個(gè)式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，從而確定出該數(shù)列是等比數(shù)列，之后令，求得數(shù)列的首項(xiàng)，最后應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明確對(duì)既有項(xiàng)又有和的式子的變形方向即可得結(jié)果.14.若函數(shù)在處取得極小值，則a=__________．【答案】2【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)得到或，討論的不同取值，利用導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，驗(yàn)證極值點(diǎn)，即可得解.【詳解】由可得，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，所以，解得或，若，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取得極小值，符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取得極大值，不符合題意；綜上：.故答案為：2.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)極值點(diǎn)求參數(shù)時(shí)，一般需要先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)求出參數(shù)，再驗(yàn)證所求參數(shù)是否符合題意即可.15.三棱柱中，，分別是，上的點(diǎn)，且，.若，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】由題意畫出圖形，設(shè)，，，將用，，表示出來(lái)，求的模長(zhǎng)即可求解.【詳解】如圖設(shè)，，，所以，因?yàn)?所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是將用從點(diǎn)出發(fā)的一組基底，，表示出來(lái)計(jì)算其模長(zhǎng)即可.16.已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，曲線軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______【答案】【解析】【詳解】設(shè)，則，又，所以函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，顯然不合乎題意；當(dāng)時(shí)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，存在一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，可得，則，若，可得，為減函數(shù)；若，可得，為增函數(shù)；此時(shí)必須在上有兩個(gè)零點(diǎn)，，解得．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知直線（1）求與垂直，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為直線方程；（2）已知圓心為，且與直線相切求圓的方程.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直設(shè)出所求直線，分別令和，求得在坐標(biāo)軸上的截距，利用三角形的面積公式即可求解；（2）根據(jù)圓與直線相切的條件及點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗蟮闹本€與直線垂直，所以設(shè)所求的直線方程為，令，得；令，得.因?yàn)樗蟮闹本€與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為．所以，解得或.所以所求的直線方程為或．【小問(wèn)2詳解】設(shè)圓的半徑為，因?yàn)閳A與直線相切，所以，所以所求的圓的方程為.18.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)an=2n-1(2)【解析】【詳解】分析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,由成等差數(shù)列，可知,由得：，由此解得，，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；令，利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列的前項(xiàng)和.詳解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,由成等差數(shù)列，可知,由得：，解得:因此:(2)令.則，∴①②①—②,得所以點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列的公差及首項(xiàng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)、錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．19.如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，，且，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取，的中點(diǎn)，，連接，，，，可得，，證得平面，得到，又由，證得平面，從而可得平面平面.（2）由（1），建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖所示，取和的中點(diǎn)和，分別連接，，，，則四邊形為正方形，可得，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋傻?，又因?yàn)?，且平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，令，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，所以，又設(shè)平面的法向量為，則，取，，所以，所以，由圖形得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.20.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【詳解】分析：第一問(wèn)首先將代入題中所給的式子，結(jié)合與的關(guān)系，求得，再類比著寫出一個(gè)式子，兩式相減求得，結(jié)合數(shù)列的項(xiàng)的符號(hào)，得到，從而得到數(shù)列是等差數(shù)列，應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出結(jié)果；第二問(wèn)利用裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和，結(jié)合式子寫出其范圍.詳解：（1）①時(shí)，由，得，②時(shí)，由已知，得，∴，兩式作差，得，又因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，所以.∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.∴.（2）∵，∴.又因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)最小，，∴.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及裂項(xiàng)相消法求和，在解題的過(guò)程中，需要對(duì)題中所給的式子，類比著往前寫或者往后寫一個(gè)，兩式相減，結(jié)合題中的條件，得到相鄰兩項(xiàng)的差為同一個(gè)常數(shù)，從而得到該數(shù)列是等差數(shù)列，之后借助于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果，對(duì)于第二問(wèn)應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和之后，結(jié)合式子的特征以及n的范圍，求得其值域.21.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與構(gòu)成正三角形.(1)求橢圓的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使恒為定值?若存在，求出的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)由題意首先求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后結(jié)合正三角形的性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在的時(shí)候，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求得的表達(dá)式，然后整理變形確定m的值，當(dāng)直線斜