新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)4321等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

九等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.(2020·來賓高二檢測(cè))已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=a3-8,且S3=13,則a2= () QUOTE 或-QUOTE【解析】選D.設(shè)公比為q,易知q≠1.由QUOTE得QUOTE,解得QUOTE或QUOTE,當(dāng)QUOTE時(shí),a2=a1q=3;當(dāng)QUOTE時(shí),a2=a1q=-QUOTE,所以a2=3或a2=-QUOTE.2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=2,前n項(xiàng)和為Sn,則QUOTE等于 () B.4 C.QUOTE D.QUOTE【解析】4=QUOTE,a2=a1q,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.設(shè)f(n)=2+24+27+…+23n+1(n∈N+),則f(n)等于 ()A.QUOTE(8n-1) B.QUOTE(8n+1-1)C.QUOTE(8n+2-1) D.QUOTE(8n+3-1)【解析】選B.f(n)=2+24+27+…+23n+1=QUOTE=QUOTE(8n+1-1).4.(2019·全國(guó)卷Ⅲ)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)的和為15,且a5=3a3+4a1,則a3= () B.8 【解析】1,公比為q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因?yàn)閍1>0且q>0,則可解得q=2,又因?yàn)閍1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,則a3=a1q2=4.二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2020·肇慶高二檢測(cè))記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a3=-1,S3=-3,則a1=________.

【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.因?yàn)閍3=-1,S3=-3,當(dāng)q=1時(shí),顯然滿足,此時(shí)a1=-1,當(dāng)q≠1時(shí),QUOTE,整理可得,2q2-q-1=0,解得,q=1(舍)或q=-QUOTE,a1=-4.綜上,a1=-1或-4.答案:-1或-46.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=x·3n-1-QUOTE,則x的值為________.

【解析】顯然q≠1,此時(shí)應(yīng)有Sn=A(qn-1),又Sn=QUOTE(2x·3n-1),所以x=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)7.等比數(shù)列{an}中,a1=2,a7=4a5.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sm=126,求m.【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,所以q2=QUOTE=4,所以q=±2,所以an=2n或an=-(-2)n.(2)由(1)知Sn=QUOTE=2n+1-2或Sn=QUOTE=QUOTE[1-(-2)n],所以2m+1-2=126或QUOTE[1-(-2)m]=126(舍去),解得m=6.8.(2020·海淀高二檢測(cè))在等比數(shù)列{an}中,a2=1,a5=8,n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn<100,求n的最大值.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.因?yàn)閍2=1,a5=8,所以q3=QUOTE=8,故q=2,所以an=a2qn-2=2n-2.(2)由(1)知,a1=QUOTE,所以Sn=QUOTE=QUOTE(2n-1)<100,則2n<201,由于27=128,28=256.所以n的最大值為7.(15分鐘·30分)1.(5分)(2020·紹興高二檢測(cè))設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S5=2S10,則QUOTE= ()A.QUOTE QUOTE C.QUOTE QUOTE【解析】5=2S10,可知q≠1,則QUOTE=2×QUOTE,整理可得,2q10-q5-1=0,解得q5=-QUOTE或q5=1(舍),則QUOTE=QUOTE=-QUOTE.2.(5分)公元前5世紀(jì),古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論.他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000m處開始,和阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)比賽開始后,若阿基里斯跑了1000m,此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100m;當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100m時(shí),烏龜仍然領(lǐng)先他10m;當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10m時(shí),烏龜仍然領(lǐng)先他1m……所以阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由題意知,烏龜每次爬行的距離(單位:m)構(gòu)成等比數(shù)列QUOTE,且首項(xiàng)a1=100,公比q=QUOTE,易知a5=10-2,則烏龜爬行的總距離(單位:m)為S5=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.(5分)在等比數(shù)列{an}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,則該數(shù)列的前15項(xiàng)和S15=________.

【解析】因?yàn)閍1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,a7+a8+a9,…成等比數(shù)列,所以S15=QUOTE=11.答案:114.(5分)如圖,最大的三角形是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,將這個(gè)三角形各邊的中點(diǎn)相連得到第二個(gè)三角形,依此類推,一共得到10個(gè)三角形,則這10個(gè)三角形的面積的和為________.

【解析】設(shè)以2為邊長(zhǎng)的等邊三角形的面積為a1,根據(jù)題意,設(shè)得到的第n個(gè)等邊三角形的面積為an,則{an}是以a1=QUOTE×22=QUOTE為首項(xiàng),以q=QUOTE為公比的等比數(shù)列,因?yàn)楣萹≠1,故這10個(gè)三角形的面積和為S10=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.(10分)在等比數(shù)列{an}中,a1·a2·a3=27,a2+a4=30,試求:(1)a1和公比q;(2)前6項(xiàng)的和S6.【解析】(1)根據(jù)題意,在等比數(shù)列{an}中,a1·a2·a3=27,則有a1·a2·a3=QUOTE=27,即a2=3,a2=3時(shí),a4=30-a2=27,有q2=QUOTE=9,即q=±3,若q=3,則a1=QUOTE=1,若q=-3,則a1=QUOTE=-1,綜上,a1=1,q=3或a1=-1,q=-3.(2)當(dāng)q=3,a1=1時(shí),前6項(xiàng)的和S6=QUOTE=364;當(dāng)q=-3,a1=-1時(shí),前6項(xiàng)的和S6=QUOTE=182.1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“諸葛亮領(lǐng)八員將,每將又分八個(gè)營(yíng),每營(yíng)里面排八陣,每陣先鋒有八人,每人旗頭俱八個(gè),每個(gè)旗頭八隊(duì)長(zhǎng),每隊(duì)更該八個(gè)甲,每個(gè)甲頭八個(gè)兵.”則該問題中將官、先鋒、旗頭、隊(duì)長(zhǎng)、甲頭、士兵共有 ()A.QUOTE(87-8)人B.QUOTE(89-8)人C.8+QUOTE(87-8)人D.8+QUOTE(89-84)人【解析】選A.該問題中有8名將官,82名先鋒,83名旗頭,84名隊(duì)長(zhǎng),85名甲頭,86名士兵,則該問題中將官、先鋒、旗頭、隊(duì)長(zhǎng)、甲頭、士兵共有8+82+83+84+85+86=QUOTE=QUOTE(87-8)(人).2.一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了30m的高度,在以后的每一分鐘內(nèi),它上升的高度都是它在前一分鐘內(nèi)上升高度的QUOTE.這個(gè)熱氣球上升的高度能超