高等數(shù)學(xué) 二重積分習(xí)題課

第九章重積分習(xí)題課(一)二重積分一、二重積分的概念

1．定義：

2．幾何意義：

表示曲頂柱體的體積3．物理意義：

——

的質(zhì)量.

二、二重積分的性質(zhì)（三重類似）1．線性性質(zhì)：2.可加性：

4.單調(diào)性：3.區(qū)域的面積：若在

上,,則設(shè)5．估值性質(zhì)：6．中值定理：則在上至少存在一點(diǎn),使得是的面積，7.奇偶對稱性：,是的面積0D關(guān)于x(或y)軸對稱,為y(或x)的奇函數(shù)設(shè)函數(shù)

在閉區(qū)域上連續(xù),D關(guān)于x(或y)軸對稱,為y(或x)的偶函數(shù)則三、二重積分的計(jì)算方法

1．利用直角坐標(biāo)計(jì)算（1）X-型區(qū)域：

.關(guān)鍵：選擇積分次序（2）Y-型區(qū)域：

2．利用極坐標(biāo)計(jì)算

四.典型例題

【例1】利用二重積分的性質(zhì)，估計(jì)積分

的值；其中由于在上

故由二重積分的性質(zhì)可知即

【例2】計(jì)算二重積分其中分析首先應(yīng)畫出區(qū)域

的圖形.本題可采用直角坐標(biāo)計(jì)算。

注意到既是型區(qū)域,又是型區(qū)域，而無論型區(qū)域或型區(qū)域都不能用一個(gè)不等式組表出,均需要把分割成兩個(gè)型區(qū)域或兩個(gè)型區(qū)域的和的形式。不妨把分成型區(qū)域的和來計(jì)算．解:積分區(qū)域如圖所示..將二重積分轉(zhuǎn)化為先對后對的二次積分,得因其中解:積分營區(qū)域刻如圖呀所示.在極脂坐標(biāo)薄系下茅，由怠于【例3】計(jì)算二重積分其中是由圓周,及直線,所圍成的第一象限內(nèi)的閉區(qū)域..將二重積分轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系下先對后對的二次積分,得【例4】計(jì)算二重積分.其中是圓周所圍成的閉區(qū)域。解:在極垂坐標(biāo)衡系下威，由捆于.【例5】計(jì)算二重積分其中.解:積分鹿區(qū)域救如圖誘。為哄去掉勿絕對剪值：因?yàn)槠渲袆t【例6】設(shè)區(qū)域

計(jì)算二重積分分析由于積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，故先利用二重積分的化為二次積分進(jìn)行計(jì)算即可。其中

然后再利用極坐標(biāo)將

對稱性簡化所求的積分.因是關(guān)于變量為偶函數(shù)，關(guān)于為奇函數(shù)，故解：【例7】設(shè)

有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且求分析本題磁是二鼓重積牢分的癥計(jì)算遺、變牽上限氏積分變求導(dǎo)揀和求賤極限夏的綜麥合題也目。辯應(yīng)首宋先利劑用極燙坐標(biāo)歸將二籠重積鎖分轉(zhuǎn)躲化成嫌積分某變上跪限的冬函數(shù)嗽，然糠后再美利用張洛必塑達(dá)法舊則求崗極限免。解：型型五、滔二重嫩積分腥的應(yīng)叢用1．幾叛何應(yīng)部用（其中）2．物林理應(yīng)救用（1）質(zhì)槳量（2）質(zhì)杰心（3）轉(zhuǎn)夕動(dòng)慣惜量曲頂肌柱體笛的體澡積【例8】求上半球面

與旋轉(zhuǎn)拋物面

所圍成的立體的體積。分析首先求出立體在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域，然后利用二重積分的幾何意義將所求立體的體積用二重積分來表示，再利用極坐標(biāo)計(jì)算即可。解：令

求得曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程為故立體在坐標(biāo)面上投影區(qū)域?yàn)橛啥胤e細(xì)分的筐幾何撈意義奸，可知奴所求方立體劇的體宮積為六、遍交換申二次富積分衛(wèi)次序黎的方途法交換二次積分的次序，其實(shí)質(zhì)是把二重積分化為二次積分的逆問題。改變積分次序應(yīng)首先對給定的二次積分求出其對應(yīng)的二重積分的積分區(qū)域,其次要判斷的類型,然后再根據(jù)的類型,將二重積分化為另一次序的二次積分。典型留例題【例9】改變的積分次序。步驟缸：原荷不等則式-區(qū)域籠圖-新不烏等式-新積丘分限解設(shè)

.可知為型區(qū)域;且所以【例10】計(jì)算分析由于被積函數(shù)為如果先對變量

積分,則會(huì)遇到原函數(shù)求不出的問題,所以計(jì)算二次積分的問題就歸結(jié)為改變積分次序的問題，即把二次積分化成先對后對的二燦次積露分。解：由于

可以表示成型區(qū)域(如圖)所以.（令)【例11】證明分析顆觀察宇所要魚證明典的等拐式的旨左右核兩邊底不難放發(fā)現(xiàn)繼，等循式左峰邊是領(lǐng)一個(gè)株二次辟積分伶，可污視作濟(jì)是一跡個(gè)二沸重積未分化蹈成的部二次嚼積分奇，而竿等式筍的右克端是悉一個(gè)蜜定積嫂分。冰對于臭二重去積分歸來說噸，若戚能夠冷化為漏二次墓積分俯并積治