電路的拉普拉斯變換分析法

關(guān)于電路的拉普拉斯變換分析法第1頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.1拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換）是求解常系數(shù)線性微分方程的工具。設(shè)一個(gè)變量t的函數(shù)f(t)，在任意區(qū)間能夠滿足狄利赫利條件（一般電子技術(shù)中處理的函數(shù)都滿足這一條件）

拉氏正變換f(t)：原函數(shù)；F(S)：f(t)的象函數(shù)。

0<t0)(=tf0t3ò￥-0)(dtetfst為有限值積分下線0-后面討論中寫成0拉氏正變換第2頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三例用定義求f(t)象函數(shù)。其中a為實(shí)數(shù)，且a>0。

解根據(jù)拉氏變換的定義tjtateews---￥?=)(lim=0稱為收斂域

第3頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三拉氏反變換拉氏正變換拉氏反變換拉氏變換對(duì)由F(s)到f(t)的變換稱為拉普拉斯反變換，簡(jiǎn)稱拉氏反變換下面來(lái)討論一些常見(jiàn)函數(shù)的拉普拉斯變換工程中常見(jiàn)的函數(shù)(除少數(shù)例外)有下列兩類:(1)t的指數(shù)函數(shù)；(2)t的正整冪函數(shù)。許多常用的函數(shù)如階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、衰減正弦函數(shù)等，都可由這兩類函數(shù)導(dǎo)出。第4頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三

7.1.1指數(shù)函數(shù)

(a為常數(shù))由定義可得的拉普拉斯變換為由此可導(dǎo)出一些常用函數(shù)的變換：1、單位階躍函數(shù)e(t)

a=0第5頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三2、正弦函數(shù)sinwte(t)

故有第6頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三3、余弦函數(shù)coswte(t)

故有第7頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三4、衰減正弦函數(shù)

(t)sineatwe-故有5、衰減余弦函數(shù)

(t)coseatwe-與衰減正弦函數(shù)相類似可得第8頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三6、雙曲線正弦函數(shù)shbte(t)

故有7、雙曲線余弦函數(shù)chbte(t)

與雙曲線正弦函數(shù)相類似可得第9頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三

7.1.2t的正冪函數(shù)

(n為正整數(shù)由定義可得的拉普拉斯變換為設(shè)則亦即第10頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三依次類推，則得當(dāng)n=1時(shí)，有第11頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.1.3沖激函數(shù)Ad（t）沖激函數(shù)的定義可得對(duì)于單位沖激函數(shù)來(lái)說(shuō)，可令上式A=1，即得：書中表71給出了一些常見(jiàn)函數(shù)的拉普拉斯變換第12頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三拉氏變換法的實(shí)質(zhì)就是將微分方程經(jīng)數(shù)學(xué)變換轉(zhuǎn)變成代數(shù)方程，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，再將所得的結(jié)果變換回去。它和應(yīng)用對(duì)數(shù)計(jì)算數(shù)的乘除相類似。不同的只是在對(duì)數(shù)運(yùn)算中變換的對(duì)象是數(shù)，而在拉氏變換中變換的對(duì)象是函數(shù)。（2）對(duì)于常用的階躍函數(shù)、沖激函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及一些超越函數(shù)等經(jīng)變換以后，可轉(zhuǎn)換成為簡(jiǎn)單的初等函數(shù)。拉氏變換法的優(yōu)點(diǎn)：（1）求解過(guò)程得以簡(jiǎn)化，又同時(shí)給出微分方程的特解及齊次方程的通解，而且初始條件能自動(dòng)包含在變換式中，對(duì)于換路起始時(shí)有突變現(xiàn)象的問(wèn)題處理更方便；第13頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換有許多重要性質(zhì)。利用這些基本性質(zhì)可以方便地求出一些較為復(fù)雜函數(shù)的象函數(shù)，同時(shí)通過(guò)這些基本性質(zhì)可以將電路在時(shí)域內(nèi)的線性常微分方程變換為復(fù)頻域內(nèi)的線性代數(shù)方程。從而得到復(fù)頻域中的等效電路。

7.2.1

線性特性若f1(t)

F1(s)Lf2(t)LF2(s)則)()(2211tfatfa+L)()(2211sFasFa+a1，a2為任意常數(shù)

第14頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三證明求函數(shù)的象函數(shù)例解7.2.2

尺度變換若f(t)

F(s)L則f1(at)

La為大于零的實(shí)數(shù)

第15頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三證明令x=at

7.2.3

時(shí)間變換若f(t)

F(s)LL0tf(t)0tt0f(t-t0)第16頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三證明令t0為常數(shù)

則例解求圖中所示的鋸齒波的拉普拉斯變換

0tf(t)ETt0tfa(t)0tTfc(t)0-ETfb(t)=++第17頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三由線性性質(zhì)第18頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三時(shí)間平移特性還可以用來(lái)求取有始周期函數(shù)(t≥0時(shí)呈現(xiàn)周期性的函數(shù)

,在t＜0范圍函數(shù)值為零)的拉普拉斯變換

f(t)為有始周期函數(shù)，其周期為T，f1(t)、f2(t)…分別表示函數(shù)的第一周期，第二周期，…的函數(shù)

，

由于是周期函數(shù)，因此

f2(t)可看成是

f1(t)延時(shí)一個(gè)周期構(gòu)成的，

f3(t)可看成是

f1(t)延時(shí)二個(gè)周期構(gòu)成的，依此類推則有

第19頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三根據(jù)平移特性，若則f(t)為有始周期函數(shù)，其周期為T，拉普拉斯變換等于第一周期單個(gè)函數(shù)的拉普拉斯變換乘以周期因子

例求圖中半波正弦函數(shù)的拉普拉斯變換0tET23T25T2T2Tf(t)第20頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三解先求第一個(gè)半波f1(t)的拉普拉斯變換

0tEf1(t)3T2T2T0tET2f1b(t)||3T2T2T0tET2f1a(t)+有始正弦函數(shù)的拉普拉斯變換為故根據(jù)時(shí)間平移特性可得第21頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三半波正弦周期函數(shù)的拉普拉斯變換為第22頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.2.4

頻率平移特性若f(t)

F(s)L則證明7.2.5

時(shí)域微分特性L若f(t)

F(s)L則證明第23頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三由上式應(yīng)用分部積分法，有式中于是可得應(yīng)用上式的結(jié)果可得依此類推，可得第24頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三如果f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初值為零。則上式變?yōu)?/p>

例解若電容元件C的端電壓uC(t)的拉氏變換式為UC(s)求電容C中電流的象函數(shù)IC(s)。

應(yīng)用微分性質(zhì)IC(s)=L[iC(t)]=L[C]=C[sUC(s)uC(0-)]=CsUC(s)CuC(0-)dttduC)(如果C的端電壓初始值uC(0-)=0IC(s)=CsUC(s)則有第25頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.2.6

時(shí)域微分特性L若f(t)

F(s)則證明對(duì)上式進(jìn)行分部積分，得=0則如函數(shù)的積分區(qū)間不由0開(kāi)始而是由-∞開(kāi)始則因?yàn)榈?6頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三故有將積分性質(zhì)廣到多重積分同前面—樣，此處的0意味著0-書中表7–2列出了拉普拉斯變換的基本性質(zhì)。則有第27頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.3拉普拉斯反變換利用拉普拉斯變換法對(duì)電路進(jìn)行暫態(tài)分析，最終結(jié)果必須返回時(shí)域，就是說(shuō)還要進(jìn)行拉普拉斯反變換。求拉氏反變換最簡(jiǎn)單的方法是查拉氏變換表因?yàn)樽儞Q表中只列出了常用的一些函數(shù)，它不可能將一切函數(shù)都包括在內(nèi)。因此，下面介紹一種基本的方法，部分分式法。第28頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三利用拉普拉斯變換分析電路的暫態(tài)過(guò)程時(shí)所遇到的象函數(shù)一般都是s的實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，它的結(jié)果可表示成兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即式中的諸系數(shù)an,bn都是實(shí)數(shù)，m、n都是正整數(shù)。

如m≥n時(shí)，可以將假分式可分解為多項(xiàng)式與真分式之和。N(S)=0的根被稱為F(S)的零點(diǎn)；

D(S)=0的根被稱為F(S)的極點(diǎn)。

為了分解F(s)為部分分式，只需討論D(s)=0的根。第29頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.3.1D(s)=0均為單根，即無(wú)重根的情況（設(shè)m<n）因D(s)是s的n次多項(xiàng)式，故可分解因式如下由于D(s)無(wú)重根，故sn都不相等，F(xiàn)(S)寫成部分分式的形式為A1，A2，...Ak...An為待定系數(shù)，稱為F(s)在各極點(diǎn)處的留數(shù)。Ak如何確定？第30頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三令將等式的兩邊乘以(s-sk)第31頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三在求出了部分分式的Ak各值之后，就可以逐項(xiàng)對(duì)部分分式求拉氏反變換，得F(s)的原函數(shù)為 由此可見(jiàn)，象函數(shù)的拉氏反變換，可表示為若干指數(shù)函數(shù)項(xiàng)之和第32頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三例1

解求的原函數(shù)。首先將F(s)化為真分式將分母進(jìn)行因式分解將F(s)中的真分式寫成部分分式第33頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三求真分式中各部分分式的系數(shù)第34頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三于是F(s

)可展開(kāi)為其原函數(shù)為注意：在對(duì)假分式進(jìn)行反變換時(shí)，應(yīng)首先將假分式變?yōu)檎娣质?，然后再進(jìn)行部分分式分解。第35頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三例２

解求的原函數(shù)。先將分母分解因式得是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)方法一由第36頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三由于為一對(duì)共軛值，A1，A2則也必為共軛值，所以A2可由A1直接求得。于是對(duì)上式逐項(xiàng)求反變換，并加以整理得第37頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三方法二當(dāng)D(s)為二次三項(xiàng)式，且D(s)=0的根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)時(shí)，還可以使用更簡(jiǎn)便的方法求原函數(shù)。即將分母配成二項(xiàng)式的平方，將一對(duì)共軛復(fù)根作為一個(gè)整體來(lái)考慮。F(s)可配方為直接查閱拉普拉斯變換表可得計(jì)算步驟大為簡(jiǎn)化第38頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三例３

解求的原函數(shù)。象函數(shù)F(s)不是有理函數(shù)，部分分式分解的方法無(wú)法直接應(yīng)用，這時(shí)可先將F(s)改寫成其中分別都是有理函數(shù)，可用部分分式法分解

根據(jù)時(shí)間平移性質(zhì)可知的原函數(shù)，就等于F2(s)的原函數(shù)再平移2個(gè)時(shí)間單位的結(jié)果。第39頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三分別求F1(s)，F(xiàn)2(s)的原函數(shù)于是可得第40頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.3.2D(s)=0的根有重根的情況（設(shè)m<n）設(shè)D(s)=0在s=s1處有p階重根，這時(shí)可將F(s)寫成下面的形式把F(s)展開(kāi)成部分分式A2，A3，...An-p

各留數(shù)仍可照無(wú)重根的情況求取第41頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三A12、A13、...A1p各留數(shù)，不能再采用這種方法。因?yàn)檫@樣將使導(dǎo)數(shù)分母中出現(xiàn)“0”值，而得不出結(jié)果。留數(shù)A11的求取，可將等式的兩邊乘以令s=s1于是為此，引入輔助函數(shù)第42頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三對(duì)s微分得顯然同理依此類推，得一般形式為第43頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三確定了系數(shù)，就可根據(jù)拉普拉斯變換直接，求取原函數(shù)。所以F(s)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)因?yàn)榈?4頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三例

解求

的原函數(shù)。

D(s)=0有四個(gè)根，一個(gè)二重根s1=1和s2=0，s3=3兩個(gè)單根其中各待定系數(shù)分別確定如下故部分分式可表示為第45頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三故得取反變換得以上介紹了用部分分式法求拉氏反變換的基本方法。在分析具體問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)F(s)的分母有無(wú)重根分別用前述兩種方法求各極點(diǎn)的留數(shù)，只要這些留數(shù)一經(jīng)求得，就能得出反變換。第46頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.4復(fù)頻域電路用拉氏變換分析電路暫態(tài)時(shí)可不必寫出微分方程再進(jìn)行變換，可先將時(shí)域電路變成復(fù)頻域電路模型，再根據(jù)復(fù)頻域電路直接寫出運(yùn)算形式的電路方程，使計(jì)算過(guò)程更為簡(jiǎn)化。根據(jù)元件電壓、電流的時(shí)域關(guān)系，可以推導(dǎo)出各元件電壓電流關(guān)系的運(yùn)算形式。7.4.1電阻元件Ri(t)u(t)在時(shí)域中，有第47頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三RI(s)U(s)Ri(t)u(t)設(shè)，等式兩邊取拉氏變換，得

時(shí)域形式復(fù)頻域形式第48頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.4.2電容元件Ci(t)u(t)在時(shí)域中，有令對(duì)等式取拉氏變換并應(yīng)用積分性質(zhì)得第49頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三I(s)U(s)1sCuC(0-)s容端電壓的象函數(shù)（稱象電壓）由兩部分組成：第一部分是電流的象函數(shù)（稱象電流）與運(yùn)算形式的容抗（簡(jiǎn)言容抗）的積；第二部分相當(dāng)于某階躍電壓的象函數(shù)，稱為內(nèi)運(yùn)算電壓源。電容C在復(fù)頻域中串聯(lián)形式的電路模型第50頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三I(s)U(s)sCCuC(0-)象電流也由兩部分組成：第一部分是sC（稱容納）和象電壓UC(s)的乘積；第二部分相當(dāng)于某電流源的象函數(shù)，稱內(nèi)運(yùn)算電流源。電容C在復(fù)頻域中并聯(lián)形式的電路模型第51頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.4.3電感元件在時(shí)域中，有Li(t)u(t)令L[u(t)]=U(s),L[i(t)]=I(s)，對(duì)上式取拉氏變換或I(s)U(s)Li(0-)sL1sLI(s)U(s)i(0-)s感抗內(nèi)運(yùn)算電壓源內(nèi)運(yùn)算電流源串聯(lián)形式的電路模型并聯(lián)形式的電路模型第52頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.4.4互感元件在時(shí)域中，有L1i2(t)L2Mi1(t)u1(t)u2(t)sL1I2(s)sL2sMI1(s)U1(s)U2(s)L1i1(0-)Mi2(0-)L2i2(0-)Mi1(0-)對(duì)等式兩邊取拉氏變換有互感運(yùn)算阻抗附加電壓源的方向與電流i1、i2的參考方向有關(guān)。附加的電壓源耦合電感元件復(fù)頻域形式第53頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.4.5受控源線性受控源電路，在時(shí)域電路中滿足U1(s)=I1(s)R，U2(s)=U1(s)u1=i1R，u2=u1對(duì)等式兩邊取拉氏變換有R1i1u1mu2u1mU2(s)U1(s)R1U1(s)I1(s)線性受控源受控源的復(fù)頻域形式第54頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三把時(shí)域電路變換成它的等效運(yùn)算電路（復(fù)頻域電路）以RLC串聯(lián)電路為例

RSu(t)(t=0)uCCi(t)LRSU(s)(t=0)I(s)Li(0-)sL1sCuC(0-)s

RLC串聯(lián)電路

等效運(yùn)算電路由等效運(yùn)算電路可直接寫出電路的運(yùn)算形式的代數(shù)方程第55頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三即RLC串聯(lián)電路的運(yùn)算阻抗

RLC串聯(lián)電路的運(yùn)算導(dǎo)納

式中或者運(yùn)算形式的歐姆定律在零值初始條件下，i(0-)=0，uC(0-)=0，則有

第56頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三在畫復(fù)頻域電路時(shí)，應(yīng)注意電路中的電壓、電流均用象函數(shù)表示，同時(shí)元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納表示，且電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。例Ee(t)i1RRLCLi2I1(s)RRLsLI2(s)1sCEs

時(shí)域電路復(fù)頻域電路第57頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三7.5

電路的拉普拉斯變換分析法拉普拉斯變換法把時(shí)間函數(shù)變換為對(duì)應(yīng)的象函數(shù)，把線性電路的求解歸結(jié)為求解以象函數(shù)為變量的線性代數(shù)方程。對(duì)任一回路對(duì)任一節(jié)點(diǎn)對(duì)于復(fù)頻域電路，兩類約束關(guān)系為第58頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三應(yīng)用拉氏變換分析線性電路的步驟：（4）通過(guò)拉氏反變換得出時(shí)域中響應(yīng)電壓和電流。（2）畫出換路后的等值運(yùn)算電路；（3）應(yīng)用電路分析方法求出響應(yīng)電壓、電流的象函數(shù)；（1）求出換路前電路中所有電容元件上的初始電壓uc(0-)和所有電感元件上的初始電流iL(0-)；第59頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三例1解電路如圖所示，，開(kāi)關(guān)s閉合前電路處于穩(wěn)態(tài)，在t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S閉合，求電路中iL及uC

1000μF0.1HuC200ViLS10Ω30Ω開(kāi)關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，所以

已知可得運(yùn)算電路0.1s3010IL(s)100s1000s0.5200sUC(s)第60頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三0.1s3010IL(s)100s1000s0.5200sUC(s)I1(s)I2(s)設(shè)回路電流為I1(s)、I2(s),應(yīng)用回路電流法，可列出方程為解得求其反變換得原函數(shù)為第61頁(yè)，講稿共68頁(yè)，2023年5月2日，星期三電容上的電壓為一般來(lái)說(shuō)，二階或二階以上的電路不用時(shí)域分析，而采用復(fù)頻域法求解更簡(jiǎn)便。0.1s3010IL(s)100s1000