計量經(jīng)濟(jì)學(xué) 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗

§3.2多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗

StatisticalTestofMultipleLinearRegressionModel

說明計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計方法建立的一類經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型，所以在模型參數(shù)估計出來后，必須檢驗其估計的可靠程度是否滿足數(shù)理統(tǒng)計學(xué)理論與方法上的要求。

計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的統(tǒng)計檢驗主要包括:擬合優(yōu)度檢驗方程的顯著性檢驗變量的顯著性檢驗

一、擬合優(yōu)度檢驗

(TestingtheSimulationLevel)擬合優(yōu)度檢驗：檢驗?zāi)Ｐ蛯颖居^測值的擬合程度。在一元回歸模型中，擬合優(yōu)度檢驗是通過構(gòu)造一個可以表征擬合程度的統(tǒng)計量R2來實現(xiàn)。在多元回歸模型中，也可以用該統(tǒng)計量來衡量樣本回歸線對樣本觀測值的擬合程度。總離差平方和、回歸平方和及殘差平方和定義TSS為總離差平方和（TotalSumofSquares），反映被解釋變量樣本觀測值總體離差的大小；ESS為回歸平方和（ExplainedSumofSquares），反映被解釋變量回歸估計值的變差大小，也是模型中的解釋變量所解釋的那部分離差的大??；RSS為殘差平方和（ResidualSumofSquares），反映被解釋變量樣本觀測值與估計值偏離的大小，也是模型中解釋變量未解釋的那部分離差的大小。那么，TSS、ESS、RSS之間存在的如下關(guān)系：

總離差平方和=回歸平方和+殘差平方和

TSS=ESS+RSS關(guān)于TSS=ESS+RSS的證明過程（教材P73）證明：將TSS，即總離差平方和進(jìn)行分解：其中根據(jù)正規(guī)方程組（見教材P67（）式），有：…所以TSS=RSS+ESS

注意：回歸平方和反映了總離差平方和中可由樣本回歸線解釋的部分，它越大，殘差平方和越小，樣本回歸線對樣本觀測值的擬合程度越高。（教材P74）所以，可以用回歸平方和占總離差平方和的比重來衡量樣本回歸線對樣本觀測值的擬合程度。也即用檢驗?zāi)Ｐ偷臄M合優(yōu)度。從而R2叫做多重可決系數(shù)，也簡稱為可決系數(shù)或判定系數(shù)。但是在應(yīng)用過程中人們發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個解釋變量，那么模型的回歸平方和隨之增大，從而R2也隨之增大。這就給人一個錯覺：要使模型擬合得好，就必須增加解釋變量。

所以，用來檢驗擬合優(yōu)度的統(tǒng)計量必須能夠防止這種傾向。

毫無疑問，R2越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。式中，（n-k-1）為殘差平方和RSS的自由度，（n-1）為總離差平方和TSS的自由度。（教材P74）

在實蘋際應(yīng)陽用中妹，R2達(dá)到女多大向才算短模型晌通過樓了檢煌驗？答案姐是：購沒有煉絕對欠的標(biāo)鳳準(zhǔn)。模型婆的擬汽合優(yōu)稍度并隱不是寨判斷兵模型狀質(zhì)量忙的唯棉一標(biāo)呼準(zhǔn)，涂有時持甚至洽為了蹲追求悄模型鴿的經(jīng)仙濟(jì)意照義，輪可以另犧牲海一點垮擬合奴優(yōu)度狂。如：H·瞎錢納研里等壩：《新發(fā)展骨的型轎式1責(zé)95簽0-佛19釘70耕》，蹲P5賽0-相52熟，經(jīng)呈濟(jì)科渠學(xué)出訪版社古。而在妻第三升版教達(dá)材P7續(xù)2例的中灑國內(nèi)斯地城恭鎮(zhèn)居志民人六均消僵費支魂出模五型（二泥元回偏歸）中，R2=0培.9緒75欄63麻4，比如賣，第尺三版擱教材P5丹3例中的弟中國例內(nèi)地童城鎮(zhèn)享居民考人均毀消費樸支出策模型（一霜元回課歸）中，R2=0勿.9驅(qū)71琴41夕9，可見畜，對格于中國開內(nèi)地激城鎮(zhèn)咐居民宏的人蓋均消賭費支松出，二元衡回歸比一元市回歸的效鴉果更丸好。（注培意：仁教材P7勿5的表數(shù)述有膜問題基?。┛蓻Q怨系數(shù)鴉R2的簡捷改計算濱公式濁：（☆給）其中對于一元線性速回歸畏：對于多元線性木回歸腔：*赤淚池信拌息準(zhǔn)掠則和眉施瓦蠶茨準(zhǔn)禍則（教疊材P翠75留）為了陜比較駛所含哀解釋臟變量褲個數(shù)獸不同也的多小元回活歸模橫型的明擬合他優(yōu)度檔，常晉用的僚標(biāo)準(zhǔn)微還有相:(2倦)施鄰?fù)叽男聹?zhǔn)則（Sc療hw脾ar顫z駱cr歇it棟er征io駝n，SC）這兩槍準(zhǔn)則家均要診求：僅當(dāng)樓所增罪加的家解釋駝變量撓能夠減少AI慰C值食或S促C值斧時，畫才在瀉原模舊型中耳增加榴該解殘釋變濕量。(1輕)赤截池信緒息準(zhǔn)劫則（Ak庸ai胃ke兆i爬nf扭or踐ma微ti嫩on害c阻ri蟲te諒ri滾on蔬,AI脂C）nnknSClnln+￠=ee二、允方程齡顯著費性檢加驗（教樹材P弱75滋）Te摧st普in嘴g臂th艘e滲Ov孤er臺al慕l幕Si珠gn圾if賓ic征an悅ce方程撐的顯內(nèi)著性怠檢驗弊：對模型撤中被伶解釋揭變量臭與解絮釋變濃量之送間的柜線性符關(guān)系驅(qū)在總信體上勻是否汽顯著紗成立作出律推斷藥。直觀蠟上看洲，擬典合優(yōu)蒙度高護(hù)，則帖解釋描變量拆對被掛解釋鳥變量覺的解糞釋程襪度就賤高，仗可以黨推測歲模型棒總體搏線性別關(guān)系躺成立知；反愚之，鑼就不企成立剝。但碑這只廊是一紀(jì)個模評糊的擾推測銜，不劫能給卵出一納個在掉統(tǒng)計扁上嚴(yán)片格的間結(jié)論乎。這就南要求阿進(jìn)行山方程寒的顯懼著性夫檢驗本。方程身的顯畜著性甲檢驗歇所應(yīng)平用的白方法諷，是想數(shù)理顏統(tǒng)計繞學(xué)中原的假設(shè)撓檢驗。1.信關(guān)于丟假設(shè)塔檢驗（教倆材P浸46慕）假設(shè)國檢驗是統(tǒng)報計推勞斷的獲一個集主要辱方面汪，它平的基本廚任務(wù)拴是根反據(jù)樣譽(yù)本所螞提供洪的信床息，律對未知繼總體某些趁方面軋（如組參數(shù)受或分其布類梅型）赴的假藏設(shè)作充出合垃理的半判斷沉。假設(shè)姻檢驗鹿的程熄序：先根朗據(jù)實并際問紹題的舍要求倚提出補(bǔ)一個蓋論斷追，稱播為統(tǒng)由計假旁設(shè)，皮記為H0；然晴后根愛據(jù)樣向本的滾有關(guān)酷信息璃，對H0的真唯偽進(jìn)別行判邀斷，掌作出膊拒絕H0或接鋤受H0的決亂策。假設(shè)現(xiàn)檢驗渣的基婆本思脖想是概率溜性質(zhì)真的反獅證法。也就危是說砍，為捆了檢倒驗原宜假設(shè)H0是否千正確艇，先訓(xùn)假定什這個房誠假設(shè)且是正唯確的吐，看循由此懇能推前出什奪么結(jié)趨果。如果吼導(dǎo)致易一個婆不合注理的其結(jié)果拌，則表盟明“冊假設(shè)H0為正井確”結(jié)是錯孟誤的魯，即坊原假酸設(shè)H0不正掠確，掌因此猶要拒絕原假訊設(shè)H0。如果泛沒有插導(dǎo)致皮一個狗不合睡理現(xiàn)魯象的知出現(xiàn)斜，則不魯能認(rèn)朋為原徒假設(shè)H0不正咳確，出因此不能聽拒絕原假常設(shè)H0。概率掩性質(zhì)曾的反私證法總的根沿?fù)?jù)是小概旋率事逮件原疲理。該索原理才認(rèn)為“小鉤概率穿事件捉在一遼次試蠻驗中婦幾乎寇是不販可能曲發(fā)生川的”。換句看話說梨，這皇里構(gòu)傭造了醒一個小概腸率事乖件（擱“檢底驗統(tǒng)畏計量羅的樣驢本值軟落入象拒絕華域”梨）。如大果在偉一次館試驗晌中該宣事件所就發(fā)虹生了蹲，就矮違背水了小遺概率蛇事件會原理劉，也垂就意搜味著包導(dǎo)致作了一聲個不畏合理稻的結(jié)萌果。顯著懷性檢奶驗的玩步驟影：(★嚼)（1百）提拿出原鞠假設(shè)齡H0和備損擇假呢設(shè)H1；（2介）計碧算檢窯驗統(tǒng)驗計量鄰的樣臣本值庫；（3乞）確煙定臨棚界值鉛和拒雕絕域擱；（4毒）下釀結(jié)論過：是掛否拒欣絕H0。檢驗扮模型穿中被搏解釋紙變量繼與解尼釋變舟量之摧間的惱線性峽關(guān)系懇在總脖體上仁是否吃顯著等成立忘，也奸就是夸要檢臟驗?zāi)２ㄐ?.淹方程賭顯著叛性的奴F檢久驗（注釀意補(bǔ)充的內(nèi)炎容！高）（i至=1錯,2眨,…割,n悼）中的起參數(shù)塊是否佩顯著仇不為迫0。（1旺）按照蛇假設(shè)肺檢驗琴的原慨理與匆步驟點，首腳先應(yīng)得提出假設(shè)：（注慨：教材蠟P7煉5有火錯?。╋@然糠，當(dāng)H0成立修時，紹即表鞭示模井型的賣線性售關(guān)系不成去立；當(dāng)H1成立端時，甘即表師示模誼型的桐線性殼關(guān)系成立。（2填）并且物，RS磨S與ES劣S相互替獨立場。所以邀，統(tǒng)計言量直觀捕上看創(chuàng)，回氣歸平穿方和蛛ES沾S是箱解釋乖變量奪整體異對被棋解釋琴變量長Y的嘉線性專作用仿的結(jié)釣果，拴如果閉ES劍S/覽RS嘉S的繳比值合較大家，則躺解釋圓變量綁整體念對Y虜?shù)慕馑结尦甜B(yǎng)度高擁，可紡以認(rèn)環(huán)為總拋體存?zhèn)髟诰€蒜性關(guān)罩系；穿反之環(huán)，總亞體可易能不丘存在寸線性逗關(guān)系本。因此淋,可團(tuán)以通賣過該減比值滿的大炸小對林總體接線性車關(guān)系杜進(jìn)行塌推斷。該統(tǒng)澡計量婆即為肅用于算方程娃顯著憲性檢瞞驗的F統(tǒng)計晃量。（4較）（3襯）例在第賄三版教材琴P7軍2例的中宰國內(nèi)掛地城驚鎮(zhèn)居繭民人云均消樹費模項型(及二元弄回歸架)中珠，k更=2越,n陳=3償1,柱F錦=5傳60淡.5蔬65魯。給定振α=翁0.榮05飯,查稍得Ｆ0.籌05（2鴨,2醋8)皺=3琴.3賢4。所以呀,該溫模型萄的線日性關(guān)讓系在防95斯%的瓦置信民水平踢下顯經(jīng)著成啦立。⒊關(guān)于逆擬合盞優(yōu)度恐檢驗類與方妻程顯弄著性掀檢驗棄關(guān)系排的討孫論擬合莫優(yōu)度發(fā)檢驗品和方始程總躺體線陰性的竿顯著海性檢梯驗是胸從不估同原籍理出追發(fā)的較兩類裁檢驗屈：前者是從鳴已經(jīng)后得到缸估計攤的模麗型出姜發(fā)，監(jiān)檢驗致它對簽樣本除觀測遷值的士擬合撈程度笛；后者是從娃樣本輛觀測否值出本發(fā)檢簡驗?zāi)４中涂倢?dǎo)體線織性關(guān)寧系的主顯著押性。但是程二者幸又是褲關(guān)聯(lián)射的：F檢逮驗和擬合影優(yōu)度甜檢驗都是食在總炸變差曬TS漢S分近解為盈回歸敞平方刻和E楊SS碎與殘伏差平繡方和功RS塔S的脂基礎(chǔ)腫上構(gòu)淺造統(tǒng)紐奉計量忘進(jìn)行壺的檢蟲驗；右模型捐對樣條本觀星測值環(huán)的擬蛇合程洋度高班，模省型總賤體線鼓性關(guān)畫系的輩顯著吧性就煉強(qiáng)；兩個據(jù)檢驗蒜統(tǒng)計丈量之弦間存騎在如朝下的雖數(shù)量滲關(guān)系捕：或可見般，F(xiàn)煉與R2同向咳變化鬼。當(dāng)曲R2=0辜時，撕F=妖0；高當(dāng)R2越大貿(mào)時，炮F也經(jīng)越大胸；當(dāng)勻R2=1膛時，埋F→∞。（注：教材厘P7撒6-蹄77溜文字擊有錯疼?。┒啻蟠a才算窮通過鵲擬合工優(yōu)度際檢驗概？重新嘉回到恨前面布的問腸題：對于第三裹版教舅材P7膝2例，給覆定顯籌著性扎水平=0渾.0減5時，尾查F分布余表，購得到亦臨界垮值F0.脖05(2漏,2秤8)蔑=3罷.3您4，即動是說同，只那要F統(tǒng)計霸量的剃值大刻于3.區(qū)34，模臺型的寨線性吸關(guān)系電在95御%的水品平下皇就是墨顯著非成立閃的。涂將該落數(shù)值扇代入嚷（）式容，計幼算得剪到對禿應(yīng)的疼調(diào)整墾后的兇可決裁系數(shù)堪為實際栽上，有許詞多著杏名的呼模型育，R2小于牢0.疲5，問支持尚了重胖要的研結(jié)論挺。例：西蒙·庫茲除涅茨關(guān)于撒收入慶差距畏的倒察U型莖規(guī)律革、H·矩錢納季里的《器發(fā)展寺的型儀式1勇95斷0-窗19銜70丙》。如果瞞我們樣首先有得到調(diào)整蜘后的援可決渾系數(shù)為0甜.1借35緣瑞4，狼肯定飼認(rèn)為罵該模賴型的沒質(zhì)量缸不高酒，殊慎不知侵它的杯總體拒線性呢關(guān)系掉的置信水平由達(dá)到嫩了9開5%猶。方程歡顯著城性檢艱驗（悲F檢等驗）液的步醒驟（理★）（1扯）對客多元郵線性誓回歸斃模型繩的參貸數(shù)提摸出聯(lián)敬合假你設(shè)：（2綿）在抄原假敢設(shè)H0的基晚礎(chǔ)上睛，根諸據(jù)樣秋本數(shù)胳據(jù)計場算F差統(tǒng)計核量的昌樣本艇值：1.地什么言是變莖量的塞顯著稀性檢尺驗？（教奏材P恭77止）對于遍多元嚴(yán)線性索回歸鎮(zhèn)模型野，方勵程的準(zhǔn)總體樓線性許關(guān)系武顯著衣成立寶，并踢不能仆說明每個解釋披變量憑對被塔解釋腔變量劑的影年響都劣是顯皆著的宋。因此濱，必須惡對每個解釋朽變量屆進(jìn)行帝顯著袍性檢價驗，研以決歡定是慣否作濕為解犁釋變口量被貓保留車在模烏型中辣。如果掌某個采變量載對被娘解釋開變量窮的影售響并威不顯感著，獵應(yīng)該志將它餡剔除尾，以具建立奶更為蝦簡單齒的模避型。這就篇是變嚴(yán)量顯沉著性述檢驗覽的任某務(wù)。變量雀顯著囑性檢泊驗針連對的壁原假點設(shè)為H0：j=0（j揉=0牧,1讀,2萍,…報,k化），而食應(yīng)用鼻最為乞普遍參的是t檢耗驗。三、淺變量然顯著廟性檢匯驗Te拋st密in淺g到th合e凳In勇di乒vi槽du租al杠S僻ig奶ni襪fi斃ca市nc耳e2.貢變量后顯著邁性的憶t檢梨驗（1頭）檢驗女統(tǒng)計監(jiān)量（t撲統(tǒng)驚計量休）的構(gòu)上造：（對綱教材溝P7屢7的野補(bǔ)充傳！）（j=0,岔1,劇2,倒…,k）于是因此昂，可往以構(gòu)雀造統(tǒng)凡計量該統(tǒng)勿計量鑼即為臘用于封變量托顯著轟性檢名驗的t膜統(tǒng)計格量。（2趙）變量賽顯著蓮性的t務(wù)檢驗（思仗路）計算檢驗蹈統(tǒng)計淹量tj的值【模飄型有懷幾個掀解釋推變量層，就博要計欄算幾謙個tj】。（j=0,撞1,粘2,些…,k）例：在教材湖P7笛2例中國屬內(nèi)地百城鎮(zhèn)臺居民杰人均毯消費骨支出的二元士回歸沸模型中，貴由E研vi杠ew僚s軟誓件計芬算得剛到：變量量X1和X2各自唱的t統(tǒng)寨計量誓樣本債值分別池為腔tX1=7頃.3敲78劃32鏟0擦tX2=2施.2活00謎79丸1給定待α=流0.蟻05孔,查笑得臨界亦值t0.扶02桂5(2庫8)醋=2筆.0列48寒。由于莫tX1、tX2都大于網(wǎng)臨界湯值t0.渠02挺5(2壟8)情，所倡以，些變量惠X1和X2在9監(jiān)5%渡的水廳平下都顯著段。變量逼顯著痛性檢擦驗（線t側(cè)檢驗秤）的傅步驟碌（