海南省保亭中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)圓錐曲線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精41（2012北京理）（本小題共14分）已知曲線C:(5—m）x2+(m—2）y2=8(m∈R）（1）若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，求m的取值范圍；（2）設(shè)m=4,曲線c與y軸的交點(diǎn)為A，B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G.求證：A,G，N三點(diǎn)共線。解:（1)原曲線方程可化簡(jiǎn)得：由題意可得：，解得：（2)由已知直線代入橢圓方程化簡(jiǎn)得:，,解得：由韋達(dá)定理得：①,，②設(shè)，，方程為:,則，，，欲證三點(diǎn)共線,只需證，共線即成立，化簡(jiǎn)得：將①②代入易知等式成立，則三點(diǎn)共線得證。2的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率.過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8。（Ⅰ）求橢圓E的方程。（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相較于點(diǎn)Q。試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由?！窘馕觥?。(2012廣東理)（本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓：的離心率，且橢圓上的點(diǎn)到的距離的最大值為3。（1）求橢圓的方程；(2）在橢圓上，是否存在點(diǎn)使得直線：與圓O:相交于不同的兩點(diǎn)，且的面積最大？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】：(1）由,所以設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),則，所以所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，可得,所以故橢圓的方程為：（2）因?yàn)樵跈E圓上，所以，設(shè)，由，得所以，,可得并且：，所以，所以，設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為，則所以設(shè)，由，得，所以，,所以，當(dāng)時(shí)，面積最大,最大為。此時(shí)，4。(2012湖南理）（本小題滿分13分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的點(diǎn)均在C2：（x-5）2＋y2=9外，且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M，M到直線x=﹣2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值。（Ⅰ）求曲線C1的方程;（Ⅱ）設(shè)P（x0，y0）（y0≠±3)為圓C2外一點(diǎn)，過(guò)P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)A，B和C，D。證明：當(dāng)P在直線x=﹣4上運(yùn)動(dòng)時(shí),四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值。【解析】(Ⅰ)解法1：設(shè)M的坐標(biāo)為，由已知得，易知圓上的點(diǎn)位于直線的右側(cè)。于是，所以?；?jiǎn)得曲線的方程為。解法2:由題設(shè)知,曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線，故其方程為.（Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P的坐標(biāo)為,又,則過(guò)P且與圓相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，切線方程為。于是整理得①設(shè)過(guò)P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個(gè)實(shí)根，故②由得③設(shè)四點(diǎn)A,B，C，D的縱坐標(biāo)分別為,則是方程③的兩個(gè)實(shí)根，所以④同理可得⑤于是由②，④，⑤三式得.所以，當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值6400.ABPOxy（第12題）5.（2012江蘇)(本小題滿分16分）．已知和ABPOxy（第12題）(1）求橢圓的離心率;（2)設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)P．(i）若，求直線的斜率;（ii）求證：是定值．【解析】（1)設(shè)題設(shè)知,，由點(diǎn)（1,)在橢圓上，得=1,解得=1，于是，又點(diǎn)（,）在橢圓上，∴=1，即，解得=2，∴所求橢圓方程的方程是=1；（2）由（1）知（－1，0），（1，0），∵∥，∴可設(shè)直線的方程為：，直線的方程為：，設(shè)，,由，得，解得,故===,①同理,=，②（ⅰ)由①②得－=，解得=得=2，∵，∴，∴直線的斜率為.（ⅱ）∵∥，∴,∴，∴,由B點(diǎn)在橢圓知，∴,同理∴==由①②知,+=,×=，∴==，∴是定值.6.（2012遼寧理)(本小題滿分12分)如圖，橢圓：，a,b為常數(shù)），動(dòng)圓，。點(diǎn)分別為的左，右頂點(diǎn)，與相交于A，B，C,D四點(diǎn)。（Ⅰ）求直線與直線交點(diǎn)M的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)動(dòng)圓與相交于四點(diǎn),其中，。若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值。【答案及解析】7。(2012全國(guó)大綱卷文、理）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）已知拋物線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)，且在點(diǎn)處兩曲線的切線為同一直線.（Ⅰ）求；(Ⅱ）設(shè)、是異于且與及都相切的兩條直線，、的交點(diǎn)為,求到的距離.【答案】8。（2012全國(guó)新課標(biāo)卷文、理)（本小題滿分12分）設(shè)拋物線：（＞0）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，已知以為圓心，為半徑的圓交于，兩點(diǎn)。(Ⅰ)若，的面積為，求的值及圓的方程;(Ⅱ）若，，三點(diǎn)在同一條直線上，直線與平行，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到，距離的比值.【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線距離公式、線線平行等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力.【解析】設(shè)準(zhǔn)線于軸的焦點(diǎn)為E，圓F的半徑為，則｜FE|=，=,E是BD的中點(diǎn),（Ⅰ）∵，∴=,｜BD|=，設(shè)A（,），根據(jù)拋物線定義得，｜FA｜=，∵的面積為，∴===,解得=2,∴F（0,1）,FA｜=,∴圓F的方程為:；(Ⅱ)【解析1】∵，，三點(diǎn)在同一條直線上,∴是圓的直徑，,由拋物線定義知，∴，∴的斜率為或－,∴直線的方程為：，∴原點(diǎn)到直線的距離=，設(shè)直線的方程為：，代入得,,∵與只有一個(gè)公共點(diǎn),∴=，∴,∴直線的方程為：，∴原點(diǎn)到直線的距離=,∴坐標(biāo)原點(diǎn)到,距離的比值為3?！窘馕?】由對(duì)稱性設(shè)，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱得：得：,直線切點(diǎn)直線坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值為。9（2012山東理)（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F是拋物線C:x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過(guò)M,F，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為。(Ⅰ)求拋物線C的方程；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M？若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在,說(shuō)明理由；（Ⅲ）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，直線l：y=kx+與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B，l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D，E，求當(dāng)≤k≤2時(shí)，的最小值.解析：（Ⅰ)F拋物線C：x2=2py(p＞0)的焦點(diǎn)F，設(shè)M，，由題意可知，則點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，解得,于是拋物線C的方程為。(Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M，而，，，，，由可得，，則,即,解得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為.(Ⅲ）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)M，。由可得，設(shè),圓，，于是，令,設(shè),，當(dāng)時(shí),,即當(dāng)時(shí)。故當(dāng)時(shí)，。10（2012陜西文、理)（本小題滿分13分）已知橢圓,橢圓以的長(zhǎng)軸為短軸，且與有相同的離心率。（1）求橢圓的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓和上,,求直線的方程11。（2012天津理）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B,點(diǎn)P在橢圓上且異于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（Ⅰ）若直線AP與BP的斜率之積為,求橢圓的離心率；（Ⅱ）若|AP|=｜OA｜，證明直線OP的斜率k滿足12。(2012浙江文)（本題滿分14分）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(1，）到拋物線C：=2px（P＞0)的準(zhǔn)線的距離為。點(diǎn)M(t，1)是C上的定點(diǎn)，A，B是C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且線段AB被直線OM平分。（1)求p，t的值。（2）求△ABP面積的最大值?！久}意圖】本題主要考查了拋物線的幾何性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力。(1)由題意得，得。（2）設(shè),線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為由題意得，設(shè)直線AB的斜率為k（k）。由,得，得所以直線的方程為，即.由，整理得，所以，，.從而得，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，則，設(shè)ABP的面積為S，則.由，得.令，,則。設(shè),，則.由，得，所以,故ABP的面積的最大值為。13．（2012浙江理）（本小題滿分15分）如圖，橢圓C：(a＞b＞0）的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P（2，1）的距離為．不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分．（Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程．【解析】(Ⅰ)由題：;（1)左焦點(diǎn)(﹣c，0)到點(diǎn)P(2，1)的距離為:．(2）由（1)(2）可解得:．∴所求橢圓C的方程為：．（Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設(shè)A(xA，yA）,B（xB,yB),R(x0，y0)．其中y0＝x0．∵A,B在橢圓上，∴．設(shè)直線AB的方程為l：y＝﹣(m≠0）,代入橢圓：．顯然．∴﹣＜m＜且m≠0．由上又有：＝m，＝．∴｜AB｜＝||＝＝．∵點(diǎn)P（2，1)到直線l的距離為：．∴SABP＝d｜AB|＝｜m＋2｜，當(dāng)|m＋2|＝，即m＝﹣3orm＝0（舍去)時(shí),（SABP)max＝．此時(shí)直線l的方程y＝﹣．【答案】（Ⅰ)；(Ⅱ）y＝﹣．14.（2012重慶理)（本小題滿分12分（Ⅰ）小問(wèn)5分（Ⅱ）小問(wèn)7分）如圖,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左右焦點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)分別為，且△是面積為4的直角三角形.（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;（Ⅱ）過(guò)做直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使，求直線的方程20、解：設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點(diǎn)為。因是直角三角形，又，故為直角，因此，得。結(jié)合得，故，所以離心率。在中，，故由題設(shè)條件，得，從而。因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:（2）