專題13函數的概念及構成要素

專題13函數的概念及構成要素【考點清單】1、“函數的概念設集合是非空的數集，對于中的任意實數，按照確定的對應法則，都有唯一確定的實數值與它對應，則這種對應關系叫做集合上的一個函數．記作．其中，叫做自變量，自變量的取值范圍（數集）叫做這個函數的定義域；與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域．函數也常寫作函數或函數．2、同一函數的概念如果兩個函數的定義域相同，并且對應法則完全一致，我們就稱這兩個函數是同一函數．3、求函數定義域的原則:①用列表法表示的面數的定義域,是指表格中實數x的集合;用圖象法表示的面數的定文城,是指圖象在x軸上的投影所對應的實數的集合;當函數y=f(x)用解析法表示時，函數的定義城是指使解析式有意義的實數的集合，一般通過列不等式(組)求其解集。常見的限制條件有:分式的分母不等于0，對數的真數大于0，偶次根式下的被開方數大于或等于0等。②求抽象函數的定義域常用轉移法，若y=f(x)的定義域為（a,b），則解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定義域；若y=f(g(x))的定義城為(a，b），則求出g(x)在(a，b)上的值城，即得y=f(x)的定義域.4、復合函數的定義域①復合函數的概念：如果是的函數，記作，是的函數，記為，且的值域與的定義域的交集非空，則通過確定了是的函數，這時叫做的復合函數，其中叫做中間變量，叫做外層函數，叫做內層函數．②求解策略：1°括號等于括號。2°定義域永遠是x的取值范圍。5、求抽象函數的解析式①換元法②配湊法③待定系數法④方程組法【考向精析】考向一：函數的定義1．（多選）中文“函數.（function）”一詞，最早是由近代數學家李善蘭翻譯出來的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，即函數指一個量隨著另一個量的變化而變化，下列關于函數的命題正確的是（

）

A．與表示同一函數B．函數的定義域是C．已知函數，則在區(qū)間的值域為D．上圖所示的橢圓圖形可以表示某一個函數的圖像【答案】AC【分析】對于A，根據同一函數的定義即可判斷；對于B，求解定義域即可判斷；對于C，利用二次函數的性質即可判斷；對于D，根據函數的概念即可判斷.【詳解】對于A，與的定義域都為，且解析式一樣，所以與表示同一函數，A對；對于B，，解得且，所以函數的定義域是，B錯；對于C，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，又，所以在區(qū)間的值域為，C對；對于D，上圖所示的橢圓圖形不可以表示某一個函數的圖像，D錯.故選：AC2．（多選）下列四個圖象中，是函數圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【分析】根據函數的概念，逐項判定，即可求解.【詳解】由函數的定義可知，對任意的自變量，有唯一的值相對應，選項B中的圖像不是函數圖像，出現了一對多的情況，其中選項A、C、D皆符合函數的定義，可以表示是函數.故選：ACD3．（多選）歐拉公式（）被數學家們稱為“宇宙第一公式”.（其中無理數），如果記小數點后第位上的數字為，則是關于的函數，記為.設此函數定義域（）為，值域（）為，則關于此函數，下列說法正確的有（

）A． B．函數的圖像是一群孤立的點C．是的函數 D．【答案】ABD【分析】根據的定義可知A正確；由可知B正確；根據函數定義可知C錯誤；根據，可知D正確.【詳解】對于A，小數點后第位上的數字為，，A正確；對于B，，的圖像是一群孤立的點，B正確；對于C，由的值可知：當時，，不符合函數的定義，C錯誤；對于D，由題意知：；又，，D正確.故選：ABD.4．（多選）下列各組函數不是同一個函數的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】ABD【分析】從定義域和對應法則兩方面來判斷是否是同一函數.【詳解】對于A，的定義域是，的定義域是R，定義域不同，故不是同一函數，A錯；對于B，與的對應關系不同，故不是同一函數，B錯；對于C，經過化簡可知兩函數的解析式與定義域都一樣，所以為同一函數，C對；對于D，的定義域是，的定義域是，定義域不同，故不是同一函數，D錯.故選：ABD5．下列等量關系中，y是x的函數的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函數定義判斷各項正誤即可．【詳解】A：當時，不符合函數的定義，故錯誤；B：當時，不符合函數的定義，故錯誤；C：顯然任意都有唯一y值與之對應，滿足函數的定義，故正確；D：當時，不符合函數的定義，故錯誤．故選：C6．下列圖象中，表示函數關系的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數的概念即可求解.【詳解】根據函數的定義知，一個有唯一的對應，由圖象可看出，只有選項D的圖象滿足.故選：D.考向二：函數的定義域7．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合B中函數的定義域，得到集合B，再求.【詳解】函數有意義，則有，即，所以，又，所以.故選：D8．已知函數的定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據的定義域求出的定義域，從而可求解.【詳解】因為函數的定義域是，所以，所以,即的定義域為，所以，解得，即的定義域是.故選:C.9．若函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】定義域為的取值范圍，結合同一對應法則下括號內范圍相同，求出答案.【詳解】由題意得，故，故函數的定義域為.故選：D10．已知函數的值域是，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出的圖像，數形結合即可判斷出答案．【詳解】，畫出圖像，如圖所示，

令，則，解得或，令，則，解得（舍去）或，對于A：當時，結合圖像，得，故A錯誤；對于B：當時，結合圖像，得，故B錯誤；對于C：當時，結合圖像，得，故C錯誤；對于D：當時，結合圖像，得，故D正確；故選：D．11．設集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先分別求出集合，再根據交集的定義即可得解.【詳解】或，，所以.故選：B.12．已知函數的定義域為，則函數的定義域為______.【答案】【分析】結合抽象函數與具體函數定義域的求法，解不等式組即可得出答案.【詳解】因為的定義域為，要使有意義，則，解得，所以函數的定義域為.故答案為：考向三：由函數的定義域求參數范圍13．已知函數的定義域為，則實數的范圍________.【答案】【分析】利用函數定域為，將問題轉化成關于不等式的恒成立問題，從而求出實數的取值范圍，得出結果.【詳解】因為函數的定義域為，所恒成立，當時，恒成立，當時，則，解得，綜上所述，.故答案為：.14．已知函數的定義域為，且，則的取值范圍是_______．【答案】【分析】由，可知，解不等式即可.【詳解】由，可知，解得，故答案為：.考向四：求函數的解析式15．已知二次函數滿足，且的最大值是8，則此二次函數的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據條件設二次函數為，代入條件求解即可.【詳解】根據題意,由得:的對稱軸為，設二次函數為，因的最大值是8,所以,當時,，即二次函數，由得:,解得：，則二次函數，故選：A.16．已知函數，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用換元法令，運算求解即可.【詳解】令，則，且，則，可得，所以.故選：B.17．若，且，則______．【答案】1【分析】利用換元法求函數的解析式，再代入求.【詳解】設，，所以，即，，得.故答案為：118．寫出一個滿足：的函數解析式為______.【答案】【分析】賦值法得到，，求出函數解析式.【詳解】中，令，解得，令得，故，不妨設，滿足要求.故答案為：19．已知求的解析式【答案】【分析】令，運用換元法進行求解即可.【詳解】令，則，代入，得，即20．定義在R上的函數f(x)滿足，并且對任意實數x，y都有，求的解析式.【答案】【分析】對進行賦值，解方程求得的解析式.【詳解】對任意實數，，，令，得，即，又，所以.21．若函數滿足方程且，則：（1）___________；（2）___________．【答案】【分析】令可得；用替換，再解方程組可得答案.【詳解】令可得：，所以；由①得，②，聯立①②可得：.故答案為：①；②.【鞏固檢測】，，則下列圖象中，能表示從集合到集合的一個函數的是A．B．C．D．【解析】解：由題意可知函數的定義域為集合，值域為集合的子集，對于選項：函數圖像滿足定義域和值域的要求，且定義域內一個對應值域內唯一的一個值，所以選項正確，對于選項：函數圖像滿足定義域和值域的要求，但是當時，的值有2個，不符合函數的定義，故選項錯誤，對于選項：函數的定義域不符合題意，故選項錯誤，對于選項：函數的定義域不符合題意，故選項錯誤，故選：．2.（多選）中國清朝數學家李善蘭在1859年翻譯《代數學》中首次將“”譯做：“函數”，沿用至今，為什么這么翻譯，書中解釋說“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，1930年美國人給出了我們課本中所學的集合論的函數定義，已知集合，1，2，，，1，2，4，，給出下列四個對應法則，請由函數定義判斷，其中能構成從到的函數的是A． B． C． D．【解析】解：對于選項，，，故不能構成從到的函數；對于選項，，，故能構成從到的函數；對于選項，，，故不能構成從到的函數；對于選項，，，故能構成從到的函數；故選：．3.下列各組函數中，表示同一函數的是A． B． C． D．【解析】解：中，的定義域是，，的定義域是，，，不是同一函數；中，，，對應關系不同，不是同一函數；中，，，對應關系不同，不是同一函數；中，，，它們的定義域相同，對應關系也相同，是同一函數；故選：．的定義域為A．， B．，， C．，， D．，，【解析】解：由題意得：，解得：且，故選：．的定義域為A．，，B．， C．， D．，【解析】解：使得函數的表達式有意義，則且，解得，．故選：．的定義域為，則實數的取值范圍是A． B．， C．， D．【解析】解：的定義域是，則恒成立，即恒成立，則，解得，所以實數的取值范圍為，．故選：．的定義域為，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：函數的定義域為，對任意恒成立，當時，有，不合題意；當時，需要，即．實數的取值范圍是，．故選：．8.（2021秋?虎丘區(qū)校級月考）已知函數．（1）若函數的定義域為，求實數的取值范圍；（2）若函數在，上有意義，求實數的取值范圍．【解析】解：（1）根據題意得：在上恒成立，當時，不滿足題意，當時，有，解得．綜上，的取值范圍是，；（2）根據題意得在，上恒成立，令，當時，滿足題意；當時，，解得滿足題意；當時，對稱軸且，同時（1），此時滿足在，上恒成立，滿足題意．綜上，的取值范圍是，．在，上有定義，要使函數有定義，則的取值范圍為A． B． C． D．【解析】解：由條件得：即函數的定義域就是集合與的交集．（1）當時，，集合與的交集為空集，此時，函數沒有意義；（2）當時，，集合與的交集為，即函數的定義域為；（3）當時，，集合與的交集為，即函數的定義域為；（4）當時，，集合與的交集為空集，此時，函數沒有意義．要使函數有定義，故選：．1的定義域為，，則函數定義域為A．， B．， C． D．，【解析】解：的定義域為，，，解得：，故函數定義域為，，故選：．的定義域為，，則函數的定義域為A．， B．， C．， D．，【解析】解：函數的定義域為，，，解得：，故選：．的定義域為，則函數的定義域為A． B． C．，， D．，，【解析】解：函數的定義域為，，再由，得，即的定義域為，又，即．函數的定義域為，，．故選：．的定義域為，則函數的定義域為A． B． C． D．，【解析】解：函數的定義域為，，解得：，故選：．