江蘇省南通市如皋市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(一)數(shù)學(xué)試題含答案解析

2022-2023學(xué)年度高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（一）

數(shù)學(xué)

一、□□□.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知A=y=,9_彳2｝,3=｛*|3*_1〉0｝,且Au8=（-4,+功，則a=（）

A.-3B.-4C.-9D.-12

2.歐拉公式e0=cos8+isin。（其中e=2.718…,i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式建立

了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”根據(jù)歐拉公式，

下列結(jié)論中正確的是（）

A.e’"的實部為0B.e》在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限

cje、=lD.3"的共軌復(fù)數(shù)為1

3.已知等比數(shù)列｛4｝的前九項和為S“，且253,3怎,456成等差數(shù)列，則數(shù)列｛4｝的公比4=（）

A.1或B.—1或一

22

C.-1或2D.1或一2

4.若函數(shù)y="X）在x=5處取得極值，則稱無。是函數(shù)“X）的一個極值點.已知函數(shù)

y=sin（蛆+0）＞0）的最小正周期為24,且在［0,2句上有且僅有兩個零點和兩個極值點，則（P的值可

能是（）

冗冗71

A.乃B.---C.-D.---

322

5.某同學(xué)為班級設(shè)計一個班徽，他選擇從正八邊形中選取素材，如圖所示.若正八邊形的邊長為近厘米，則班

徽的面積（圖中陰影部分）為（）平方厘米.

A.4+3V2B.4-1-4V2c.7D.10

6.已知圓O:x2+y2=r2（r〉0）,A（_3,o）,8（6,O）,若對于圓。上的任意一點p,都有12而+麗卜3,則

正數(shù)「的取值為（）

A.lB.2C.3D.4

7.已知拋物線C:y2=i6x的焦點為尸，直線x—my—4=0（，〃€1i）與拋物線。交于43兩點，貝ij

|AF|+4忸F|的最小值是（）

A.40B.36C.28D.24

144（1

8.設(shè)。=—/=—ln—,c=21nsin—+cos—,則（）

333166）

\.b<a<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.函數(shù)”》）=尤3-3%2過點（3,0）的切線方程是（）

A.9元一y—27=0B.18x-y-54=0

C.6x-y-18=0D.y=0

10.已知數(shù)列I殳二34是公差為1的等差數(shù)列，且q=1,%=1,則下列說法正確的有（）

I%a“J2

1

A.a、

B.存在等差數(shù)列也｝,使得其前〃項和S.=J

C.存在等差數(shù)列｛c“｝，使得其前n項和（=J-1

D.對任意的nGN',0<<1

11.已知圓/：f+y2—2y=0,拋物線C:%2=4y,過圓心廠的直線/與兩曲線的四個交點自左向右依次記

為P,M,N,Q,若構(gòu)成等差數(shù)列，則直線/的方程可能是（）

A.x-y+1=08?x+y-l=0

Cx-4+收=0D.x+。-應(yīng)=0

31

12.已知sinl00=a，則,2/z---的值用。可以表示為()

sin-40cos40

8。+44a+2

A.-------B.........-C.16aD.32Q

l-a2l-a2

三、填空□:本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知府為單位向量，且G，B)=60°,^c=3a-2b＞則cos僅?=.

14.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是西，運，若ZZ2=Z；,則復(fù)數(shù)z=.

15.已知雙曲線C:》2—2產(chǎn)=1的左、右口點分□□A3,點p(x,y)是曲線C在第一象限內(nèi)圖象上一點，則

上+上的取值范圍為.

x-lX+1

16.對任意的xe[l,+”)，不等式ae"?Inx恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為.

四、解答□:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、□明□程或演算步□.

17.(10分)在口48c中，角的對邊分別為a,"c.已知，一=一旦—.

cosAcosB+cosC

(1)求角A的大小；

(2)若。為線段延長線上一點，且=求sin/ACD.

18.（12分）在條件：①s“=）包+。（2+2）；②6=1且35,,=（〃+2）%；③5=1且〃S,M=（〃+3）S,中

6

任選一個，補充在橫線上，并求解下面問題：已知數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S”

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

（2）數(shù)列的前九項和為7；,求Z,

19.（12分）已知雙曲線C:5—g=l（a>0,0>0）,0為坐標(biāo)原點，離心率e=2,點M（加,G）在雙曲線

。上

（1）求雙曲線C的方程；

（2）如圖，若斜率為半的直線/過雙曲線的左焦點，分別交雙曲線于P,。兩點，求麗?麗的值，并求

出口P。。外接圓的方程

20.（12分）如圖，長方形ABC。紙片的長A8為3+4，將矩形A5CO沿折痕ERG”翻折，使得A,B兩

點均落于。C邊上的點P,若EG=Ji,NEPG=e.

（1）當(dāng)sin28=-sin?時，求長方形寬AD的長度；

（2）當(dāng)，時，求長方形寬AO的最大值.

22

21.（12分）已知橢圓C：二+21=1的左，右頂點分別為A3,右焦點為F,點P是挪圓C

43

上一動點（異于AB）點p關(guān)于原點的對稱點為Q，連接AP,QF并延長交于點M連接PF并延長交橢圓C

于點N,記口口AFN面積分別為Ed2

,3、S

（1）當(dāng)P點坐標(biāo)為-1,不時，求三1"的值;

I2）>

（2）是否存在點P，使得$=6S2若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

22.（12分）已知函數(shù)/（x）=2asinx-ei+lj'（x）是/卜）的導(dǎo)函數(shù),且/（2）=0

（1）判斷了（x）在（0,萬）上的單調(diào)性，并說明理由；

（2）判斷函數(shù)“X）在[（2A+1）肛（2Z+2）句（AGN*）內(nèi)的零點個數(shù)，并說明理由.

2022-2023學(xué)年度高三年級第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（一）

數(shù)學(xué)-答案

一、□□□.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.【答案】D

【解析】A={x|—3<xK3},B=[x|x>]},Au8=（—4,+e）,.?.g=—4,

.?.。=-12,選口.

2.【答案】C

【解析】d"=cos乃+isin;r=—1，實部為一1，A錯;

=cos2+isin2,（cos2,sin2）位于第二象限，B錯;

"1=Jcos￥isin2萬=1,C對，選C.

3.【答案】A

【解析】2邑,335,456成等差數(shù)列,

+%）=+生+出+/+%+%

6s5=2s3+4S66（q+4+%+42（q+g）+4（q+4）

/.6%+6%=4a4+4%+4%,?t4&一2%-2%=0,/.2q?-q-\=0

一.q=1或一;，選A

4.【答案】B

27r

【解析】T=一=2匹0=1,/（x）=sin（x+夕）

（0

對于A,夕="時/⑴=-sinx在［0,2句有三個零點不滿足條件

對于C,時〃x）=cosx在［0,2句有且僅有兩個零點，有三個極值點，不選，

同理。也不選，選By=w時，/（x）=sinx+可在［0,2句有且僅有兩個零點：左，丁有且僅有兩個極

JI7

值點2二%滿足，選B.

66

5.【答案】A

【解析】如圖，ZB=ZD=\35\S=S=-x42xy［2x—=—

/AimI!CCDP222

靖=C￡；2=2+2—2.在目―#）=4+2"S：ACE=；（4+2&）=0+2,

.?.S=VI+2+2x也+夜+2=3拒+4,選A.

2

AE

BD

6.【答案】A

【解析】P（x,y）,2萬+而=（―3羽—3y）,12西+叫=3商+/=3.=3,.」=1,

選A.

7.【答案】B

【解析】拋物線的焦點F（4,0）在直線x—加），-4=0上,

1121112

-----1-----——--（結(jié)論：A3為拋物線的焦點弦，——+—為定值一）

AFBFp4AFBFp

4444

--------1--------=1,；.AF+4BF(AF+4BF)--------1--------

AFBFAFBF

4AF16BF/—

=4+——+-------+16220+2洞=36,，(4尸+43?)3=36,選8.

BFAF111

8.【答案】B

【解析】法一：若x=*a=九-1,。=xlnr,令/a)=xlor-(x-l)

廣(力=山+1_1=0/=1,〃力在(1,+8)口,/(%)>/(1)=0

4411<11

z.-ln->-,即b>。，比較。與。的大小，先比較一與Insin:+cos;

3336166

若x=',In卜in'+cosj=ln(siru:+cosx)

cosx-siru-2sinx

令g(x)=ln(sinx+cosx)-x,gx(x)---------------1

sinx+cosjcsin%+cos%

<0,c<a,.\c<a<h選B.

時g'(x)<0，g(x)口，gI!)f

法二：秒殺

,f.11Y.f,.1).ii

c=Insin+cos=In1+sin<sin<-a,:.c<a

I66)I3)33

1444/3、1

另一方面由尤〉0時，lnr>l——=>/?=-ln->-x1——\=-=a=>b>a,

x33313

:.c<a<b,選B.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.【答案】AD

,2

【解析】切點(后,x；-3%o),/(x)=3x-6x,k=3年-6x0

切線y-（X；-3片）=（3*一6%）（.x-Xo)過(3,0)，

T+3%=（3%o-6x）（3-x）

00x0=0或3,冗=0時切線丁=0,選。

x=3時切線9元-y-27=0,選A,?,?選AD

10.【答案】ACD

1--r

一CLi

【解析】皿=產(chǎn)=匕％一組是以1為首項1為公差的等差數(shù)列

?2?11x1，%+山〃J

2

..._ann——-a四..=匕，即--1------1=n

an+\a?an+la?

,11,

-----=1

a2q

11c11,c

------=2,-------=]+2+,??+H-1

<?3?24q

11,

-------=n-1

a?

11.+1n(n-l)〃2一〃+22

—=--1--------------=---1-

an42q22〃-〃+2

等差數(shù)列的前n項和S“=An2+Bn^—,B錯.

an

，—1=2,數(shù)列｛〃-1｝是等差數(shù)列且前〃項和為7；=J-1,C對.

,2

〃N1,一〃+222,0<-......<1,。對.

一〃+2

11.【答案】CD

【解析】PM+NQ=2MN=4,PF—\+QF—1=4,，PF+QF=6

令尸（石,弘）,。（乙,%），；?M+1+%+1=6,...3+y2=4

對于A,B,乂+必=6不滿足；對于C,D,乂+必=4滿足條件，選C。

12.【答案】AD

3________1____3cos2400-sin240°

【解析】法一:

城協(xié)一府40°-sin240°cos240°

11+38。。）-；（1*80。）4+8c°s80。

過洋，選A,不選B

2

-sin800cos2100\-a~

4

由選項知C￡)中選。，選4D.

_3__________1_______6_________2_

法二：原式一1一cos行-1+COS807-1—sinio°―l+sinio°

F2^

6+6sinl0°-2+2sinl0°4+8sinl（K4+8。

，A正確，8錯;

（l-sinl00）（l+sinl0°）l-sin210°1-a2

sin30°=sin（3x10°）=3sinl00-4sin314*00=1,.\3a-4a3=；

6?_8/=1,.??士雪=駒巴+8〃=3劌=2)=32a,。正確，c錯.

1-a1-a"］一礦

選：AD.

三、填空□:本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.【答案】2①

7

【解析】a-c^a(3a-2b^3a2-2a-b^3-2xlx-^2

歷/-E\_ac_2_277

6'儂("/)=麗=下=亍

14.【答案】l-2i

【解析】Z]=2+i,z2=—1+2i,zz,—Zyz-—-1—2i

Z2

15.

【答案】(&,+8)

士二%，七=3/加=內(nèi)=3

【解析】

令kph=m,則kpB上+—

2mx-1x+12m

??,漸近線的斜率m>,?.-^—+-^—>y[2

22x-\x+1

.?.二-+」-的取值范圍+8).

X-]X+1\'

16.【答案】：，+8)

【解析】ae">Inr恒成立，axe">xlwc恒成立

令力(x)=xlnx,x>=Inx+1>0,//(x)在[1,+8)□

(x),eax2%,即ox2Inx,a>

x

/、liu“、1-lnr

g(x)=——，g(無)=—―=0,x=e

XX

g(x)在(l,e)口，(e,+e)口,^Wmax=1,.-.a>1.

四、解答□:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、口明口程或演算步□.

17.【解析】

,、sinAsinB+sinC

(1)------=---------------,z.sinAcosB+sinAcosC=sinBcosA+sinCcosA

cosAcosB+cosC

=>sinAcosB-cosAsinB=sinCcosA-cosCsiM

sin(A—3)=sin(C—A),/.A—3+C—A=或A—3=C—A=B+C=2A或C—8="(舍去

),7i—A=2AA.=—

(2)法一：設(shè)NAC3二。

CDAC

在口AC。中，0泊萬一.(口乃、，①

sin—sin0——

6I6)

BCAC

在口ACB中，")，②

sin—sin0+Q

3I3)

csin\0|rr

①=2I3a

②.仁吟2

sin0——

I6j

1?A百A

-sinJ+「cos，

.22tan。=3M.sine==>sinZACD=

且sin6」cos。1414

22

ABBC

法二：設(shè)/ACB=e,在口43c中，而？=.兀,①

sin一

3

ABBD

在口中，.(左、一°；,、)，②

sin0Q——sin—

I6j2

csin(6-%],or—

①I6J4na/7,.n3V21..

---------------------=—T=tan。=3。3,??sin。=-----=sin^zfACD

②sin。3614

18.【解析】

(1)若選①，由s=〃(〃+1)5+2),①

"6

,(n-\\n(n+\\…

〃N2時，S——U——L,②

"T6

G—3〃("+1)+\

①一②=a=——L=——\n>2)

n62

而q=S]=1也滿足上式，；.an="(；+l)

12111、

(2)此時一=-^---^=2----------,

ann^n+i)[〃n+l)

十工11111In

(223nn+lJn+l

若選②，3SS.=(〃+2”“,①

〃22時，3s〃-l=(7?+l)a.T，②

①一②=>3%=(〃+2”“一(〃+1”“_|=>(?-1)??=(/?+!)??_1

a,.n+l

=-!!-=-(-〃--2)

《i〃T

a345tt+l

nI?????以下同上.

123n-12

若選③，〃a“+[=3S“①

〃22時，(〃-l)a“=3S._i，②

①一②n〃a“+i-(〃一l)a“=3a〃=>〃%+]=(/z+2)a?(/?>2)

〃=1時由①知a2=3q也滿足上式，,nan+l=(n+2)a“，同②

19.【解析】

￡=2

a

a=1

23?

(1)由題意知＜----------1ZI><

a1h2b=6,雙曲線C的方程為:%2

Q-2+〃i-2=C"23

V15°

x=----y-2J524厲A

（2）設(shè)尸（石,乂）,。（々,必），,3=>3-y-y+42=3

J

3x2—y2=3

n4y2-4厲y+9=(),△=16x15—16x9=16x6=96

\

OPOQ=xx+yy2

t2}2y一y2~+

7

8

M+必)+4=VF^+4=0

3+無2y+%

OP-0Q=0,OPJ_0Q,POQ外接圓圓心為而

2'2

"A考二詈考考一2二9.外接圓圓心為

直徑為|PQ|,|PQlli+?|xfl

4,.'.半徑r=2

：npoQ外接圓的方程為=4

20.【解析】

I2)

(1)當(dāng)sin26=-sin。時，2sin6cos。=-sin^=>cos。=——,0=——

23

?/EG=不,設(shè)PE=AE=x,PG=BG=y,x+y=3,①

x2+y2-2xy-7=/+丁+孫=7,②

①2一②n孫=2,二.S,、PEG=~-\y,sin=二?近.AD=AD==—―

232177

(2)在口PEG中，PE=AE=x,PG=BG=y,x+y=3Q)

x2+y2-2xycos。=7②

?2sm紇。s?tan"

1

q；xysin。=2?"A。=>A。sing22__2

°PEG仞…曠凡+2叱丁而

c八/4八。萬八八、1近

?「0<6<—,...()<—W—,0<tan—<1,(AZ))——產(chǎn)——

2242maxb7

21?【解析】

（i）當(dāng)p?卜寸,

&=、ME=2,尸(1,0)

MF32V'

33

即方程：y=—a(x—])

34

y=——(x-l)=>x=——y+1J1628八)2…

<433—y—y+1+4y=12

3x2+4y2=12193)

282Q…279

y-8y-9=0,.-.yp-yN=--=>yw=

JZo14

914

S|_Xw.=-x—=7.

29

5yN

x+2

(2)設(shè)P(/，%)，，。(一/,-A。方程：x^-^—y-2

%

x=-%+2y-2G

。產(chǎn)方程：x=匕％y+l,<,°=>%=3%

%片上Ey+1

I%

PM方程：x=%」y+l,

為

x=—X。——-1y+1>2+2(%-1))+]