
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文檔簡介
2022-2023學(xué)年秋學(xué)期高三年級第一次月度檢測試卷
數(shù)學(xué)學(xué)科試卷
一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每題5分,共40分)
1.已知集合4={1,2,3},8=―40,xez},則478=()
A.{1.2}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.(0,1,2)
【答案】C
【解析】
【分析】
化簡集合B,利用并集概念及運(yùn)算即可得到結(jié)果.
【詳解】
由題意可得:8={x|140,xez}={l,2}
又4={1,2,3}
A^JB={1,2,3}
故選:C
2.已知復(fù)數(shù)z的共挽復(fù)數(shù)彳=211,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()
3-1
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
【丁農(nóng)】D
【解析】
【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算后根據(jù)共挽復(fù)數(shù)概念得z,再由幾何意義得對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo),從
而得結(jié)論.
2+i(2+i)(3+i)5+5i11.11
【詳解】?]<幺?=-^=丁+;】,故2=L-上〃在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)
3-1(3-i)(3+i)102222
為位于第四象限.
故選:D.
3.某圓錐體枳為1,用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到?個(gè)圓臺(tái),若網(wǎng)臺(tái)上底面和
下底面半徑之比為:,則該圓臺(tái)體積為()
A.-B.-C.jD.—
8422
【:一】A
【解析】
【分析】設(shè)小錐體的底面半徑為『,大錐體的底面半徑為2,?,小錐體的高為6,大錐體的
高為為2〃,通過表示大網(wǎng)錐和小圓錐體積,作差可得圓臺(tái)體積.
【詳解】設(shè)小錐體的底面半徑為『,大錐體的底面半徑為2r,小錐體的高為〃,大錐體的
高為為2〃,
則大圓錐的體積即為1萬(2r)2lh=1,整理得1萬八?/?=,,
338
即小圓錐的體積為4
8
17
所以該園臺(tái)體積為1一-=±
88
故選:A.
4.埃拉托斯特尼是古希臘亞歷山大時(shí)期著名的地理學(xué)家,他城出名的工作是計(jì)算了地球(大
圓)的周長.如圖,在賽伊尼,夏至那天中午的太陽幾乎正在天頂方向(這是從日光直射進(jìn)
該處一井內(nèi)而得到證明的).同時(shí)在亞歷山大城(該處與賽伊尼幾乎在同一子午線上),其天
頂方向與太陽光線的夾角測得為7.2.因太陽距離地球很遠(yuǎn),故可把太陽光線看成是平行的.
埃拉托斯特尼從商隊(duì)那里知道兩個(gè)城市間的實(shí)際距離大概是5000斯塔蒂亞,按埃及的長度
算,1斯塔蒂亞等于157.5米,則埃拉托斯特尼所測得地球的周長約為()
亞歷山大城
41200千米D.42192千米
[1B
【解析】
【分析】由題意可將賽伊尼和非歷山大城之間的距離看作圓心角為7.2的扇形的弧長,由
此可計(jì)算地球半徑,進(jìn)而求得地球周長.
【詳解】由題意可知,賽伊尼和亞歷山大城之間的距離可看作圓心角為7.2的扇形的弧長,
72
設(shè)地球半徑為r,則5000x157.5=上兀-八
180
1on
地球周長為2^=2x5000x157.5x——=39375000(米)=39375(千米),
7.2
故選:B.
5.已知等比數(shù)列{““}的前”項(xiàng)和為S",若S=4,$6=12,則用=
A.32B.28C.48D.60
答案D
6.在三梭錐P-48C中,A/IBC是邊長為2的正三角形,PA=PB=PC,E,尸分別是4,
/1B的中點(diǎn),且CELE/L則三棱錐P-48c外接球的表面積為()
A.6冗B.12”C.24乃D.36”
【答案】A
【分析】
取/JC中點(diǎn)。,連接也、80,根據(jù)線面垂宜的判定定理,可證,CJ.平面以過,即可得
P8J-/C,結(jié)合題意,根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)定理,可證同理P3J.PC,
將尸-亞補(bǔ)成一個(gè)正方體,根據(jù)條件,求得正方體邊長,根據(jù)正方體體對角線為外接球直
徑,即可求得外接球半徑r,即可得答案.
【詳解】
取4C中點(diǎn)。,連接P0、BQ,如圖所示
因?yàn)槲?PC,0為/C中點(diǎn),
所以FQL/C,
又A/8C是正三角形,
所以801./1C,
又戶。080=。,PQ,8Qu平面8PQ,
所以4CJ.平面BPQ,乂P8u平面BPQ,
所以尸81/C,
因?yàn)镋,尸分別是4,48的中點(diǎn)
所以EF為AP48'11位線,所以EF//PB
又因?yàn)镋F_LCE,所以P8_LCE,且CECMC=C,AC,CEu平面P/1C
所以戶8_L平面PAC,
所以PBJ.PH,同,PS1PC.
則R4,PB,PC兩兩垂克
如圖將尸-3C補(bǔ)成一個(gè)正方體,如圖所示,
由題意得:AB=AC=BC=2,則P,=PB=PC=e,
又正方體的體對角線為外接球的直徑,
所以外接球半徑〃=匝y+g2+曲?=旦,
22
所以S=4/rr2=6萬,
故選:A.
【點(diǎn)睛】
解題的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直的判定、性質(zhì)定理,并靈活應(yīng)用,對于側(cè)楂兩兩垂宜的三棱
錐,外接球即為所在正方體的外接球,考杳空間想象能力,屬中檔題.
7.如圖,在矩形48CZ)中,AC,8。相交于點(diǎn)O,BFA.AC,DHLAC,AELBD,
CG1BD,BE^——BO^則麗=()
2
B.士正B1+匕反而
210
C.與加察更D.土蟲拓+正前
25
【;*案】D
【解析】
【分析】利用平面向盤的線性運(yùn)算和平面向城基本定理即可求解.
【詳解】解::礪=叵1■方。,顯然BE=DG,BO=OD=~BD,
,BF=BA+AF=BA+^Ad=BA+^(Bd-BA)=^^BA+^-Bd,
2222
,麗=泊"+立方6,
25
故選:D.
8.設(shè)。二e。02-1,力=2(e°"-1),c=sin().01+tan0.01,則()
A.a>b>cB.a>c>b
C.c>a>bD.b>c>a
【答案】A
【解析】
【詳解】
因?yàn)椤ㄒ?=6。°2—26°°1+1=卜°3—1)2>0,所以。>6.
設(shè)/(x)=2(ex-l)-sinx-tanx,
則/'(x)=2ex-cosx------,
cosx
A/\\ntl〃、、r2sinA;
令g(x)=/(x),則g(x)=2ec+smx-----廠.
COS"X
山(八兀\一八2sinx2sin68G
當(dāng)xe0,丁卜忖,2cx>2,sinv>o,----—<-------=-7--<2,
k6Jcos'cos3n9
6
所以g'(x)>o,所以當(dāng)T??倳r(shí),/'(x)>/'(0)=0,
所以/(x)在xw(o*)上單調(diào)遞增,
從而/(x)>/(0)=0,
因此〃0?01)>。即6>c.
綜上可得"6>c.
故選:A
二、多項(xiàng)選擇題(共4小題,每題5分,全部選對得5分,部分選對得2分,共
20分)
9.設(shè)更數(shù)ZI=v/5+i,z2=x+yi(x,yeR),4名對應(yīng)的向量分別為OZ;,QZ;(。為坐標(biāo)原
點(diǎn)),則()
A.IZ||=2B.若0Z;〃QZ;,則Gx+y=O
C.若0Z;J_OZ;,則ZR=OD.若匕+zpG,則|z「2i|的最大值為3后
【答案】AD
I解析】
【分析】
對A,根據(jù)模長公式求解即可:
對B,根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式求解即可:
對C,根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式求解x,>的關(guān)系,再求解ZR即可;
對D,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合求解即可
10.已知函數(shù)/(x)=2sin(0x+?[(0>O),則下列說法正確的是()
A.若函數(shù)/(x)的最小正周期為萬,則其圖象關(guān)于直線x=;對稱
O
C.若函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,小上單調(diào)遞增,則0的最大值為2
D.若函數(shù)/(x)在[0、2司有且僅有5個(gè)零點(diǎn),則。的取值范圍是好(年
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根據(jù)最小正周期可以計(jì)算出0,便可求出對稱軸和對稱點(diǎn),可判斷A、B選項(xiàng):根據(jù)正弦型
函數(shù)的單調(diào)性可以推出。的值,可判斷C選項(xiàng):根據(jù)零點(diǎn)情況可以求出。的取值范圍,可
判斷D選項(xiàng).
【詳解】
A選項(xiàng):./(x)的最小正周期為萬
Csin(2-*+q)=及sing=及,故A正確:
B選項(xiàng):???/(、)的最小正周期為期
.-./W=V2sin^2.^+^=V2sin|=x/2^0,故B錯(cuò)誤;
「>u.5r;八KK7t7tJT
C儂項(xiàng)1:0<x<一/.一<ox+—<—。+—
84484
又函數(shù)/(X)在((),*)上單調(diào)遞增
nn,汽
:,—0+—W—
842
:.a)<2t故C正確;
D選項(xiàng):'.ex€[0,2n\O)X+—G—,2^tw+—
4L44
又/(x)在[0,2句有且僅有5個(gè)零點(diǎn),則54?29+£<6耳.?.:4切<勺,故D正確.
488
故選:ACD
11.如圖,在三棱錐力-8C0中,48JL平面8C。,8cl.cD,B£JLXC,E為垂足點(diǎn),F(xiàn)為BD
中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()
A.若4c的長為定值,則該三楂錐內(nèi)切球的半徑也為定值
B.若/。的長為定值,則該二棱錐外接球的半徑也為定值
C.若8。的長為定值,則£尸的長也為定值
D.若CO的長為定值,則前.C力的值也為定值
【答案】BCD
【解析】
I分析】
對于A,將三楂錐補(bǔ)形成長方體,易知該三棱錐的外接球即為長方體的外接球,為外接
球的直徑,即可判斷;對于B,假設(shè)內(nèi)切球的球心為。,通過圖形特征假設(shè)兩種情況,保持/C
的長樣,求出各自情況的內(nèi)切球的半徑即可判斷;對于C和D,建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)
行向量的坐標(biāo)運(yùn)算,即可判斷
【詳解】
解:對于A.將三棱錐補(bǔ)形成長方體,易知該三極錐的外接球即為長方體的外接球,
所以為外接球的直徑2&,所以該三極錐外接球的半徑也為定值,故正確;
對于B.因?yàn)?61.平面BCD,CD,BDu平面BCD,所以ZB_LCD,AB±BD,
因?yàn)?C_LCD,BCc48=43C,48u平面ABC,所以8_L平面,/C,
因?yàn)椋珻u平面,48C,所以CO_L/C,
假設(shè)內(nèi)切球的球心為O,第一種情況不妨假設(shè)4C=5,AB=3、BC=4,CD=4,8。=4及,此時(shí)
內(nèi)切球的半徑為不根據(jù)/Ie=^O-MC+^O-ABD++K)-BCU>
即3*S.BCOxAB=xr\+S",。xz;+5x5,48xr\+§*S*acax(>
—x4x4x3=ix3x4x/j+^-x3x4'72xz;+^x5x4x^+yx4x4x/^,
解得a=上箸;
第二種情況不妨假設(shè)力C=5/8=3,BC=4,CD=3,BD=5,此時(shí)內(nèi)切球的半徑為々,根據(jù)
^A-HCD=ABC+%-.他)+匕)-心)+^O-BCD>
即JXS*BCDX4B=—XS'ABCX弓+5xSAABDX&+5XS“CD'G+§*SABCDX弓,
—x4x3x3=-x3x4xn+—x3x5xr,+—x5x3x>\+--x4x3xn
222222222
2
解得4=(,綜上所述,當(dāng)/C的長為定值,三棱錐內(nèi)切球的半徑不為定值,故錯(cuò)誤;
對于C和D,以C點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,
假設(shè)"=2c,8c=2b,CD=2a,則忸。|=《⑻+(2”=2V7+F,
C(0,0,0)M(0,242c),B(0,2b,0),D(2a,0,0),尸(。4,0),則B=(0,2b,2c),
因?yàn)镋在XC上,所以設(shè)E((),£-2b,h2c),則布=(O,(0l)3,h2c)
因?yàn)?E14C,所以
所以豆瓦5j=(A_l)(%y+M2c)2=0,解得
b~+/
所以的,羔高
一(b(c2-/>2)乃21一/
所以"a,4_,CD=2^0,0),
b~+cb+c
\/
則府卜卜+筆察彳-晶[="彳號(hào)|到,EFCD=2a^
所以當(dāng)8。的長為定值時(shí),EF的長也為定值:當(dāng)C。的長為定值,則前.函的值也為定值,
故C,D正確,
故選:BCD
12.設(shè)“eV,正項(xiàng)數(shù)列區(qū)}滿足&e(0,l),.qX,“-x/nx,=l,下列說法正確的有()
A.A為上}中的最小項(xiàng)
B.4為卜,}中的最大項(xiàng)
C.存在w“OJ),使得如2,三成等差數(shù)列
D.存在占e(0.1),"eN,,使得%x““,x,“2成等差數(shù)列
【答案】AB
【解析】
【分析】
由=1可得當(dāng)“=’+lnx,,,故構(gòu)造/(x)=L+lnx,利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性,
XnX
不難發(fā)現(xiàn)巧是最小的項(xiàng);在構(gòu)造g(*)=/(x)-x=g+lnx-x,為了比較4之后每一項(xiàng)與前
一項(xiàng)的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)演是最大的項(xiàng),易得BCD選項(xiàng)的對與錯(cuò)
【詳解】
解:由毛鵬“一玉/乙=1可得%.產(chǎn)一+lnx”
Xn
令/(x)=-+Inx,f\x)=—r-*—=—5-
xx~XX
當(dāng)x?.l/(x)>0,/(幻遞增:
當(dāng)XV1J(X)VO,/(X)遞減
且/(I)=l+lnl=/(x).J
「Xiw(0,1),.?.,=/(』)>1,勺=/(電)>1,L二芭是最小的項(xiàng):
所以A正確
令g(x)=/(JV)-X=—+lnx-x,x.J
X
,,、11i—12+工—1
g(x)=--r+-1=------2—<0,
XXX
在區(qū)間內(nèi)遞減,即即&<.
???g(N)g(x1,0,.,.X.-x2<0.q<x2;xA-x3<0
所以,綜上所述,々是最大的項(xiàng),所以B正確,
由于王是最小的項(xiàng),%是最大的項(xiàng),則不可能使得芭,與小3成等差數(shù)列,故C錯(cuò)誤;
由C知,陽戶2肉不成等差數(shù)列,當(dāng)〃?2時(shí),
因?yàn)樗詆(x“+J>g(x“),則」一一ln/一怎,
Xn
Xf-xQ.y,所以不存在*x“.i,5.2成等差數(shù)列,故D錯(cuò)誤
故選:AB
三、填空題
13.過點(diǎn)(1,2)作直線3x+4歹-25二0的垂線,則垂線方程為.
答案:y=-x+-
33
41
14.已知a+2力=1(a,6>0)?則----+;的最小值為
a+bb
【答案】9
【解析】
【分析】
根據(jù)a+2b=l,利用"V的代換,將,47+:1轉(zhuǎn)化為
a+bb
---7+7=+/(Q+6+6)=5+--I---?利用基本不等式求解.
a+bh\a+bb)a+bb
【詳解】
因?yàn)閍+2b=l,
所以a+b+6=1,
LUI、I4I(41Y,-4ba+b__/4ba+b.
所以---+—=----+—(a+b+6)=5+----+----25+2J----------=9,
a+bb(a+bb)a+bbNa+bb
當(dāng)且僅當(dāng)々=坐,即a="=!時(shí),取等號(hào).
a+bh33
所以一4二+;I的最小值為9.
a+hb
故答案為:9
15.將函數(shù)y=3sin(2x+J)的圖象向右平移3個(gè)單位長度,則平移后的圖象中與y軸最近的
46
對稱軸的方程是▲.
c7t7t...7、7兀k,7T..7、
2x.......——卜k兀(kGZ)x—------1------(kwZ)
122242
當(dāng)%=-1時(shí)x=一把.
24
故答案為:x=———
24
16.已知〃x)是定義域?yàn)镽的函數(shù),/。-2)為奇函數(shù),/(2%-1)為偶函數(shù),則
16
£/(n=—.
[?;-?]0
【解析】
【分析】依題意可得/(X)關(guān)于直線x=-l對稱、關(guān)于點(diǎn)(-2,0)時(shí)稱且時(shí)周期為4的周期
函數(shù),再求出/。)+/(3)=0、/(2)+/(4)=0,即可得解.
【詳解】解:因?yàn)?(2x-l)為偶函數(shù),所以/(-2x-l)=/(2x-l),所以
/(-x-l)=/(x-l),ap/(-x-2)=/(x),則/(x)關(guān)于直線X=-1對稱,
因?yàn)?(x-2)為奇函數(shù),所以/(x-2)=-/(-x-2),所以/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-2,0)對
稱,
所以/(x-2)=-/(-x-2)=-/(x),則/(x-4)=-/(x-2)=/(x),所以/(x)是
周期為4的周期函數(shù),
由/(x-2)=_/(-x_2)=_/(4-x-2)=-/(2-x),即=,所以/(x)
為奇函數(shù),
又/(X)是定義域?yàn)镽的函數(shù),所以/(o)=o,
在/(x-2)=-/(x)中,令x=-l,所以/(-3)=-/(-1)=."1)=-〃3),
所以/0)+/(3)=0,
在〃x-2)=/(-x)中,令x=-2,所以/(-4)=/(2)=-/(4),
所以/(2)+/(4)=0,
所以/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=0,
16
所以Z/⑺=/(°)+4[/⑴+/(2)+〃3)+/(4)]=0.
/=0
故答案為:0
17.(本題滿分10分)
已知直線(l-a)x+(l+")N+3a-3=0(aeR).
(1)求證;直線經(jīng)過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)P:
(2)經(jīng)過點(diǎn)P有一條直線/,它夾在兩條直線4:2x-y-2=O與/2:x+y+3=O之間的線段恰
被P平分,求直線/的方程.
17.(1)證明:將直線/的方程改寫為(-x+y+3”+(x+j-3)=0,
令-x+y+3=0,且x+y-3=0,
兩式聯(lián)立,解得x=3,N=0,
所以直線過定點(diǎn)尸(3,0).
(2)設(shè)直線/夾在直線4,右之間的部分是且被尸(3,0)平分,
設(shè)點(diǎn)X,B的坐標(biāo)分別是(公,yj,(x2,yj,
則有為+3=6,必+必=0,
又8兩點(diǎn)分別在直線總%上,
所以2為一必-2=0,電+必+3=0,
由以上四個(gè)式子解得X,*,M=與,
所以直線48的方程為8x-y-24=o.
18.(本題滿分12分)
已知向ift?=,h=(sinx,cosx)>f(x)=a?b.
2cos2-sin/7-1
2
若求的值;
(1)/(e)=o,V^sin(e+
⑵當(dāng)xw[O/]時(shí),求函數(shù)/*)的值域.
18、(1)因?yàn)?=(1,—6),b=(sinx,cos.r)>
所以/(.r)=?-^=sinx-V3cosx?因?yàn)?⑻=。,
所以sin。一百cos0=O,所以tan0=\^..................................................................................2分
28st-sin〃-lcosO-sin。
___________1-tan,_"百__2+G
所以6分
&sin|e+:sinO+cos0-tan/9+1-\[^+\
(2)/(.V)=sinx->/3cosx=2sin^x-yj,......................................8分
因?yàn)閤e[0,/r],所以4一梟-py
當(dāng)?shù)兑唬?一(,即x=0時(shí),/(x)取最小值一百;
當(dāng)耳囁即X哼時(shí),制取最大值2.
所以當(dāng)xw[0"]時(shí),函數(shù)/(x)的值域?yàn)閇-6,2]............................................12分
19.(本題滿分12分)
在A4SC中,角48,C的對邊分別為a,6,c,且a-bcosC=JJcsin8.
⑴求8;
(2)若a=2,且為銳角三角形,求A/l8c的面積S的取值范圍.
19.(1)解::a-bcosC=V5csin8,
ill正弦定理可得:sinA=V3sinCsin8+sin8cosc,
又;sinA=sin(8+C)=sin8cosC+cosAsinC,
?*.V3sinCsin8+sinBcosC=sinBcosC+cosBsinC,即:GsinCsinB=sinCcosB.
■:B,Ce(0,^)?smC#0,
;.tanB金,即8=£
36
B=-
6
(2)解:AABC為銳角三角形,所以■OvCv],解得
0<----C<—
62
2b_c
由正弦定理得,-———,即.,5r、J_sinC?
smAsmCsm(-^-C)
62
sinC
1~,
-cosC+——sinC
22
1IG
2tanC2
/tanC>tany=V5,
士r哈咨
2tanC2
的面積S的取值范圍為
20已知數(shù)列{/}滿足
?,=1,%=;,[3+(-1)"K(,-2a?+2[(-1)"-1]=0”N,.
(1)令2=的,1,判斷{"}是否為等差數(shù)列,并求數(shù)列{a}的通項(xiàng)公式;
(2)記數(shù)列{%>}的前2n項(xiàng)和為求
解:因?yàn)閇3+(-1)"肛*2-2a,+2[(-1)"-1]=0,
所以[3+(-I)3"-1+2[(-1產(chǎn)」-1J=0,
即的i=2,
又2=出“」,所以4“一”=2,所以{4}以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列。
所以a=2〃-1。
(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),
1
=以
可得q一2a=1為首項(xiàng),L為公比的等比數(shù)列,
22
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),
可得出”.「%1T=2,所以{七2}以4=1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,
所以1
凡=(q+%+…+*)+(%+4+,,,+生■)="2+”環(huán)
21如圖,在三棱臺(tái)ABC-4BC中,底面A48c是等腰三角形,且BC=8,
AB=AC=5,0為BC的中點(diǎn).側(cè)面BCCE為等腰梯形,且BG=CC、=4,M
為4G的中點(diǎn).
(I)證明:平面ABCL平面AOM;
⑵記二面角A-BC-B,的大小為。,當(dāng)時(shí),求直線BB、與
平面A^C,C所成角的正弦的最大值.
c,
l解答】(1)證明:???&4BC是等腰三角形,O為BC的中點(diǎn),
:.BC1AO,
,側(cè)面BCC\B\為等腰梯形,M為B\C\的中點(diǎn),
:.BCLMO.
":MOOAO=O,MO,AOcmAOM,
平面XOM,
':ABC,
平面/IBC_L平面/aw.
(2)解:在平面HOM內(nèi),作ONJ■。4
?平面4BCJ■平面平面/8CC平面ONu平面/fOW,
.?.ONI平面ABC.
以08,OA,ON分別為x軸、y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
,:MOA.BC,AOLBC.
.?.乙4?!睘槎娼茿-BC-B\的平面角,即乙4。M=9,
:.A(0,3,0),B(4,0,0).C(-4,0,0),M(0,2愿cos。,2V3sin0),Ci(-
212V3cos0.2A/§sinQ)>B\(2.2V3cos0(iVSsinfl).
設(shè)平面
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