高中數(shù)學(xué)大題優(yōu)質(zhì)練習(xí)2數(shù)列

數(shù)列一．解答題（共50小題）1．（2022秋?新泰市校級(jí)期中）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1+a5＝10，S4＝16；數(shù)列{bn}滿足：b1+3b2+32b3+…+3n﹣1bn＝，（n∈N*）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)cn＝anbn+，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．2．（2022秋?鄒城市期中）已知數(shù)列{an}，a1＝2，且滿足n∈N*，有an?an+1＝22n+1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（2）若bn＝an（an﹣1），設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，試求和：．3．（2022秋?浙江月考）在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并作答．①nan+1＝（n+1）an+1；②；③．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，滿足a1＝1，an＞0，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝[lg（an+1）]，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，求數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)和T100．4．（2022秋?麗水月考）在數(shù)列{an}中，a1＝，an﹣an+1＝2an+1an（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求滿足不等式a1a2+a2a3+…+akak+1＜成立的k的最大值．5．（2022秋?寧波月考）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an﹣2（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令bn＝an﹣4n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．6．（2022秋?溫州月考）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a2，a5﹣1成等比數(shù)列．給定k∈N*，記集合{n|k≤an≤2k，n∈N*}的元素個(gè)數(shù)為bk．（1）求b1，b2的值；（2）求最小自然數(shù)n的值，使得b1+b2+…+bn＞2022．7．（2022秋?南山區(qū)校級(jí)期中）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S5＝35，且a4是a1與a13的等比中項(xiàng)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若a1＜4，對(duì)任意n∈N*總有恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．8．（2022秋?浙江月考）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝3，Sn＝2+an+1．（n∈N*）．（1）證明：數(shù)列{Sn﹣2}為等比數(shù)列；（2）設(shè)bn＝，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn＜1．9．（2022秋?上城區(qū)校級(jí)月考）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝1，．（1）證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足，證明：．10．（2022?浙江開學(xué)）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為，對(duì)于任意的正自然數(shù)．（Ⅰ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅱ）若，求滿足條件的最大整數(shù)n．11．（2022?淄博一模）已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且．設(shè)bn＝a2n﹣1．（1）證明：數(shù)列{bn+2}為等比數(shù)列，并求出{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和．12．（2021?3月份模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1＝an﹣，bn＝an﹣．（1）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，求證：Sn＜．13．（2022?浙江開學(xué)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，Sn＝an+1﹣1，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且2a4＝3b3+1，S6＝7b5．（Ⅰ）求{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，求{cn}的前n項(xiàng)和為Tn．14．（2021?廣州二模）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn（n≥2）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．15．（2021?萍鄉(xiāng)二模）已知等比數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和．若對(duì)任意正整數(shù)n，有Sn+2＝4Sn+3恒成立，且bn＝log2a2n．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．16．（2022?浙江開學(xué)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，如果對(duì)于任意的n∈N*恒有Tn＜A，求A的最小值．17．（2022春?雅安期末）已知數(shù)列{an}中，a1＝2，且對(duì)任意正整數(shù)m，n都有am+n＝am+an．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足：，（ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（ⅱ）設(shè)，若cn+1＞cn對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．18．（2022秋?拱墅區(qū)校級(jí)月考）已知公差為d的等差數(shù)列{an}和公比q＜0的等比數(shù)列{bn}中，a1＝b1＝1，a2+b3＝3，a3+b2＝2．（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，抽去數(shù)列{cn}的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)、…第3n項(xiàng)、…，余下的項(xiàng)的順序不變，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{tn}，求數(shù)列{tn}的前2023項(xiàng)和S2023．19．（2022秋?浙江月考）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，（n∈N*且n≥2）．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)n∈N*，n≥2時(shí)，求證：．20．（2022?寶雞模擬）已知{an}是等差數(shù)列，a1+a2+a3＝12，a4＝8．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)于任意n∈N+，點(diǎn)An（an，bn）都在曲線y＝2x上，過(guò)An作x軸的垂線，垂足為Bn，記△OAnBn的面積為Sn，求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn．21．（2022秋?重慶月考）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝3an+1．（1）證明：是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：．22．（2022秋?皇姑區(qū)期中）已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)積為Tn，且．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求證：．23．（2021秋?柳州月考）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，點(diǎn)（Sn，Sn+1）在直線y＝上．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn＝2nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．24．（2022秋?萊西市校級(jí)月考）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，，且數(shù)列{4nSn+（2n+3）an}是等差數(shù)列．（1）證明：是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n．25．（2022秋?大連期中）已知數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，a2，a3，a4﹣4成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，求證：1≤Tn＜3．26．（2022秋?湖北月考）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，．（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．27．（2022秋?黃岡月考）已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)且滿足an2﹣（n﹣1）an﹣2n2+n＝0，數(shù)列{bn}滿足b1＝3，且bn+1＝3bn+3n+1．（1）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若cn＝bn+an，求{cn}的前n項(xiàng)和Tn．28．（2022秋?張掖期中）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝﹣an﹣（）n﹣1+2，數(shù)列{bn}滿足bn＝2nan．（1）證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（2）設(shè)cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．29．（2022秋?金鳳區(qū)校級(jí)期中）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2且an+1＝2an，數(shù)列{bn}滿足，且．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn．30．（2022?南通模擬）已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且______，其中n∈N*，從①an+1﹣2an＝n﹣1，②an+1﹣an＝2n﹣1，③＝2+三個(gè)條件中任選一個(gè)填入上面的橫線中，并完成下列問(wèn)題解答．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求Sn．31．（2022秋?長(zhǎng)春月考）已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，nan+1+（n+1）＝（n+2）an+（n+1）3．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．32．（2022秋?長(zhǎng)沙期中）已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1＝2且．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列{bn}的前2n+1項(xiàng)的和S2n+1．33．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝6，且an+2＝2an+1﹣an+2．等差數(shù)列{bn}的公差d大于0．已知a2＝b2+3，且b1，b2，b5成等比數(shù)列．（1）求證：數(shù)列{an+1﹣an}為等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．34．（2022秋?郴州月考）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項(xiàng)和為Sn，Sn+1＝3Sn+1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log3an+1，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：．35．（2022秋?襄陽(yáng)期中）已知數(shù)列{an}滿足2a1+22a2+…+2nan＝n×2n+2﹣2n+1+2．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝，證明：≤b1+b2+…+bn＜．36．（2022秋?秦皇島月考）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，當(dāng)n?2時(shí)，2（n﹣1）Sn＝2nSn﹣1+n2﹣n．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求證：．37．（2022秋?湖北期中）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為4，且滿足，若．（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{cn}中，c1＝4，對(duì)任意m，n∈N*，都有，求數(shù)列{bn?cn}的前n項(xiàng)和Sn．38．（2022秋?煙臺(tái)期中）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，Sn＝n2an．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝，求證：Tn＜．39．（2022秋?湖北期中）已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，求S50．40．（2022秋?湖南月考）記各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，已知an2+an＝2Sn，n為正整數(shù)．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝tan（an）?tan（an+1），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．41．（2022秋?濰坊月考）在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝2n+1﹣2．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn，若不等式2Tn+n2＞3loga（1﹣a）對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．42．（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)月考）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝6，且an+2＝2an+1﹣an+2．（1）求證：數(shù)列{an+1﹣an}為等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝ancosnπ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．43．（2022秋?鞍山期中）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n﹣1，數(shù)列{bn}滿足b1＝﹣1，bn+1＝bn+（2n﹣1）．（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式．（2）若，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．44．（2022秋?濰坊月考）已知數(shù)列{an}中，a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，（n﹣1）an＝2nan﹣1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn＝，數(shù)列{cn}中是否存在最大項(xiàng)與最小項(xiàng)？若存在，求出最大項(xiàng)與最小項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．45．（2022秋?湖北月考）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＞0，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，且數(shù)列為等差數(shù)列．（1）證明：數(shù)列為常數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求{Tn}的通項(xiàng)公式．46．（2022秋?遼寧期中）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2+n．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn＝，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)k，使得Tn＜k2﹣3k對(duì)于n∈N+恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．47．（2022秋?湖北月考）已知數(shù)列{an}滿足aa3+…+an＝n（n∈N+）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝log3an，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn．48．（2022?開福區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足（q﹣1）Sn＝qan﹣1（q＞0），n∈N*．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)q＝2時(shí)，數(shù)列{bn}滿足，求證：；（3）若對(duì)任意正整數(shù)n都有an+1≥n成立，求正實(shí)數(shù)q的取值范圍．49．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的為Sn，滿足，a1＝1，a2＝2．（1）記bn＝anan+1，求{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記cn＝log2an﹣log2an+2，求{cn}的前63項(xiàng)和T63．50．（2022秋?沈北新區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＝3，a5＝6，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且2bn﹣Sn＝2．（Ⅰ）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，若數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：．

參考答案與試題解析一．解答題（共50小題）1．（2022秋?新泰市校級(jí)期中）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1+a5＝10，S4＝16；數(shù)列{bn}滿足：b1+3b2+32b3+…+3n﹣1bn＝，（n∈N*）．（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)cn＝anbn+，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（I）an＝2n﹣1，bn＝．（Ⅱ）1﹣+．【解答】解：（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1+a5＝10，S4＝16，∴2a1+4d＝10，4a1+6d＝16，聯(lián)立解得a1＝1，d＝2，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．?dāng)?shù)列{bn}滿足：b1+3b2+32b3+…+3n﹣1bn＝，（n∈N*），∴n≥2時(shí)，b1+3b2+32b3+…+3n﹣2＝，相減可得3n﹣1bn＝，解得bn＝．（Ⅱ）由（I）可得：cn＝anbn+＝+，＝＝（﹣），∴數(shù)列的前n項(xiàng)和＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為An，則An＝+++…+，An＝+++…++，∴An＝+2（++…+）﹣＝+2×﹣，化為An＝1﹣．∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn＝1﹣+．2．（2022秋?鄒城市期中）已知數(shù)列{an}，a1＝2，且滿足n∈N*，有an?an+1＝22n+1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；（2）若bn＝an（an﹣1），設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，試求和：．【答案】（1）an＝2n．（2）×（1﹣）．【解答】解：（1）∵an?an+1＝22n+1，∴＝＝4＝，取n＝1時(shí)，a1a2＝23，a1＝2，解得a2＝4．∴＝2，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．∴an＝2n．（2）bn＝an（an﹣1）＝2n（2n﹣1）＝4n﹣2n，∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn＝﹣＝，∴＝＝×（﹣），∴＝×（1﹣+﹣+…+﹣）＝×（1﹣）．3．（2022秋?浙江月考）在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并作答．①nan+1＝（n+1）an+1；②；③．已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，滿足a1＝1，an＞0，①．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝[lg（an+1）]，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，求數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)和T100．【答案】（1）an＝2n﹣1．（2）147．【解答】解：（1）選擇條件①．由nan+1﹣（n+1）an＝1，得（n+1）an+2﹣（n+2）an+1＝1，兩式作差得（n+1）（an+an+2）﹣2（n+1）an+1＝0，即an+an+2＝2an+1，故{an}為等差數(shù)列，當(dāng)n＝1時(shí)，由條件①知a2﹣2a1＝1，a2＝3，故公差d＝a2﹣a1＝2，所以an＝2n﹣1，選擇條件②，當(dāng)n＝1時(shí)，可知a1＝1，，當(dāng)n≥2時(shí)，，兩式相減得，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，又an＞0，所以an﹣an﹣1＝2，所以{an}是1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以an＝2n﹣1，選擇條件③，由，得為常數(shù)列，所以，得，當(dāng)n≥2時(shí)，，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n﹣1．（2）由（1）可得bn＝[lg（2n）]，當(dāng)lg（2n）＝1時(shí)，n＝5；當(dāng)lg（2n）＝2時(shí)，n＝50；當(dāng)lg（2n）＝3時(shí)，n＝500，所以T100＝[lg2]+[lg4]+?+[lg8]+[lg10]+?+[lg98]+[lg100]+?+[lg200]＝4×0+45×1+51×2＝147．4．（2022秋?麗水月考）在數(shù)列{an}中，a1＝，an﹣an+1＝2an+1an（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求滿足不等式a1a2+a2a3+…+akak+1＜成立的k的最大值．【答案】（1）an＝；（2）8．【解答】解：（1）由an﹣an+1＝2an+1an（n∈N*），可得﹣＝2，可得{}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，則＝3+2（n﹣1）＝2n+1，即有an＝；（2）anan+1＝＝（﹣），所以a1a2+a2a3+…+akak+1＝（﹣+﹣+...+﹣）＝（﹣）＜，可得＞，即2k+3＜21，即有k＜9，則整數(shù)k的最大值為8．5．（2022秋?寧波月考）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an﹣2（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令bn＝an﹣4n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）an＝2n；（2）Tn＝n﹣8+．【解答】解：（1）在Sn＝2an﹣2中，令n＝1，則a1＝2a1﹣2，即a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，兩式相減得，an＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1（n≥2），所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列an＝2?2n﹣1＝2n．（2）bn＝an﹣4n＝2n﹣4n，所以＝＝1﹣，設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Qn，則Tn＝n﹣Qn，而Qn＝+++…++，所以Qn＝+++…++，兩式相減得，Qn＝++++…+﹣＝﹣＝4﹣，所以Qn＝8﹣，所以Tn＝n﹣Qn＝n﹣8+．6．（2022秋?溫州月考）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a2，a5﹣1成等比數(shù)列．給定k∈N*，記集合{n|k≤an≤2k，n∈N*}的元素個(gè)數(shù)為bk．（1）求b1，b2的值；（2）求最小自然數(shù)n的值，使得b1+b2+…+bn＞2022．【答案】（1）b1＝2，b2＝3；（2）當(dāng)最小自然數(shù)n的值為11時(shí)，使得b1+b2+…+bn＞2022．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1＝1，且a1，a2，a5﹣1成等比數(shù)列，∴＝a1?（a5﹣1），即（1+d）2＝4d，解得d＝1，∴an＝1+n﹣1＝n，∵集合{n|k≤an≤2k，n∈N*}的元素個(gè)數(shù)為bk，∴當(dāng)k＝1時(shí)，集合{n|1≤n≤2，n∈N*}的元素個(gè)數(shù)為b1，即b1＝2；當(dāng)k＝2時(shí)，集合{n|2≤n≤4，n∈N*}的元素個(gè)數(shù)為b2，即b2＝3，故b1＝2，b2＝3；（2）集合{n|k≤an≤2k，n∈N*}的元素個(gè)數(shù)為bk，即集合{n|k≤n≤2k，n∈N*}的元素個(gè)數(shù)為bk，∴bk＝2k﹣k+1，即bn＝2n﹣n+1，∴b1+b2+…+bn＝（2﹣1+1）+（22﹣2+1）+...+（2n﹣n+1）＝（2+22+...+2n）﹣+n＝﹣+＝2（2n﹣1）﹣+＞2022，令cn＝2n+1﹣2﹣+，則cn+1﹣cn＝（2n+2﹣2﹣+）﹣（2n+1﹣1﹣+）＝2n+1﹣n＞0，∴數(shù)列{cn}單調(diào)遞增，當(dāng)n＝10時(shí)，2（2n﹣1）﹣+＝2（210﹣1）﹣50+5＝2001＜2022，當(dāng)n＝11時(shí)，2（2n﹣1）﹣+＝2（211﹣1）﹣+＝4039＞2022，∴當(dāng)最小自然數(shù)n的值為11時(shí)，使得b1+b2+…+bn＞2022．7．（2022秋?南山區(qū)校級(jí)期中）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S5＝35，且a4是a1與a13的等比中項(xiàng)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若a1＜4，對(duì)任意n∈N*總有恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．【答案】（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝7或an＝2n+1，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝8n+1；（2）實(shí)數(shù)λ的最小值為．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S5＝35，且a4是a1與a13的等比中項(xiàng)，∴，即3d（3d﹣2a1）＝0，a1+2d＝7，解得d＝0或d＝2，當(dāng)d＝0時(shí)，a1＝7，此時(shí)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝7，當(dāng)d＝2時(shí)，a1＝3，此時(shí)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，∵數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和①，當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝T1＝9，當(dāng)n≥2時(shí)，Tn﹣1＝4（n﹣1）2+5（n﹣1）②，由①﹣②得n≥2時(shí)，bn＝4n2+5n﹣[4（n﹣1）2+5（n﹣1）]＝8n+1，當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝9，∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝8n+1；（2）由（1）得an＝7或an＝2n+1，bn＝8n+1，∵a1＜4，∴an＝2n+1，∴等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝＝n（n+2），令cn＝＝＝（﹣），∴++...+＝c1+c2+...+cn＝（1﹣+﹣+...+﹣）＝（1﹣），∵（1﹣）隨n的增大而增大，∴（1﹣）＜恒成立，∵對(duì)任意n∈N*總有恒成立，∴λ≥，故實(shí)數(shù)λ的最小值為．8．（2022秋?浙江月考）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝3，Sn＝2+an+1．（n∈N*）．（1）證明：數(shù)列{Sn﹣2}為等比數(shù)列；（2）設(shè)bn＝，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn＜1．【答案】（1）證明過(guò)程請(qǐng)看解答；（2）證明過(guò)程請(qǐng)看解答．【解答】證明：（1）在Sn＝2+an+1中，令n＝1，有a1＝2+a2，所以a2＝1，由Sn＝2+an+1，知當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1＝2+an，兩式相減得，an＝an+1﹣an，即an+1＝2an（n≥2），所以數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開始，是公比為2的等比數(shù)列，所以an＝，所以Sn＝3+1+2+22+…+2n﹣2＝3+＝2n﹣1+2，所以Sn﹣2＝2n﹣1+2﹣2＝2n﹣1，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，得證．（2）由（1）知an＝，Sn＝2n﹣1+2，所以bn＝＝＝＝2（﹣），所以Tn＝2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝2（﹣）＝1﹣＜1，得證．9．（2022秋?上城區(qū)校級(jí)月考）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1＝1，．（1）證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足，證明：．【答案】（1）證明見解答，an＝n；（2）證明見解答．【解答】解：（1）證明：∵，∴，又，∴，∴，∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝＝n，（n≥2），又a1＝1，∴an＝n，∴an+1﹣an＝n+1﹣n＝1，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且an＝n；（2）證明：由（1）可得＝，∴b1+b2+???+bn＝+???+[]＝＜，故原命題成立．10．（2022?浙江開學(xué)）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為，對(duì)于任意的正自然數(shù)．（Ⅰ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（Ⅱ）若，求滿足條件的最大整數(shù)n．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）98．【解答】（Ⅰ）證明：由題意，，且，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（Ⅱ）解：，所以，所以，，設(shè)，則cn為遞增數(shù)列．又，所以nmax＝98．11．（2022?淄博一模）已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且．設(shè)bn＝a2n﹣1．（1）證明：數(shù)列{bn+2}為等比數(shù)列，并求出{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解答，bn＝2n+1﹣2；（2）2n+3﹣3n﹣8．【解答】解：（1）證明：bn+1＝a2n+1＝2a2n＝2（a2n﹣1+1）＝2bn+2，所以＝2，又b1+2＝a1+2＝4，所以{bn+2}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則bn+2＝4?2n﹣1＝2n+1，所以bn＝2n+1﹣2；（2）數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和為S2n＝a1+a2+a3+...+a2n＝（a1+a3+a5+...+a2n﹣1）+（a2+a4+...+a2n）＝（a1+a3+a5+...+a2n﹣1）+（a1+a3+...+a2n﹣1+n）＝2（a1+a3+a5+...+a2n﹣1）+n＝2（b1+b2+...+bn）+n＝2×（22+23+...+2n+1﹣2n）+n＝2×﹣3n＝2n+3﹣3n﹣8．12．（2021?3月份模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+1＝an﹣，bn＝an﹣．（1）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，求證：Sn＜．【答案】（1）證明過(guò)程見解答；（2）證明過(guò)程見解答．【解答】證明：（1）∵a1＝2，an+1＝an﹣，bn＝an﹣，∴b1＝a1﹣1＝1，＝＝＝，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）可得：bn＝，∴an＝bn+＝+，∴Sn＝（1+++…+）+（1+++…+）＝+＝﹣﹣＜．13．（2022?浙江開學(xué)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，Sn＝an+1﹣1，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且2a4＝3b3+1，S6＝7b5．（Ⅰ）求{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，求{cn}的前n項(xiàng)和為Tn．【答案】（Ⅰ）an＝2n﹣1，n∈N*；bn＝2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）Tn＝6﹣．【解答】解：（Ⅰ）由題意，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝an+1﹣1﹣（an﹣1）＝an+1﹣an，整理，得an+1＝2an，∵a1＝1，∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＝1?2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*，設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，則3b3+1＝2a4＝2?23＝16，解得b3＝5，7b5＝S6＝＝63，解得b5＝9，∴公差d＝＝＝2，∵b1＝b3﹣2d＝5﹣2×2＝1，∴bn＝1+2?（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＝，則Tn＝c1+c2+???+cn＝+++???+，Tn＝++???++，兩式相減，可得Tn＝1+1+++???+﹣＝1+﹣＝3﹣，∴Tn＝6﹣．14．（2021?廣州二模）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn（n≥2）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則當(dāng)q＝1時(shí)，Sn+1+2Sn﹣1＝（n+1）a1+2（n﹣1）a1＝3n﹣1，3Sn＝3na1＝3n，∴Sn+1+2Sn﹣1≠3Sn，顯然q＝1不符合題意，故q≠1，當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝，Sn+1＝，Sn﹣1＝，∵Sn+1+2Sn﹣1＝3Sn，∴+2＝3，即1﹣qn+1+2（1﹣qn﹣1）＝3（1﹣qn），化簡(jiǎn)，得qn﹣1（q﹣2）（q﹣1）＝0，∵q≠1且q≠0，∴q＝2，∴an＝1?2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，Sn＝，Sn+1＝，則＝＝＝﹣，∴Tn＝b1+b2+…+bn＝﹣+﹣+…+﹣＝1﹣．15．（2021?萍鄉(xiāng)二模）已知等比數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和．若對(duì)任意正整數(shù)n，有Sn+2＝4Sn+3恒成立，且bn＝log2a2n．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）an＝2n﹣1，n∈N*；（2）Tn＝．【解答】解：（1）由題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，首項(xiàng)為a1，∵等比數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，∴a1＞0，q＞0，由Sn+2＝4Sn+3，可得Sn+1＝4Sn﹣1+3，兩式相減，可得an+2＝4an，則q2＝4，即q＝2，當(dāng)n＝1時(shí)，有S3＝4S1+3恒成立，即a1+a2+a3＝4a1+3，∵a2＝2a1，a3＝4a1，∴2a1+4a1＝3a1+3，解得a1＝1，∴an＝1?2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，bn＝log2a2n＝log222n﹣1＝2n﹣1，∴＝＝，則Tn＝c1+c2+???+cn＝?（1﹣）+?（﹣）+???+?（﹣）＝?（1﹣+﹣+???+﹣）＝?（1﹣）＝．16．（2022?浙江開學(xué)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，如果對(duì)于任意的n∈N*恒有Tn＜A，求A的最小值．【答案】（1）；（2）2．【解答】解：（1）因?yàn)椋╪+3）Sn＝nSn+1，所以，由累乘法得，則，又a1＝1，所以，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，n≥2時(shí)，時(shí)也符合，所以；（2），則，又對(duì)于任意的n∈N﹣恒有Tn＜A，∴A≥2，即A的最小值為2．17．（2022春?雅安期末）已知數(shù)列{an}中，a1＝2，且對(duì)任意正整數(shù)m，n都有am+n＝am+an．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足：，（ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（ⅱ）設(shè)，若cn+1＞cn對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）．【解答】解：（1）在am+n＝am+an中令m＝1，則有an+1＝an+a1，∴，所以數(shù)列{an}首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為．（2）（i）由，得，兩式相減有：，∴，所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（ii）由（I）知，所以2×3n＞t（﹣1）n﹣1（2n+1+2+2n+2+2），整理得，①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，而，所以是遞增數(shù)列，當(dāng)n＝1時(shí)有最小值，所以，②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，是遞減數(shù)列，當(dāng)n＝2時(shí)有最大值，所以，綜上所述，t的取值范圍是．18．（2022秋?拱墅區(qū)校級(jí)月考）已知公差為d的等差數(shù)列{an}和公比q＜0的等比數(shù)列{bn}中，a1＝b1＝1，a2+b3＝3，a3+b2＝2．（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，抽去數(shù)列{cn}的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)、…第3n項(xiàng)、…，余下的項(xiàng)的順序不變，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{tn}，求數(shù)列{tn}的前2023項(xiàng)和S2023．【答案】（I）an＝n，bn＝（﹣1）n﹣1．（Ⅱ）數(shù)列{tn}的前2023項(xiàng)和S2023＝．【解答】解：（I）∵a1＝b1＝1，a2+b3＝3，a3+b2＝2，q＜0，∴1+d+q2＝3，1+2d+q＝2，q＜0，解得d＝1，q＝﹣1．∴an＝1+n﹣1＝n，bn＝（﹣1）n﹣1．（Ⅱ）cn＝3n×[（﹣1）n﹣1]2＝3n，數(shù)列{tn}的前2023項(xiàng)和S2023＝3+32+33+34+…+33033+33034﹣（33+36+…+33030+33033）＝﹣＝．19．（2022秋?浙江月考）已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，（n∈N*且n≥2）．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)n∈N*，n≥2時(shí)，求證：．【答案】（1）an＝2n﹣1．（2）證明過(guò)程見解析．【解答】解：（1）∵且n≥2），∴當(dāng)n≥2時(shí)，，∴，又∵an＞0，所以，∴，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，∴，所以．∴當(dāng)n≥2時(shí)，，又∵a1＝1滿足上式，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣1．另解：當(dāng)n≥2時(shí)，，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，滿足上式，所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣1．證明：（2）當(dāng)n≥2時(shí)，，故所以對(duì)n∈N*，n≥2，都有．20．（2022?寶雞模擬）已知{an}是等差數(shù)列，a1+a2+a3＝12，a4＝8．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)于任意n∈N+，點(diǎn)An（an，bn）都在曲線y＝2x上，過(guò)An作x軸的垂線，垂足為Bn，記△OAnBn的面積為Sn，求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）an＝2n；（2）．【解答】解：（1）數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1+a2+a3＝12，a4＝8，設(shè)公差為d；所以，解得；故an＝2n；（2）由于An（an，bn）都在曲線y＝2x上，故；當(dāng)n≠0時(shí)，，所以①，②，①﹣②得：＝；故．21．（2022秋?重慶月考）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an+1＝3an+1．（1）證明：是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：．【答案】（1）證明過(guò)程見解答，；（2）證明過(guò)程見解答．【解答】（1）證明：因?yàn)閍n+1＝3an+1，所以，所以是以3為公比的等比數(shù)列，又a1＝1，則，所以，則；（2）證明：由（1）可知，，當(dāng)n＝1時(shí)，，當(dāng)n≥2時(shí)，3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，則，所以＝．22．（2022秋?皇姑區(qū)期中）已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)積為Tn，且．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求證：．【答案】（1）證明過(guò)程見解析；（2）證明過(guò)程見解析．【解答】證明：（1）數(shù)列{an}前n項(xiàng)積為Tn，且，整理得：，由于，所以，整理得（常數(shù)），當(dāng)n＝1時(shí)，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得：，故，所以，由于＝＝．所以23．（2021秋?柳州月考）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，點(diǎn)（Sn，Sn+1）在直線y＝上．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn＝2nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）證明過(guò)程見解析；（2）．【解答】解：（1）∵點(diǎn)（Sn，Sn+1）在直線上，∴，同除以n+1，則有，∴，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，﹣1為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可知，∴，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝﹣1+3＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n＝1時(shí)也成立．∴．∵Tn＝b1+b2+?+bn﹣1+bn，∴，①，∴，②，∴，∴．24．（2022秋?萊西市校級(jí)月考）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，，且數(shù)列{4nSn+（2n+3）an}是等差數(shù)列．（1）證明：是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n．【答案】（1）證明見解析；；（2）．【解答】解：（1）證明：∵a1＝1，，∴S1＝1，，設(shè)cn＝4nSn+（2n+3）an，則c1＝9，c2＝18，又∵數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，∴cn＝9n，∴4nSn+（2n+3）an＝9n，∴，當(dāng)n≥2時(shí)，，∴，∴，又∵2n+1≠0，∴，即：，又∵，∴是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，即；（2）∵，且，∴，∴＝，∴．25．（2022秋?大連期中）已知數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，a2，a3，a4﹣4成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，求證：1≤Tn＜3．【答案】（1）an＝2n，n∈N*；（2）證明見解答過(guò)程．【解答】（1）解：依題意，由a2，a3，a4﹣4成等差數(shù)列，可知2a3＝a2+a4﹣4，∵數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴，即8a1＝2a1+8a1﹣4，解得a1＝2，∴，n∈N*．（2）證明：由（1），可得，則Tn＝b1+b2+???+bn＝，，兩式相減，可得＝＝＝＝．∴，又∵{Tn}是遞增數(shù)列，∴Tn≥T1＝1，∴1≤Tn＜3．26．（2022秋?湖北月考）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，．（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）證明見解答過(guò)程，，n∈N*；（2）．【解答】（1）證明：依題意，由，可得，即，兩邊取倒數(shù)，可得，即，∵，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴，∴，n∈N*．（2）解：由（1），可得，則Tn＝b1+b2+???+bn＝[1+?（1﹣）]+[1+?（﹣）]+???+[1+?（﹣）]＝＝＝＝．27．（2022秋?黃岡月考）已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)且滿足an2﹣（n﹣1）an﹣2n2+n＝0，數(shù)列{bn}滿足b1＝3，且bn+1＝3bn+3n+1．（1）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若cn＝bn+an，求{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）an＝2n﹣1，n∈N*；bn＝n?3n，n∈N*．（2）Tn＝n2+?3n+1+．【解答】解：（1）依題意，由an2﹣（n﹣1）an﹣2n2+n＝0，可轉(zhuǎn)化為（an+n）[an﹣（2n﹣1）]＝0，∵an＞0，n∈N*，∴an+n＞0，n∈N*，∴an﹣（2n﹣1）＝0，故an＝2n﹣1，n∈N*，對(duì)于數(shù)列{bn}：由bn+1＝3bn+3n+1，兩邊同時(shí)乘以，可得＝+1，∵＝1，∴數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴＝1+1?（n﹣1）＝n，∴bn＝n?3n，n∈N*．（2）由題意及（1），可得Tn＝c1+c2+???+cn＝（b1+a1）+（b2+a2）+???+（bn+an）＝（a1+a2+???+an）+（b1+b2+???+bn）＝[1+3+5+???+（2n﹣1）]+（b1+b2+???+bn）＝+（b1+b2+???+bn）＝n2+（b1+b2+???+bn），令Mn＝b1+b2+???+bn，則Mn＝b1+b2+???+bn＝1?31+2?32+3?33+???+n?3n，3Mn＝1?32+2?33+???+（n﹣1）?3n+n?3n+1，兩式相減，可得﹣2Mn＝1?31+1?32+1?33+???+1?3n﹣n?3n+1＝﹣n?3n+1＝﹣?3n+1﹣，∴Mn＝?3n+1+，∴Tn＝n2+（b1+b2+???+bn）＝n2+Mn＝n2+?3n+1+．28．（2022秋?張掖期中）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝﹣an﹣（）n﹣1+2，數(shù)列{bn}滿足bn＝2nan．（1）證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（2）設(shè)cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）證明見解答過(guò)程；（2）Tn＝2﹣．【解答】（1）證明：由題意，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝﹣a1﹣（）1﹣1+2，解得a1＝，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣an﹣（）n﹣1+2+an﹣1+（）n﹣2﹣2＝﹣an+an﹣1+（）n﹣1，整理，得2an＝an﹣1+（）n﹣1，兩邊同時(shí)乘以2n﹣1，可得2nan＝2n﹣1an﹣1+1，即bn＝bn﹣1+1，∵b1＝21a1＝2×＝1，∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．（2）解：由（1），得bn＝1+1?（n﹣1）＝n，n∈N*，則an＝＝，n∈N*，∴cn＝＝＝＝＝2（﹣），故Tn＝c1+c2+???+cn}＝2?（﹣）+2?（﹣）+???+2?（﹣）＝2?（﹣+﹣+???+﹣）＝2?（﹣）＝2﹣．29．（2022秋?金鳳區(qū)校級(jí)期中）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2且an+1＝2an，數(shù)列{bn}滿足，且．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn．【答案】（1）證明見解答過(guò)程，；（2）．【解答】（1）證明：由題意，可知數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故an＝2?2n﹣1＝2n，n∈N*，又由，兩邊倒過(guò)來(lái)，可得＝＝+3，∵＝a1＝2，∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，∴＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，∴bn＝，n∈N*．（2）解：由（1）得，＝（3n﹣1）?2n，則Tn＝2?21+5?22+8?23+???+（3n﹣1）?2n，2Tn＝2?22+5?23+???+（3n﹣4）?2n+（3n﹣1）?2n+1，兩式相減，可得﹣Tn＝2?21+3?22+3?23+???+3?2n﹣（3n﹣1）?2n+1＝4+3?﹣（3n﹣1）?2n+1＝﹣（3n﹣4）?2n+1﹣8，∴Tn＝（3n﹣4）?2n+1+8．30．（2022?南通模擬）已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且______，其中n∈N*，從①an+1﹣2an＝n﹣1，②an+1﹣an＝2n﹣1，③＝2+三個(gè)條件中任選一個(gè)填入上面的橫線中，并完成下列問(wèn)題解答．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求Sn．【答案】（1）條件①②③的答案均為：an＝2n﹣n，n∈N*．（2）Sn＝﹣．【解答】解：（1）方案一：選條件①依題意，由an+1﹣2an＝n﹣1，可得an+1＝2an+n﹣1，兩邊同時(shí)加上n+1，可得an+1+（n+1）＝2an+n﹣1+n+1＝2（an+n），∵a1+1＝1+1＝2，∴數(shù)列{an+n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an+n＝2?2n﹣1＝2n，∴an＝2n﹣n，n∈N*．方案二：選條件②依題意，由an+1﹣an＝2n﹣1，可知a1＝1，a2﹣a1＝21﹣1，a3﹣a2＝22﹣1，???，an﹣an﹣1＝2n﹣1﹣1，各項(xiàng)相加，可得an＝1+（21﹣1）+（22﹣1）+???+（2n﹣1﹣1）＝（21+22+???+2n﹣1）﹣（n﹣2）＝﹣n+2＝2n﹣n，故an＝2n﹣n，n∈N*．方案三：選條件③由題意，可知＝2+＝＝，即＝對(duì)于n∈N*恒成立，∴＝＝???＝＝1，∴an＝2n﹣n，n∈N*．（2）由題意及（1），可得bn＝＝＝?（﹣），則Sn＝b1+b2+b3+???+bn﹣1+bn＝?（1﹣）+?（﹣）+?（﹣）+???+?（﹣）+?（﹣）＝?（1﹣+﹣+﹣+???+﹣+﹣）＝?（1+﹣﹣）＝﹣．31．（2022秋?長(zhǎng)春月考）已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，nan+1+（n+1）＝（n+2）an+（n+1）3．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（Ⅰ）證明見解答過(guò)程；（Ⅱ）Sn＝﹣．【解答】（Ⅰ）證明：依題意，由nan+1+（n+1）＝（n+2）an+（n+1）3，可得nan+1﹣（n+2）an＝（n+1）3﹣（n+1）＝n（n+1）（n+2），兩邊同時(shí)乘以，可得﹣＝1，∵＝＝1，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得＝1+1?（n﹣1）＝n，則an＝n2（n+1），故bn＝＝＝＝﹣，∴Sn＝b1+b2+???+bn＝﹣+﹣+???+﹣＝﹣＝﹣．32．（2022秋?長(zhǎng)沙期中）已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1＝2且．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列{bn}的前2n+1項(xiàng)的和S2n+1．【答案】（1），n∈N*；（2）．【解答】解：（1）依題意，由，可得（an+1+3an）（an+1﹣2an）＝0，∵an＞0，∴an+1+3an＞0，∴an+1＝2an，即為常數(shù)，∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2?2n﹣1＝2n，n∈N*．（2）由（1），可得，故S2n+1＝b1+b2+b3+b4+???+b2n+b2n+1＝（b1+b3+???+b2n+1）+（b2+b4+???+b2n）＝[2+6+???+2（2n+1）]+（22+24+???+22n）＝＝．33．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝6，且an+2＝2an+1﹣an+2．等差數(shù)列{bn}的公差d大于0．已知a2＝b2+3，且b1，b2，b5成等比數(shù)列．（1）求證：數(shù)列{an+1﹣an}為等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）證明見解析，；（2）．【解答】（1）證明：因?yàn)閍n+2＝2an+1﹣an+2，所以（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝2，又a2﹣a1＝4，所以數(shù)列{an+1﹣an}是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則an+1﹣an＝2n+2，當(dāng)n≥2則an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+（an﹣2﹣an﹣3）+…+（a2﹣a1）+a1＝2n+2（n﹣1）+2（n﹣2）+…+2＝，n＝1成立，所以；（2）解：由a2＝b2+3＝b1+d+3＝6，得b2＝3，又b1，b2，b5成等比數(shù)列，使用，即9＝b1（b1+4d）＝（3﹣d）（3﹣d+4d），解得d＝2（d＝0舍去），所以bn＝b2+2（n﹣2）＝2n﹣1，則，所以．34．（2022秋?郴州月考）已知數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項(xiàng)和為Sn，Sn+1＝3Sn+1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝log3an+1，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：．【答案】（1）故；（2）證明過(guò)程見解析．【解答】解：（1）由題意得Sn+1＝3Sn+1①，令n＝1得a1+a2＝3a1+1，結(jié)合a1＝1，所以a2＝3，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝3Sn﹣1+1②，①﹣②得Sn+1﹣Sn＝3（Sn﹣Sn﹣1）（n≥2），化簡(jiǎn)得an+1＝3an，又，所以（n∈N*），故{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故．（2）證明：由（1）知，則，所以，，＝，又n∈N*，所以．35．（2022秋?襄陽(yáng)期中）已知數(shù)列{an}滿足2a1+22a2+…+2nan＝n×2n+2﹣2n+1+2．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝，證明：≤b1+b2+…+bn＜．【答案】（1）{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n+1；（2）證明見解析．【解答】解：（1）∵2a1+22a2+…+2nan＝n×2n+2﹣2n+1+2①，∴當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝23﹣22+2，解得a1＝3，當(dāng)n≥2時(shí)，2a1+22a2+…+2n﹣1an﹣1＝（n﹣1）×2n+1﹣2n+2②，由①﹣②得當(dāng)n≥2時(shí)，2nan＝（n+1）×2n+1﹣2n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2（n+1）﹣1＝2n+1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3，∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n+1；（2）證明：由（1）得an＝2n+1，bn＝，則bn＝＝﹣，∴b1+b2+…+bn＝（﹣）+﹣﹣）+...+（﹣）＝﹣，令cn＝22n+3（2n+3）（2n+5），則cn+1﹣cn＝22n+5（2n+5）（2n+7）﹣22n+3（2n+3）（2n+5）＝22n+3（2n+5）（8n+28﹣2n﹣3）＝22n+3（2n+3）（6n+25）＞0，∴數(shù)列{cn}是遞增數(shù)列，數(shù)列{}是遞減數(shù)列，∴﹣的最小值為﹣＝，∴≤﹣＜，故≤b1+b2+…+bn＜．36．（2022秋?秦皇島月考）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，當(dāng)n?2時(shí)，2（n﹣1）Sn＝2nSn﹣1+n2﹣n．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求證：．【答案】（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝n+1；（2）證明見解析．【解答】解：（1）∵當(dāng)n?2時(shí)，，則2（n2﹣n）≠0，∴，當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為的等差數(shù)列，∴，∴，當(dāng)n?2時(shí)，，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1+1＝2，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝n+1；（2）證明：由（1）得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝n+1，∵（n+1）2﹣n（n+2）＝1＞0，∴，當(dāng)n＝1時(shí)，，當(dāng)n?2時(shí)，，綜上所述，．37．（2022秋?湖北期中）已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為4，且滿足，若．（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{cn}中，c1＝4，對(duì)任意m，n∈N*，都有，求數(shù)列{bn?cn}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（1）．（2）．【解答】解：（1）∵，∴，∴，又，∴bn+1＝2bn且b1＝1≠0，∴{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴．（2）∵對(duì)任意m，n∈N*，都有，∴令m＝1得，∴cn＝3n+1，∴，∴，∴，作差得﹣Sn＝4+3（2+22+…+2n﹣1）﹣（3n+1）?2n＝1+3×﹣（3n+1）?2n，∴．38．（2022秋?煙臺(tái)期中）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝1，Sn＝n2an．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝，求證：Tn＜．【答案】（1）；（2）證明過(guò)程見解析．【解答】解：（1）數(shù)列{an}中，已知a1＝1，Sn＝n2an，①，當(dāng)n≥2時(shí)，，②，①﹣②得：，整理得，所以，.....，；所有的式子相乘得到：，故．證明：（2）由（1）得：＝，所以，所以：＝．39．（2022秋?湖北期中）已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn，求S50．【答案】（1）an＝2n，n∈N*，bn＝2n，n∈N*；（2）S50＝3066．【解答】解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，∵a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，∴a2＝2log2b2＝2log24＝4，a1＝2log2b1＝2，即log2b1＝1，解得b1＝2，∴公差d＝a2﹣a1＝4﹣2＝2，公比q＝＝＝2，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*，bn＝2?2n﹣1＝2n，n∈N*．（2）由（1），可得，故bn是數(shù)列{an}中的第2n﹣1項(xiàng)，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Pn，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Qn，∵b6＝＝a32，b7＝＝a64，∴數(shù)列{cn}的前50項(xiàng)是由數(shù)列{an}的前56項(xiàng)去掉數(shù)列{bn}的前6項(xiàng)后構(gòu)成的，故．40．（2022秋?湖南月考）記各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，已知an2+an＝2Sn，n為正整數(shù)．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝tan（an）?tan（an+1），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，已知：an2+an＝2Sn，①，當(dāng)n＝1時(shí)，解得a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，，②，①﹣②得：an﹣an﹣1＝1（常數(shù)），故數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；所以an＝n．（2）由（1）得：tan1＝，所以tan（n+1）tann＝；故Tn＝b1+b2+...+bn＝，故．41．（2022秋?濰坊月考）在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝2n+1﹣2．（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn，若不等式2Tn+n2＞3loga（1﹣a）對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）an＝2n﹣1，bn＝2n．（2）（0，）．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d≠0，∵a1＝1，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，∴＝a1a5，即（1+d）2＝1×（1+4d），解得d＝2，d＝0（舍去）．∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．∵數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝2n+1﹣2，∴n≥2時(shí)，bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣（2n﹣2）＝2n，n＝1時(shí)，b1＝22﹣2＝2，對(duì)于上式也成立，∴bn＝2n．（2）＝22n﹣1﹣＝22n﹣1﹣n，∴數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn＝﹣＝﹣，2Tn+n2＝﹣n，由﹣（n+1）﹣[﹣n]＝4n+1﹣1＞0，∴數(shù)列{2Tn+n2}單調(diào)遞增，其最小值為2T1+1＝﹣1＝3，∵不等式2Tn+n2＞3loga（1﹣a）對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，∴3＞3loga（1﹣a）恒成立，即loga（1﹣a）＜1＝logaa，a＞1時(shí)不成立，0＜a＜1時(shí)，1﹣a＞a，解得0＜a＜，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，）．42．（2022秋?玄武區(qū)校級(jí)月考）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝6，且an+2＝2an+1﹣an+2．（1）求證：數(shù)列{an+1﹣an}為等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝ancosnπ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）證明見解答；；（2）．【解答】解：（1）證明：∵an+2＝2an+1﹣an+2，∴（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝2，又a2﹣a1＝4，∴數(shù)列{an+1﹣an}是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴an+1﹣an＝4+（n﹣1）×2＝2n+2，∴a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，???，an﹣an﹣1＝2n，累加可得：，又a1＝2，∴；（2），∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝﹣1×2+2×3﹣3×4+4×5﹣?+（n﹣1）n﹣n（n+1）＝，∴．43．（2022秋?鞍山期中）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n﹣1，數(shù)列{bn}滿足b1＝﹣1，bn+1＝bn+（2n﹣1）．（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式．（2）若，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）an＝；bn＝n2﹣2n；（2）Tn＝n2﹣n+1．【解答】解：（1）在Sn＝3n﹣1中，令n＝1，則a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（3n﹣1）﹣3（n﹣1）+1＝3，所以an＝；由bn+1＝bn+（2n﹣1），知bn+1﹣bn＝2n﹣1，所以bn＝（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1＝（2n﹣3）+（2n﹣5）+…+1+（﹣1）＝﹣1＝n2﹣2n．（2）因?yàn)椋訲n＝+++…+＝++3×（++…+）＝﹣2+0+3×[（3﹣2）+（4﹣2）+…+（n﹣2）]＝﹣2+3×＝n2﹣n+1．44．（2022秋?濰坊月考）已知數(shù)列{an}中，a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，（n﹣1）an＝2nan﹣1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn＝，數(shù)列{cn}中是否存在最大項(xiàng)與最小項(xiàng)？若存在，求出最大項(xiàng)與最小項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）an＝n?2n；（2）最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為﹣4．【解答】解：（1）因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，有（n﹣1）an＝2nan﹣1，所以＝2，令bn＝，則bn＝2bn﹣1，n≥2，所以數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為2，所以bn＝2n，所以an＝n?2n；（2）由（1）知cn＝＝，得cn+1＝，cn+1﹣cn＝﹣＝，當(dāng)n＝10時(shí)，cn+