專題03 圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題(教師版)

專題03圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題一、單選題1．已知橢圓的弦被點(diǎn)平分，那么這條弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)出這條弦與橢圓的交點(diǎn)，將點(diǎn)代入橢圓方程，兩式作差求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】設(shè)這條弦與橢圓交于，，由在橢圓內(nèi)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知，，把，代入，可得，①②可得，，這條弦所在的直線方程為，即為.則所求直線方程為.故選：A2．已知橢圓，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰為弦中點(diǎn)，則直線斜率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)出的坐標(biāo)代入橢圓方程后，作差變形，根據(jù)斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得解.【詳解】設(shè)，則，則，，兩式相減得，所以，即直線斜率是.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：一般涉及到弦的中點(diǎn)和弦所在直線的斜率時(shí)，使用點(diǎn)差法解決.3．直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則=（）A． B． C． D．【答案】C【分析】代入消元得關(guān)于一元二次方程，再用韋達(dá)定理即可.【詳解】設(shè)把代入得，，因?yàn)橹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得.故選:C【點(diǎn)睛】用韋達(dá)定理解決直線與圓錐曲線交點(diǎn)問題是常用的方法，需要注意直線與圓錐曲線是否有交點(diǎn)，可用判斷.4．已知拋物線，以為中點(diǎn)作的弦，則這條弦所在直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，可得出，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn).若直線垂直于軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，由于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，由于點(diǎn)、在拋物線上，可得，兩式作差得，所以，直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的中點(diǎn)弦問題，考查點(diǎn)差法的應(yīng)用，同時(shí)也可以利用直線與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5．已知橢圓：()的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先設(shè)，，代入橢圓方程，兩式作差整理，得到，根據(jù)弦中點(diǎn)坐標(biāo)，將式子化簡(jiǎn)整理，得到，根據(jù)且，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，兩式相減并化簡(jiǎn)得，又過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，即，由于且，由此可解得，，故橢圓的方程為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的方程，考查中點(diǎn)弦問題，屬于?？碱}型.6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，A、B是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)．若，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】本題先設(shè)，兩點(diǎn)，并判斷線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，再求，最后求解.【詳解】解：設(shè)，，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：，根據(jù)拋物線的定義：，整理得：，故線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為：，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，是基礎(chǔ)題.7．過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)以及中點(diǎn)坐標(biāo)，利用“點(diǎn)差法”得到之間的關(guān)系，從而得到之間的關(guān)系，結(jié)合即可求解出橢圓的方程.【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，所以，又，所以，即，而，，所以，又，所以，所以橢圓方程為：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了已知焦點(diǎn)、弦中點(diǎn)求橢圓方程，應(yīng)用了韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.8．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），則G的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求得的關(guān)系式，結(jié)合求得，進(jìn)而求得橢圓的方程.【詳解】設(shè)，則，兩式相減并化簡(jiǎn)得，即,由于且，由此可解得，故橢圓的方程為.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)差法解決橢圓中的中點(diǎn)弦問題，屬于基礎(chǔ)題.9．直線過點(diǎn)與拋物線交于兩點(diǎn)，若恰為線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)差法，兩式相減，利用中點(diǎn)坐標(biāo)求直線的斜率.【詳解】設(shè)，，兩式相減得，即，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，，解得：故選：A【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)弦問題，重點(diǎn)考查點(diǎn)差法，屬于基礎(chǔ)題型.10．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)為，則直線的斜率為（）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)已知得到，再利用點(diǎn)差法求出直線的斜率.【詳解】由題得.設(shè)，由題得，所以，兩式相減得，所以，所以，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓離心率的計(jì)算，考查直線和橢圓的位置關(guān)系和點(diǎn)差法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.11．已知橢圓，過M的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓M的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)以及中點(diǎn)坐標(biāo)，利用“點(diǎn)差法”得到之間的關(guān)系，從而得到之間的關(guān)系，結(jié)合即可求解出橢圓的方程.【詳解】設(shè)，的中點(diǎn)，所以，又，所以，即，而，，所以，又，∴，即橢圓方程為：.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了已知焦點(diǎn)、弦中點(diǎn)求橢圓方程，應(yīng)用了韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.12．已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)M，則M的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知：斜率為3的弦中點(diǎn)，設(shè)弦所在直線方程，結(jié)合橢圓方程可得即可求，進(jìn)而求M的坐標(biāo).【詳解】由題意，設(shè)橢圓與弦的交點(diǎn)為，，則將代入橢圓方程，整理得：，∴，而，故，∴，又在上，則，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的弦中點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用了韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.13．已知橢圓：，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn).若中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法得到，然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)為，求出斜率代入上式，得到a，b的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)，則，兩式相減得：，因?yàn)橹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，又，所以，即，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程，點(diǎn)差法的應(yīng)用以及離心率的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.14．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由橢圓的離心率可得，的關(guān)系，得到橢圓方程為，設(shè)出，的坐標(biāo)并代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法求得直線的斜率．【詳解】解：由，得，，則橢圓方程為，設(shè)，，，，則，，把，的坐標(biāo)代入橢圓方程得：，①②得：，．直線的斜率為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，訓(xùn)練了利用“點(diǎn)差法”求中點(diǎn)弦的斜率，屬于中檔題．二、多選題15．已知橢圓C：內(nèi)一點(diǎn)M(1，2)，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且M為線段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)、(-2，0） B．橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為C．直線的方程為 D．【答案】CD【分析】由橢圓方程可得焦點(diǎn)在軸上，且，即可判斷AB；利用點(diǎn)差法可求出直線斜率，即可得出方程，判斷C；聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)即可判斷D.【詳解】由橢圓方程可得焦點(diǎn)在軸上，且，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；可知直線的斜率存在，設(shè)斜率為，，則，兩式相減得，，解得，則直線的方程為，即，故C正確；聯(lián)立直線與橢圓，整理得，，,故D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：已知橢圓方程，在求解當(dāng)中，一定要注意焦點(diǎn)的位置，本題的焦點(diǎn)在軸上，在做題時(shí)容易忽略焦點(diǎn)位置，判斷錯(cuò)誤.三、填空題16．ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線E：y2＝2x上，其中A(2，2)，ABC的重心G是拋物線E的焦點(diǎn)，則BC邊所在直線的方程為________．【答案】4x＋4y＋5＝0【分析】設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，邊BC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線的斜率，即得解.【詳解】設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，邊BC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，易知，則從而，即，又，兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，則直線BC的斜率故直線BC的方程為y－(－1)＝，即4x＋4y＋5＝0.故答案為：4x＋4y＋5＝0【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線里與弦有關(guān)的問題常用點(diǎn)差法：先設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，再代入圓錐曲線的方程，再作差化簡(jiǎn)即得弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和弦的斜率的關(guān)系.17．設(shè)A?B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，直線AB的的方程為__________.【答案】【分析】設(shè)出，點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，作差，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可化簡(jiǎn)，求出直線的斜率，再根據(jù)斜率和直線上的定點(diǎn)坐標(biāo)，寫出點(diǎn)斜式方程．【詳解】設(shè)，，，，則依題意，．是的中點(diǎn)，，，從而.所以直線的方程為，即．故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線里與中心弦有關(guān)的問題，常用點(diǎn)差法：首先設(shè)弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，，，，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線的方程，再作差化簡(jiǎn)即得弦的中點(diǎn)和直線的斜率的關(guān)系式.18．已知橢圓，過點(diǎn)（4，0）的直線交橢圓于兩點(diǎn).若中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），則橢圓的離心率為_______【答案】【分析】設(shè)，代入橢圓方程，兩式作差，利用離心率公式即可求解.【詳解】設(shè)，則，①，②①②可得，因?yàn)橹悬c(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），則，，所以，所以，因?yàn)椋裕?故答案為：19．已知雙曲線方程是，過定點(diǎn)作直線交雙曲線于兩點(diǎn)，并使為的中點(diǎn)，則此直線方程是__________________．【答案】【分析】設(shè)得，兩式相減化簡(jiǎn)得直線的斜率，即得直線的方程.【詳解】由題得，設(shè)所以，兩式相減得，由題得，所以，因?yàn)椋?，所以直線的方程為即.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：點(diǎn)差法：圓錐曲線里遇到與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題，常用點(diǎn)差法.先設(shè)弦的端點(diǎn)再代點(diǎn)的坐標(biāo)到圓錐曲線的方程，再兩式相減得到直線的斜率和弦的中點(diǎn)的關(guān)系式.再化簡(jiǎn)解題.20．已知橢圓E：過橢圓內(nèi)部點(diǎn)的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且則直線MN的方程為_____________.【答案】【分析】由已知條件得到為的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，設(shè)出直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到即可得出結(jié)果.【詳解】由，可知為的中點(diǎn)，又,不妨設(shè)直線MN的方程為：，設(shè)點(diǎn)，則，①將直線MN的方程代入橢圓的方程消得：，化簡(jiǎn)整理得：，由韋達(dá)定理得：，②由①②得：，所以直線MN的方程為：，即直線MN的方程為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：確定為的中點(diǎn)以及直線與橢圓的方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理求解是解決本題的關(guān)鍵.21．已知雙曲線和點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)恰好為線段的中點(diǎn)時(shí)，的方程為______．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法可求得直線的方程，進(jìn)而可得出直線的方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，若直線軸，則、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則點(diǎn)在軸上，不合乎題意.由于為線段的中點(diǎn)，則，可得，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，上述兩式相減得，可得，即，所以，，所以，直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】利用弦的中點(diǎn)求直線的方程，一般利用以下兩種方法求解：（1）點(diǎn)差法：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，代點(diǎn)作差求得直線的斜率，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式可求得直線的方程；（2）設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得直線的斜率，進(jìn)而可求得直線的方程.22．已知拋物線為過焦點(diǎn)的弦，過分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，設(shè)，則下列結(jié)論正確的有________．①若直線的斜率為-1，則弦；②若直線的斜率為-1，則；③點(diǎn)恒在平行于軸的直線上；④若點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則．【答案】①③④【分析】設(shè)PA的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式求出，可得PA的方程，同理可得PB的方程,聯(lián)立與的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可知④正確；設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，當(dāng)時(shí)，利用韋達(dá)定理求出與可知②錯(cuò)誤，③正確；當(dāng)時(shí)，利用拋物線的定義和韋達(dá)定理可得弦長(zhǎng)，可知①正確．【詳解】設(shè)PA方程與拋物線方程聯(lián)立得，由得，方程為，同理得PB方程，聯(lián)立，解得，所以交點(diǎn)P，即，所以④正確；根據(jù)題意直線的斜率必存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，，所以③正確；當(dāng)t=-1時(shí)，，所以②錯(cuò)誤，當(dāng)t=-1時(shí)，根據(jù)拋物線的定義可得，所以①正確．故答案為：①③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)出切線方程，利用判別式等于0，求出切線方程，聯(lián)立切線方程求出交點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.23．已知橢圓的半焦距為，且，若橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且是圓的一條直徑，則直線的方程為_________.【答案】【分析】設(shè)，代入橢圓方程做差，根據(jù)直線的斜率公式及AB的中點(diǎn)M，求出直線斜率，即可得到直線方程.【詳解】設(shè),代入橢圓方程可得：①，②，②①得：，由可得，即，又AB的中點(diǎn)M，所以所以直線的方程為，即.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：點(diǎn)差法是解決涉及弦的中點(diǎn)與斜率問題的方法，首先設(shè)弦端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入曲線方程后做差，可得出關(guān)于弦斜率與弦中點(diǎn)的方程，代入已知斜率，可研究中點(diǎn)問題，代入已知中點(diǎn)可求斜率.24．橢圓的弦中點(diǎn)為，則直線的方程___________【答案】【分析】設(shè)出的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求解出直線的斜率，然后根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求解出直線的方程，最后轉(zhuǎn)化為一般式方程.【詳解】設(shè)，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，即，故答案為?【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知橢圓中一條弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，求解該弦所在直線方程的思路：（1）可以通過先設(shè)出弦所在直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入橢圓方程中并將兩個(gè)方程作差；（2）得到中點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率與直線斜率的關(guān)系，從而根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可求解出直線方程.25．已知點(diǎn)P(1，2)是直線l被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，則直線l的方程是_____.【答案】【分析】設(shè)出直線與橢圓的交點(diǎn)，采用點(diǎn)差法進(jìn)行分析，由此可求得直線的斜率，再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程則直線的方程可求.【詳解】設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，所以，所以，所以，且，所以，所以即，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓中點(diǎn)弦所在直線方程的求法，難度一般.已知橢圓中一條弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，求解該弦所在直線方程時(shí)，可以通過先設(shè)出弦所在直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入橢圓方程中并將兩個(gè)方程作差，由此可得中點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率與直線斜率的關(guān)系，從而根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可求解出直線方程.四、解答題26．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，若，求直線的方程；（2）若直線過橢圓的右焦點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，求、分別為直線、的斜率）的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用點(diǎn)差法，求直線的斜率，再求直線方程；（2）直線的斜率不存在時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)，得到的值，以及當(dāng)斜率存在時(shí)，直線與曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系求的值，并將表示為的二次函數(shù)，并求取值范圍.【詳解】解：（1）設(shè)，，，，由題意可得為線段的中點(diǎn)，由兩式相減可得，而，即有，，則，可得，故直線的方程為，即；（2）由題意可得，，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，，．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，則的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，與橢圓方程聯(lián)立，可得，則，，所以，所以，因?yàn)樵诘谝幌笙蓿?，所以，．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1.一般涉及中點(diǎn)弦問題時(shí)，采用點(diǎn)差法求解；2.直線與圓錐曲線相交問題時(shí)，有時(shí)需要考查斜率不存在和存在兩種情況，斜率存在的情況經(jīng)常和曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決幾何問題.27．已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)，且與直線相切．（Ⅰ）求圓心的軌跡的方程；（Ⅱ）斜率為1的直線經(jīng)過點(diǎn)，且直線與軌跡交于點(diǎn)，求線段的垂直平分線方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由題意得圓心M到點(diǎn)等于圓心到直線的距離，利用兩點(diǎn)間距離公式，列出方程，即可求得答案.（Ⅱ）求得直線的方程，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可得的值，即可求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線與直線垂直平分線垂直，可求得直線垂直平分線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可求得方程.【詳解】（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得軌跡E的方程：；（Ⅱ）由題意得：直線的方程為：，由，得，，設(shè)，中點(diǎn)則，所以，，又垂直平分線的斜率為-1，所以垂直平分線方程為.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程的求法，拋物線的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是直線與曲線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到的表達(dá)式或值，再根據(jù)題意進(jìn)行化簡(jiǎn)和整理，考查計(jì)算求值的能力，屬基礎(chǔ)題.28．已知橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在圓，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)條件解關(guān)于的方程組即可得結(jié)果；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，可求得中點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程解得的值.【詳解】（1）由題意，得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，線段的中點(diǎn)為．聯(lián)立，消去y得，，，即，．又因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上，所以，解得，滿足題意．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查弦中點(diǎn)問題以及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是熟悉中點(diǎn)坐標(biāo)公式，本題中直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理求出，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再將其代入圓中求解，考查了學(xué)生的基本分析轉(zhuǎn)化求解能力，屬中檔題.30．已知直線l與拋物線交于兩點(diǎn)．（1）若l的方程為，求；（2）若弦的中點(diǎn)為，求l的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式即可求解；（2）利用點(diǎn)差法求出直線斜率，即可求出直線方程.【詳解】設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．（1）聯(lián)立得，因此，故．（2）因?yàn)閮牲c(diǎn)在C上，所以兩式相減，得，因?yàn)?，所以，因此l的方程為，即．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決中點(diǎn)弦問題常用點(diǎn)差法求解，即將兩交點(diǎn)設(shè)點(diǎn)代入曲線方程，兩式相減利用平方差公式化簡(jiǎn)，將中點(diǎn)坐標(biāo)代入即可得出弦所在直線斜率.31．坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，設(shè)動(dòng)圓的圓心的軌跡是曲線，直線.（1）求曲線的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它到直線的距離最?。孔钚≈稻嚯x是多少？（3）一組平行于直線的直線，當(dāng)它們與曲線相交時(shí)，試判斷這些直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)是否在同一條直線上，若在同一條直線上，求出該直線的方程；若不在同一條直線上，請(qǐng)說明理由？【答案】（1）；（2）點(diǎn)到直線的距離最小，距離最小為；（3）在同一直線，直線為：.【分析】（1）利用兩個(gè)圓外切與內(nèi)切的性質(zhì)可得，再利用橢圓的定義即可求得曲線的方程；（2）設(shè)與平行的直線的方程為，代入，整理可得，當(dāng)，直線與曲線相切，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離最小，利用點(diǎn)到線距離公式求得最小值.（3）設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法化簡(jiǎn)得，即，整理得.【詳解】解：（1）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，由題意可知，則，根據(jù)橢圓的定義可知曲線是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，其中，即所以曲線的方程為：.（2）設(shè)與平行的直線的方程為，即，代入，可得，整理得，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線與曲線相切，根據(jù)圖形可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，.（3）這些直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)在同一條直線上設(shè)與平行的直線與曲線的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)，，兩式作差得，整理可得：，即，整理得，即所有弦的中點(diǎn)均在直線上.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓上點(diǎn)到直線的最近距離，點(diǎn)差法的應(yīng)用，解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點(diǎn)的問題時(shí)用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單．32．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，一條準(zhǔn)線方程為與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線其離心率是橢圓的離心率的2倍.（1）分別求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)M(4，1)的直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且M為線段PQ的中點(diǎn)，求直線l的方程.【答案】（1）；；（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)以及準(zhǔn)線方程求出，，進(jìn)而求出，即求橢圓的方程，求出橢圓的離心率，可得雙曲線的離心率，結(jié)合與橢圓共焦點(diǎn)即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，，利用點(diǎn)差法求出直線的斜率即可求解.【詳解】（1）橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，一條準(zhǔn)線方程為，則，解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，又離心率為，則，解得，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，，兩式作差可得，，即，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)中點(diǎn)弦求直線方程，關(guān)鍵是利用“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，考查了計(jì)算求解能力.33．橢圓：，直線過點(diǎn)，交橢圓于?兩點(diǎn)，且為的中點(diǎn).（1）求直線的方程；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)，，利用點(diǎn)差法求直線的斜率；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，聯(lián)立方程，利用弦長(zhǎng)公式，求的值.【詳解】（1），，點(diǎn)在橢圓里面，設(shè)，，則，兩式相減可得，變形為，①點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，并且有橢圓對(duì)稱性可知，由①式兩邊同時(shí)除以，可得，，設(shè)直線的斜率為，，解得：，所以直線的方程；（2），，，可得，，，化簡(jiǎn)為，且解得：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：點(diǎn)差法是解決涉及弦的中點(diǎn)與斜率問題的方法，首先設(shè)弦端點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出關(guān)于弦斜率與弦中點(diǎn)的方程，代入已知斜率，可研究中點(diǎn)問題，代入已知中點(diǎn)可求斜率.34．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的焦點(diǎn)為、，實(shí)軸長(zhǎng)為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且恰好為線段的中點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義，，即可求出雙曲線的方程；（2）先根據(jù)點(diǎn)差法求直線的方程，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求出.【詳解】（1）雙曲線的焦點(diǎn)為、，實(shí)軸長(zhǎng)為，則，，而，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，，，，點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，即有，，又，兩式相減可得，，直線的斜率為，其方程為，即，由，即，可得，則.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.35．已知雙曲線.（1）傾斜角45°且過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與此雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，求.（2）過點(diǎn)的直線l與此雙曲線交于，兩點(diǎn)，求線段中點(diǎn)P的軌跡方程；（3）過點(diǎn)能否作直線m，使m與此雙曲線交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)B是線段的中點(diǎn)?這樣的直線m如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.【答案】（1）8（2）（3）不存在，理由見解析【分析】（1）直線斜率為1，寫出直線方程與雙曲線聯(lián)立，由韋達(dá)定理即弦長(zhǎng)公式求解；（2）設(shè)，，，，，則，，兩式相減，利用是中點(diǎn)及斜率相等可求得軌跡方程，從而得到其軌跡；（3）假設(shè)直線存在．由已知條件利用點(diǎn)差法求出直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，由，推導(dǎo)出直線不存在．【詳解】（1）由雙曲線知，右焦點(diǎn)為，由直線傾斜角45°可知直線斜率為1，所以直線方程為：，聯(lián)立可得，設(shè)，則且，，所以（2）設(shè)，，，，，則，，，，，直線的斜率，，，，，共線，，，即線段的中點(diǎn)的軌跡方程是．（3）假設(shè)直線存在．設(shè)是弦的中點(diǎn)，且，，，，則，．，在雙曲線上，，，，，直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，得△，直線與雙曲線無交點(diǎn)，直線不存在．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在直線與雙曲線相交問題中，涉及弦及弦中點(diǎn)的問題，可以采用“點(diǎn)差法”，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，降低運(yùn)算難度.新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練共39講（附解析版）目錄如下。全套39講（附解析）word版本見：高考高中資料無水印無廣告word群559164877新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練01圓錐曲線中的弦長(zhǎng)問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練02圓錐曲線中的面積問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練03圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練04圓錐曲線中的范圍問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練05圓錐曲線中的定點(diǎn)問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練06圓錐曲線中的定值問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練07圓錐曲線中的向量共線問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練08公式法求等差等比數(shù)列和（原卷板及解